全高調波歪み

全高調波歪み( THDまたはTHDi ) は、信号に存在する高調波歪みの測定値であり、すべての高調波成分の電力の合計と基本周波数の電力の比として定義されます。密接に関連する用語である歪み係数は、同義語として使用されることがあります。

オーディオ システムでは、歪みが少ないということは、スピーカー、アンプ、マイク、その他の機器のコンポーネントがオーディオ録音をより正確に再現することを意味します。

無線通信では、THDが低いデバイスは他の電子機器への意図しない干渉が少ない傾向があります。高調波歪みは、入力周波数の倍数で信号を追加することでデバイスからの出力放射の周波数スペクトルを広げる可能性があるため、THDが高いデバイスはスペクトル共有やスペクトルセンシングなどのアプリケーションにはあまり適していません。^[1]

電力システムでは、THDが低いということは、ピーク電流が低く、発熱が少なく、電磁放射が少なく、モーターのコア損失が少ないことを意味します。^[2] IEEE規格519-2022は、電力システムにおける高調波制御の推奨される実践と要件をカバーしています。^[3]

オーディオ アンプなどの入力と出力を持つシステムを理解するには、伝達関数が線形で時間不変である理想的なシステムから始めます。周波数ωの正弦波信号が非理想的な非線形デバイスを通過すると、元の周波数の倍数nω (高調波) で追加のコンテンツが追加されます。THD は、入力信号に存在しない追加の信号コンテンツの測定値です。

主な性能基準が元の正弦波の「純度」（言い換えれば、元の周波数の高調波に対する寄与）である場合、測定値は、一連の高調波周波数のRMS振幅と最初の高調波、つまり基本周波数のRMS振幅の比として定義されるのが最も一般的です^{[1] [2] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} ={\frac {\sqrt {V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots }}{V_{1}}},}$

ここで、V _nはn番目の高調波電圧の RMS 値、V _{1 は}基本成分の RMS 値です。

実際には、THD _{F は}オーディオ歪み仕様 (THD のパーセンテージ) でよく使用されますが、THD は標準化されていない仕様であり、メーカー間で結果を簡単に比較することはできません。個々の高調波振幅が測定されるため、メーカーはテスト信号の周波数範囲、レベルとゲインの条件、および測定回数を公開する必要があります。スイープを使用して 20 Hz ～ 20 kHz の全範囲を測定することができます (ただし、10 kHz を超える基本周波数の歪みは聞こえません)。

THD を計算するための測定は、指定された条件下でデバイスの出力で行われます。THD は通常、歪み減衰として基本波に対する パーセントまたはdBで表されます。

変形定義では、基本波と高調波を基準として用いる: ^{[4] [10] [11]}

${\displaystyle \mathrm {THD_{R}} ={\frac {\sqrt {V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots }}{\sqrt {V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+\cdots }}}={\frac {\mathrm {THD_{F}} }{\sqrt {1+\mathrm {THD_{F}^{2}} }}}.}$

これらは、 THD _F（「基本」）とTHD _R（「二乗平均平方根」）として区別できます。 ^{[12] [13]} THD _Rは100％を超えることはできません。歪みレベルが低い場合、2つの計算方法の違いは無視できます。たとえば、THD _{Fが10％の信号は、THD R}が9.95％と非常に似ています。ただし、歪みレベルが高くなると、差異が大きくなります。たとえば、THD _Fが266％の信号は、THD _Rが94％になります。^[4]無限の高調波を持つ純粋な矩形波のTHD _Fは48.3％^{[1] [14] [15]}、THD _Rは43.5％です。^{[16] [17]}

「歪み係数」という用語をTHD _Rの同義語として使用する人もいます^{[18]が、THD} _Fの同義語として使用する人もいます^[19]。

国際電気標準会議（IEC）は、別の式を使用して「交流量の高調波成分のRMS値とその量のRMS値の比」を全高調波係数という別の用語で定義しています。 ^[20]

THD+Nは全高調波歪みとノイズの合計です。この測定はより一般的で、デバイス間で比較しやすいものです。通常、正弦波を入力し、出力をノッチフィルタリングし、正弦波ありとなしの出力信号の比率を比較することで測定されます。^[21]

${\displaystyle {\text{THD+N}}={\frac {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\text{harmonics}}+{\text{noise}}}{\text{fundamental}}}.}$

THD測定と同様に、これはRMS振幅の比であり^{[7] [22] 、THD} _F （分母としてバンドパスまたは計算された基本波）として測定されるか、より一般的にはTHD _R（分母として総歪み信号）として測定されます。^[23]

意味のある測定には、測定帯域幅を含める必要があります。この測定には、高調波歪みに加えて、グラウンドループ電源ラインハム、高周波干渉、これらのトーンと基本波間の相互変調歪みなどの影響が含まれます。心理音響測定では、A重み付けやITU-R BS.468などの重み付け曲線が適用されます。これは、人間の耳に最も聞こえるものを強調し、より正確な測定に貢献することを目的としています。A重み付けは、耳の非線形動作を考慮していないため、各人の耳の周波数感度を推定する大まかな方法​​です。^{[24] Zwickerによって提案されたラウドネスモデルには、これらの複雑さが含まれています。このモデルは、ドイツの標準DIN45631 [25]}に記載されています。

与えられた入力周波数と振幅に対して、両方の測定が同じ帯域幅で行われる場合、 THD+N はSINADの逆数になります。

純粋な正弦波に対する波形の歪みは、 THD アナライザーを使用して出力波をその構成高調波に分析し、各高調波の基本波に対する振幅を記録するか、ノッチ フィルターで基本波をキャンセルし、残りの信号（総合的な高調波歪みとノイズの合計）を測定する ことで測定できます。

非常に低い固有歪みを持つ正弦波発生器があれば、それを増幅装置への入力として使用することができ、出力波形を調べることで、さまざまな周波数と信号レベルでの歪みを測定できます。

正弦波を生成し、歪みを測定するための電子機器がありますが、サウンド カードを備えた汎用デジタル コンピューターでは、適切なソフトウェアを使用して高調波分析を実行できます。正弦波を生成するために別のソフトウェアを使用することもできますが、非常に歪みの少ないアンプを測定するには、固有の歪みが大きすぎる可能性があります。

多くの目的において、異なるタイプの高調波は同等ではありません。たとえば、特定の THD でのクロスオーバー歪みは、同じ THD でのクリッピング歪みよりもはるかに聞こえます。これは、クロスオーバー歪みによって生成される高調波が、基本波の 3 倍や 5 倍などの低周波高調波とほぼ同じくらい、基本波の 10 倍から 20 倍などの高周波高調波で強くなるためです。基本波 (目的の信号) から遠く離れた周波数に現れる高調波は、基本波によって簡単には隠されません。^[26]対照的に、クリッピングの開始時には、高調波は最初は低次の周波数で現れ、徐々に高周波高調波を占め始めます。したがって、単一の THD 数値は可聴性を指定するには不十分であり、慎重に解釈する必要があります。異なる出力レベルで THD 測定を行うと、歪みがクリッピング (レベルの低下とともに減少) なのか、クロスオーバー (出力レベルの変化に対して一定のままで、低音量で生成されるサウンドの割合が大きくなる) なのかがわかります。

THD は、等しく重み付けされた多数の倍音の合計ですが、数十年前に行われた研究では、低次の倍音は高次の倍音に比べて同じレベルでは聞き取りにくいことがわかっています。さらに、偶数次の倍音は奇数次の倍音よりも一般的に聞き取りにくいと言われています。^[27] THD と実際の可聴性を相関させようとする数式が発表されていますが、どれも主流にはなっていません。^[要出典]

多くの標準信号では、上記の基準は閉じた形で解析的に計算できる。^[1]例えば、純粋な矩形波のTHD _Fは

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} ={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{8}}-1}}\approx 0.483=48.3\%.}$

鋸歯状信号は

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} ={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1}}\approx 0.803=80.3\%.}$

純粋な対称三角波は

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} ={\sqrt {{\frac {\pi ^{4}}{96}}-1}}\approx 0.121=12.1\%.}$

デューティサイクルμ（周期比と呼ばれることもある）の矩形パルス列の場合、THD _Fは次の式で表される。

${\displaystyle \operatorname {THD_{F}} (\mu )={\sqrt {{\frac {\mu (1-\mu )\pi ^{2}}{2\sin ^{2}\pi \mu }}-1}},\quad 0<\mu <1,}$

そして、論理的には、信号が対称μ  = 0.5、すなわち純粋な矩形波になったときに最小値（≈0.483）に達します。^[1]これらの信号を適切にフィルタリングすると、結果として生じる THD が大幅に減少する場合があります。たとえば、2 次バターワース ローパス フィルタ（カットオフ周波数を基本周波数に設定）でフィルタリングされた純粋な矩形波の THD _Fは 5.3% ですが、4 次フィルタでフィルタリングされた同じ信号の THD _Fは 0.6% です。^[1]ただし、複雑な波形やフィルタの THD _{F を}解析的に計算することは困難な作業になることが多く、結果の式を取得するのは非常に面倒な場合があります。たとえば、 1 次バターワース ローパス フィルタでフィルタリングされたのこぎり波のTHD _Fの閉じた形式の式は、単純に次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} ={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-\pi \coth \pi }}\approx 0.370=37.0\%,}$

一方、同じ信号を2次バターワースフィルタでフィルタリングした場合の式は、かなり扱いにくい式で与えられる^[1]。

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} ={\sqrt {\pi {\frac {\cot {\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}\cdot \coth ^{2}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}-\cot ^{2}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}\cdot \coth {\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}-\cot {\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}-\coth {\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}}{{\sqrt {2}}\left(\cot ^{2}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}+\coth ^{2}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2}}}\right)}}+{\frac {\pi ^{2}}{3}}-1}}\approx 0.181=18.1\%.}$

しかし、 p次バターワースローパスフィルタでフィルタリングされたパルス列のTHD _Fの閉形式の表現はさらに複雑で、次の形式になります。^[1]

${\displaystyle \operatorname {THD_{F}} (\mu ,p)=\csc \pi \mu \cdot {\sqrt {\mu (1-\mu )\pi ^{2}-\sin ^{2}\pi \mu -{\frac {\pi }{2}}\sum _{s=1}^{2p}{\frac {\cot \pi z_{s}}{z_{s}^{2}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}{\frac {1}{z_{s}-z_{l}}}+{\frac {\pi }{2}}\operatorname {Re} \sum _{s=1}^{2p}{\frac {e^{i\pi z_{s}(2\mu -1)}}{z_{s}^{2}\sin \pi z_{s}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}{\frac {1}{z_{s}-z_{l}}}}},}$

ここで、μはデューティサイクル、0 < μ < 1であり、

${\displaystyle z_{l}\equiv \exp {\frac {i\pi (2l-1)}{2p}},\quad l=1,2,\ldots ,2p.}$

• オーディオシステムの測定
• 信号対雑音比
• 音色

• 変換: 歪み減衰(dB)から歪み係数THD(%)へ
• 掃引高調波歪み測定
• ノイズ存在下での高調波歪み測定