シングの定理

数学、特にリーマン幾何学において、シングの定理は、リーマン多様体の曲率とその位相を関連付ける古典的な結果です。 1936年に証明した ジョン・ライトン・シングにちなんで名付けられました。

M を正の断面曲率を持つ閉じたリーマン多様体とします。定理は次を主張します。

• Mが偶数次元かつ向き付け可能である場合、M は単連結です。
• Mが奇数次元の場合、向き付け可能です。

特に、偶数次元の閉多様体は、その基本群に1 つまたは 2 つの要素がある場合にのみ、正に曲がったリーマン計量をサポートできます。

シンジの定理の証明は次のようにまとめられる。^[1]測地線S ¹ → Mと、測地線に沿った直交かつ平行なベクトル場（つまり、測地線に対する法線束の平行断面）が与えられた場合、シンジが以前に計算した弧長の第二変分公式から、測地線は長さを短くするように変形できることがすぐにわかる。この段階で使われる唯一のツールは、断面曲率に関する仮定である。

任意のパスに沿った平行ベクトル場は、平行移動によって自動的に構築されます。ループの場合の非自明性は、端点での値が一致するかどうかです。これは、純粋な線型代数の問題に帰着します。Vを有限次元の実内積空間とし、 T : V → V を、固有値 1 を持つ固有ベクトルvを持つ直交線型写像とします。Tの行列式が正でVの次元が偶数の場合、またはTの行列式が負でVの次元が奇数の場合は、vに直交する、固有値 1 を持つTの固有ベクトルwが存在します。文脈上、Vは測地線ループの点におけるMの接空間、 T はループによって定義される平行移動写像、v は測地線の接ベクトルです。

完全なリーマン多様体における任意の非収縮ループが与えられた場合、その（自由）ホモトピー類の代表として、最小の弧長を持つものが存在し、それは測地線である。^[2]シンジの計算によれば、これはこの測地線に沿って平行かつ直交するベクトル場は存在し得ないことを意味する。しかし、

• 方向性があるということは、すべてのループに沿った平行移動マップが正の行列式を持つことを意味します。偶数次元であることは、測地線に直交する平行ベクトル場が存在することを意味します。
• 非方向性は、平行移動マップが負の行列式を持つように非収縮ループを選択できることを意味します。奇数次元は、測地線に直交する平行ベクトル場が存在することを意味します。

この矛盾により、最初のケースでは非収縮ループが存在しないことが証明され、後者のケースでは非方向性が不可能であることが証明されます。

アラン・ワインスタインは後に、基礎となる多様体の位相的性質ではなく、等長変換の不動点を確立するように証明を言い換えた。 ^[3]

ソース。

• ド・カルモ、マンフレド・ペルディゴン(1992)。リーマン幾何学。数学：理論と応用（1979年初版ポルトガル語第2版からの翻訳）。ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー・ボストン。ISBN 978-0-8176-3490-2. MR  1138207. Zbl  0752.53001.
• ヨスト、ユルゲン（ 2017）。リーマン幾何学と幾何学的解析。Universitext（1995年初版第7版）。Springer 、Cham。doi： 10.1007 / 978-3-319-61860-9。ISBN 978-3-319-61859-3MR 3726907。Zbl 1380.53001  。 ​
• Petersen, Peter (2016).リーマン幾何学. Graduate Texts in Mathematics . Vol. 171 (1998年初版の第3版). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7MR 3469435。Zbl 1417.53001  。 ​
• シング、ジョン・ライトン(1936)。「正の曲率 を持つ空間の連結性について」。季刊数学ジャーナル。オックスフォードシリーズ。7 ( 1): 316–320。doi :10.1093/qmath/os-7.1.316。JFM 62.0861.04。Zbl 0015.41601  。