ベーレンス・フィッシャー問題

X ₁、 ...、X _nとY ₁、...、Y _mを、同じ位置尺度分布族に属する 2 つの母集団からのiidサンプルとする。尺度パラメータは未知であり、必ずしも等しいとは限らないと仮定し、問題は位置パラメータを合理的に等しいとみなせるかどうかを評価することである。Lehmann ^{[ 1 ]}は、「Behrens–Fisher 問題」は、分布族が任意の場合のこの一般的なモデルの形式と、正規分布への制限が行われる場合の両方で使用されると述べている。Lehmann は、主にノンパラメトリックに基づく、より一般的な問題に対するいくつかのアプローチについて議論しているが、^{[ 2 ]}他のほとんどの情報源は、「Behrens–Fisher 問題」を、分布が正規であると仮定する場合のみを指すために使用しているようである。この記事の大部分はこの仮定に基づいている。   

ベーレンス・フィッシャー問題の解法は、古典的推論またはベイズ推論のいずれかの観点から提示されており、どちらの解法も他方の観点からは概念的に無効である。古典的な統計的推論のみを考慮する場合、対応する確率記述の不正確さよりもこの単純さを優先し、実用的な意味で適用しやすい推論問題の解法を探求することができる。統計的検定の有意水準の正確さが求められる場合、手順がデータセット内の統計情報を最大限に活用する必要があるという追加要件が生じる可能性がある。サンプルサイズが等しくなるまでより大きなデータセットからデータをランダムに破棄し、データをペアで組み立てて差を取り、次に通常のt検定を使用して平均差がゼロであることを検定することで正確な検定が得られることはよく知られている。明らかにこれはいかなる意味でも「最適」ではない。

この問題に対する区間推定値を求める作業は、頻度論的アプローチでは正確な解が得られないものの、近似解はいくつか存在するという課題である。標準的なベイズ的アプローチでも、単純な公式で表せるような答えは得られないが、現代のベイズ分析の計算手法を用いれば、ほぼ正確な解を見出すことができる。したがって、この問題を研究することで、区間推定における頻度論的アプローチとベイズ的アプローチの違いを明らかにすることができる。

ロナルド・フィッシャーは1935年にこの問題に適用するためにフィデューシャル推論^{[ 3 ] [ 4 ]}を導入した。彼は1929年のウォルター＝ウルリッヒ・ベーレンスの論文を参照した。ベーレンスとフィッシャーは、確率分布を求めることを提案した。

${\displaystyle T\equiv {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}}$

どこ$\displaystyle {\bar {x}}_{1}}$そして$\displaystyle {\bar {x}}_{2}}$は 2 つの標本平均であり、s ₁とs ₂はそれらの標準偏差です。Behrens –Fisher 分布を参照してください。Fisher は、標準偏差の相対的な大きさのランダムな変動を無視することで、この分布を近似しました。

${\displaystyle {s_{1}/{\sqrt {n_{1}}} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}.}$

フィッシャーの解法は、平均値が実際に等しい場合に、平均値が等しいという仮説が確率αで棄却されるという性質を持っていなかったため、論争を巻き起こした。それ以来、この問題に対処する他の多くの方法が提案され、結果として得られる信頼区間への影響が調査されてきた。^{[ 5 ]}

広く用いられている方法は、^{フィッシャー}と同様にユニバーシティ・カレッジ・ロンドンに所属していたBLウェルチ[ ^{6 ]}によるものである。平均差の分散

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}$

結果として

${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}={\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}.}$

ウェルチ（1938）は、$\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$タイプ IIIピアソン分布(スケーリングされたカイ二乗分布) によるもので、その最初の 2 つのモーメントは、$\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$これは、一般的に非整数である以下の自由度（df）に適用されます。

$\displaystyle \nu \approx {(\gamma _{1}+\gamma _{2})^{2} \over \gamma _{1}^{2}/(n_{1}-1)+\gamma _{2}^{2}/(n_{2}-1)}\quad {\text{ ただし }}\gamma _{i}=\sigma _{i}^{2}/n_{i}。}$

期待値が等しいという帰無仮説、μ ₁ = μ ₂の下では、分散比σ ₁ ² / σ ₂ ^{2にも依存する Behrens–Fisher 統計量}Tの分布は、これらの自由度νを持つStudent の t 分布で近似できます。しかし、このνには母分散σ _i ²が含まれており、これらは未知です。次の推定では、母分散を標本分散に置き換えるだけです。

${\displaystyle {\hat {\nu }}\approx {\frac {(g_{1}+g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}/(n_{1}-1)+g_{2}^{2}/(n_{2}-1)}}\quad {\text{ ただし }}g_{i}=s_{i}^{2}/n_{i}。}$

これ${\displaystyle {\hat {\nu }}}$は確率変数です。自由度がランダムなt分布は存在しません。しかしながら、Behrens–Fisher Tは、これらの推定された自由度を持つStudentのt分布の対応する分位数と比較することができます。${\displaystyle {\hat {\nu }}}$これは一般に非整数です。このようにして、検定統計量Tの受容領域と棄却領域の境界は、経験的分散s _i ²に基づいて、これらの滑らかな関数となるように計算されます。

この方法でも名目上の率と完全に一致するわけではありませんが、概ね大きな誤差はありません。ただし、母集団の分散が等しい場合、または標本サイズが小さく母集団の分散がほぼ等しいと仮定できる場合は、スチューデントのt検定を用いる方がより正確です。

一般的な問題に対してはさまざまなアプローチが提案されており、その中には問題の何らかのバージョンを「解決」すると主張するものもある。その中には、^{[ 7 ]}

• 1950年のチャップマンのそれ、^{[ 8 ]}
• 1974年のプロコフィエフとシシキンの論文^{[ 9 ]}
• 1998年のDudewiczとAhmedの研究^{[ 10 ]}
• 2022年のチャン・ワンの記録。^{[ 11 ]}

Dudewiczによる選択された方法の比較^{[ 7 ]}では、 Dudewicz–Ahmed法が実用上推奨されることがわかった。

数十年間、一般的なベーレンス・フィッシャー問題には厳密解が存在しないと一般的に信じられていました。しかし、1966年に厳密解が存在することが証明されました。^{[ 12 ]} 2018年には、異なる平均と分散を持つ独立した正規分布からの異なるサイズのm個のサンプルから得られる、 m個の平均とm個の異なる標準誤差を持つ一般化されたベーレンス・フィッシャー分布の確率密度関数が証明され、論文ではその漸近近似も検討されました。^{[ 13 ]}後続の論文では、古典的な対応のあるt検定は母集団相関係数がゼロでない中心ベーレンス・フィッシャー問題であることを示し、母集団相関係数がゼロでない関連する非中心ベーレンス・フィッシャー問題を解くことによって、対応する確率密度関数を導出しました。^{[ 14 ]}また、付録では、母集団相関係数がゼロでないより一般的な非中心ベーレンス・フィッシャー問題も解いています。^{[ 14 ]}