2標本比率Z検定

2標本比率Z検定（2標本比率Z検定とも呼ばれる）は、 2つのグループ間で二値結果の割合に、偶然では説明できないほど有意な差があるかどうかを評価するための統計的仮説検定です。例えば、臨床試験における治療に対する肯定的な反応を示した患者の割合と対照群との比較、 2つの生産ラインにおける品質管理上の不良率、または2つの異なるウェブページデザインのA/Bテストにおけるクリック率の比較などが挙げられます。

この検定は、各観測値が互いに独立しており、成功または失敗に分類でき（すなわち、ベルヌーイ試行）、かつサンプルサイズが十分に大きく、各サンプル比率の標本分布が中心極限定理によって適切に近似できる場合に適しています。このような条件下では、観測されたサンプル比率の差を標準化されたz統計量（プールされた標準誤差を使用）に変換し、標準正規分布と比較することで、 p値を取得したり、比率の差に対する信頼区間（導出方法は若干異なります）を形成したりできます。また、これにより、最小検出可能効果の計算に必要なサンプルサイズを決定することもできます。

この検定は、ピアソンのカイ二乗検定、小標本に対するフィッシャーの正確確率検定、ペアになった二値データに対するマクネマー検定など、他のよく知られた検定と関連している。

2標本比率Z検定または2標本比率Z検定は、二項分布から得られた2つのグループの比率の差が統計的に有意であるかどうかを判断するために使用される統計的手法です。 ^{[ 1 ]}このアプローチは、（十分に大きなサンプルの場合）標本比率が中心極限定理の下で正規分布に従うという観察に基づいており、仮説検定（スコア検定）および信頼区間推定（ワルド検定）のためのZ検定の構築を可能にします。^{[ 2 ]}これは、さまざまな分野で、異なるグループ間での成功率、応答率、またはその他の比率を比較するために使用されます。

2 つの比率を比較するためのz 検定は、2 つの独立したサンプルが二値結果に対して異なる母集団比率を持つかどうかを評価するために使用される頻度論的統計的仮説検定です。緩やかな正則条件 (十分なサンプルサイズと独立したサンプリング) の下では、サンプル比率(ベルヌーイ分布から得られた観測値の平均) は、中心極限定理の下でほぼ正規分布に従うため、サンプル比率の差と推定標準誤差から構築された z 統計量を使用できます。^{[ 2 ]}

このテストには、2つの対立する仮説が含まれる。

• 帰無仮説 (H ₀ ): 2 つの母集団における割合は等しい、すなわち、${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$。
• 対立仮説（H ₁）：2 つの母集団における割合は等しくない、すなわち、${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$（両側検定）または${\displaystyle p_{1}>p_{2}}$/${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$（片尾）

2つの比率を比較するためのz統計量は、以下の式を用いて計算されます。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 2 ]： 10.6.2}$${\displaystyle z={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}}{\sqrt {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}},}$$どこ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}}$そして${\displaystyle {\hat {p}}_{2}}$は、第1サンプルと第2サンプルのサンプル比率です。${\displaystyle n_{1}}$そして${\displaystyle n_{2}}$はそれぞれ第１および第２のサンプルのサイズである。${\displaystyle {\hat {p}}}$プールされた割合は、次のように計算されます。${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$、 どこ${\displaystyle x_{1}}$そして${\displaystyle x_{2}}$は、2 つのサンプルにおける成功の数です。プールされた割合は、帰無仮説の下での成功の共通確率を推定するために使用され、標準誤差は、2 つのサンプル間の変動を考慮に入れています。

z検定は、計算されたz統計量を臨界値と比較することによって統計的有意性を判定します。たとえば、有意水準が${\displaystyle \alpha =0.05}$帰無仮説を棄却するのは、${\displaystyle |z|>1.96}$（両側検定の場合）。または、p値を計算して帰無仮説を棄却することによって、${\displaystyle p<\alpha }$。

上記の定義に基づくと、2つの比率の差の信頼区間は次のようになります。 ^{[ 5 ] [ 2 ]： 10.6.3}$${\displaystyle ({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})\pm z_{\alpha /2}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{2}(1-{\hat {p}}_{2})}{n_{2}}}}},}$$どこ${\displaystyle z_{\alpha /2}}$は標準正規分布の臨界値です（例えば、95%信頼水準の場合は1.96）。

この区間は、人口比率の真の差について、妥当な値の範囲を示す。

仮説検定と信頼区間では、分散の推定方法が異なる点に注目してください。前者は（帰無仮説に基づく）プールされた分散を使用しますが、後者は（比率の差の範囲を信頼区間が考慮できるようにするために）各サンプルを個別に用いて分散を推定する必要があります。この違いにより、仮説検定の代わりに信頼区間を用いる場合、結果が若干異なる可能性があります。

サンプルサイズ決定とは、統計検定を実施するために各グループに含める観測値の数を選択することです。2標本比率Z検定の場合、これは最小検出可能効果の決定と密接に関連しています。

必要なサンプルサイズを見つけるため（ある効果量が与えられた場合）${\displaystyle |p_{1}-p_{2}|}$、 力${\displaystyle \pi =(1-\beta )}$、そして第一種過誤${\displaystyle \alpha }$)、我々は次のように定義する。${\displaystyle n_{1}=\kappa n_{2}}$（κ = 1 の場合、各グループのサンプルサイズは等しいと仮定される）次に：^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle n_{2}={\frac {(Z_{\alpha /2}+Z_{\beta })^{2}}{(p_{1}-p_{2})^{2}}}\times \left({\frac {p_{1}(1-p_{1})}{\kappa }}+p_{2}(1-p_{2})\right)^{2}}$

最小検出可能効果またはMDEは、2つの比率間の最小差です（${\displaystyle p_{1}}$そして${\displaystyle p_{2}}$) 選択された第一種過誤レベルに対して統計的検定が検出できるもの(${\displaystyle \alpha }$)統計的検出力(${\displaystyle 1-\beta }$）、およびサンプルサイズ（${\displaystyle n_{1}}$そして${\displaystyle n_{2}}$これは、研究デザインにおいて、サンプルサイズが意味のある差を検出するのに十分な感度を持つテストを可能にするかどうかを判断するためによく使用されます。

2 つの比率を比較するための (両側) z 検定式を使用する場合の MDE には、臨界値が含まれています。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle 1-\beta }$、および比率の標準誤差：^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\text{MDE}}=|p_{1}-p_{2}|=z_{1-\alpha /2}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}+z_{1-\beta }{\sqrt {{\frac {p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}}+{\frac {p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}}}},}$$どこ${\displaystyle z_{1-\alpha /2}}$は有意水準の臨界値であり、${\displaystyle z_{1-\beta }}$は、所望の電力の分位数であり、${\displaystyle p_{0}=p_{1}=p_{2}}$これは、帰無仮説が正しいと仮定した場合です。

MDEはサンプルサイズ、ベースライン比率（${\displaystyle p_{1},p_{2}}$）、およびテストパラメータ。ベースラインの割合が不明な場合は、仮定するか、小規模な研究から概算する必要があります。サンプルサイズが大きい、または検出力要件が小さいほど、MDEは小さくなり、テストはより小さな差に対して敏感になります。研究者は、研究を実施する前に、MDEを使用して意味のある差を検出できる可能性を評価することができます。

有効な結果を得るためには、以下の前提条件を満たす必要があります。

1. 独立した無作為標本：標本は、対象となる母集団から独立して抽出されなければならない。
2. サンプルサイズが大きい場合、通常、${\displaystyle n_{1}+n_{2}}$20を超えるべきである。^{[ 12 ]： 48}
3. 成功または失敗の条件：^{[ 13 ] [ 2 ]： 10.6.1}
   1. ${\displaystyle n_{1}{\hat {p}}_{1}>10}$そして${\displaystyle n_{1}(1-{\hat {p}}_{1})>10}$
   2. ${\displaystyle n_{2}{\hat {p}}_{2}>10}$そして${\displaystyle n_{2}(1-{\hat {p}}_{2})>10}$

z検定は、サンプルサイズが大きく、かつすべての前提条件が満たされている場合に最も信頼性が高い。

グループ1が1000回の試行のうち120回成功したと仮定します（${\displaystyle {\hat {p}}_{1}=0.12}$グループ2は1000回の試行のうち150回成功しました（${\displaystyle {\hat {p}}_{2}=0.15}$) プールされた割合は${\displaystyle {\hat {p}}=(120+150)/(1000+1000)=0.135}$プールされた標準誤差は$${\displaystyle {\text{SE}}_{\text{pooled}}={\sqrt {0.135\times 0.865\times \left({\dfrac {1}{1000}}+{\dfrac {1}{1000}}\right)}}\approx 0.01529.}$$

z統計量は$${\displaystyle z={\dfrac {0.12-0.15}{0.01529}}\approx -1.96,}$$両側p値は約0.0497（0.05をわずかに下回る）となる。プールされていない標準誤差を用いた差の近似95%信頼区間は$${\displaystyle (0.12-0.15)\pm 1.96{\sqrt {{\dfrac {0.12\times 0.88}{1000}}+{\dfrac {0.15\times 0.85}{1000}}}}\approx (-0.0599,\ -0.0001).}$$95%信頼区間が（かろうじて）0を除外し、p値が約0.0497であるため、通常の大標本基準では5%水準で統計的に有意差がある（ただし、境界線上の差であるため、結論は研究の文脈と、該当する場合は多重検定を考慮する必要がある）。

^{多くの統計環境で実装が利用可能です。以下に、いくつかの一般的な言語での実装の詳細を示します。SPSS [ 21 ]} 、 SAS ^{[ 22 ]}、Minitab ^{[ 5 ]}用の実装も存在します。

prop.test ( x = c ( 120 , 150 ), n = c ( 1000 , 1000 ), correct = FALSE )

 連続性補正なしの比率の等価性に関する2標本検定 データ: c(120, 150) / c(1000, 1000) X二乗値 = 3.8536、自由度 = 1、p値 = 0.04964 対立仮説：両側 95％信頼区間： -5.992397e-02 -7.602882e-05 サンプル推定値： プロップ1 プロップ2 0.12 0.15 

from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest z , p = proportions_ztest ([ 120 , 150 ], [ 1000 , 1000 ], 0 ) # 信頼区間の場合: from statsmodels.stats.proportion import test_proportions_2indep

WITH input_data AS ( SELECT * , (( n_1 * p_1 + n_2 * p_2 ) / ( n_1 + n_2 )) AS p_pooled FROM ( VALUES ( 1000 , 1000 , 0 . 12 , 0 . 15 ) ) AS t ( n_1 , n_2 , p_1 , p_2 ) ), stats_computed AS ( SELECT n_1 , n_2 , p_1 , p_2 , p_2 - p_1 AS p2_minus_p1 , SQRT ( ( p_1 * ( 1 - p_1 ) / n_1 ) + ( p_2 * ( 1 - p_2 ) / n_2 ) ) AS se_p2_minus_p1 , SQRT ( p_pooled * ( 1 - p_pooled ) * ( 1 . 0 / n_1 + 1 . 0 / n_2 ) ) AS pooled_se 、inverse_normal_cdf ( 0 、1 、0 . 975 ) AS z_975 -- 95% CI (1.96) FROM input_data ) SELECT n_1 、n_2 、ROUND ( p_1 、3 ) AS p_1 、ROUND ( p_2 、3 ) AS p_2 、ROUND ( p2_minus_p1 、3 ) AS p2_minus_p1 、ROUND ( se_p2_minus_p1 、3 ) AS se_p2_minus_p1 、ROUND ( p2_minus_p1 - z_975 *se_p2_minus_p1 、3 ) AS p2_minus_p1_ci_lower 、ROUND ( p2_minus_p1 + z_975 * se_p2_minus_p1 、3 ) AS p2_minus_p1_ci_upper 、ROUND ( 2 * ( 1 - normal_cdf ( 0 、1 、ABS ( p2_minus_p1 ) / pooled_se )), 3 ) AS p_value FROM stats_computed ;

• 2標本仮説検定
• A/Bテスト
• ピアソンのカイ二乗検定（2×2分割表）
• マクネマー検定
• ロケーションテスト
• ユーデンのJ統計量の信頼区間

• 2標本独立比率検定計算機
• サンプルサイズ／検出力オンライン計算ツール：
  • 2つの比率の比較 – サンプルサイズ
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