ダルブーの定理（解析）

数学において、ダルブーの定理は、ジャン・ガストン・ダルブーにちなんで名付けられた実解析の定理です。これは、他の関数の微分から得られるすべての関数は中間値特性を持ち、区間の像もまた区間であるというものです。

ƒ が連続的に微分可能である場合（C ¹ ([ a , b ])におけるƒ ）、これは中間値定理の結果です。しかし、 ƒ′が連続でない場合でも、ダルブーの定理により、ƒ が連続するものには厳しい制限が課せられます。

を閉区間、を実数値微分可能関数とする。このとき、 は中間値特性を持つ:およびが内の点である場合、と の間の任意の に対して、 となる 内にが存在する。^{[1] [2] [3]}${\displaystyle I}$${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f'}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f'(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f'(x)=y}$

証明 1.最初の証明は極値定理に基づいています。

が または に等しい場合、を またはにそれぞれ等しく設定すると、目的の結果が得られます。ここで、が と の間に厳密に存在し、特に であると仮定します。が となるようなものとします 。 となる場合は、以下の証明を調整し、代わりに がで最小値を持つと主張します。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f'(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f'(b)}$${\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}$${\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}$${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [a,b]}$

は閉区間 上で連続なので、極値定理によれば、上の の最大値は内のある点で達成されます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

なぜなら、 はで最大値に到達できないことが分かっています。(もし到達できたとしたら、すべての に対してとなり、それは を意味します。) ${\displaystyle \varphi '(a)=f'(a)-y>0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (\varphi (t)-\varphi (a))/(ta)\leq 0}$${\displaystyle t\in (a,b]}$${\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}$

同様に、 であるため、は で最大値を達成できないことがわかります。 ${\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y<0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle b}$

したがって、 はある点 で最大値を達成する必要があります。したがって、フェルマーの定理により、、つまり となります。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x\in (a,b)}$${\displaystyle \varphi '(x)=0}$${\displaystyle f'(x)=y}$

証明2. 2番目の証明は平均値定理と中間値定理を組み合わせたものである。^{[1] [2]}

を定義します。 については、と を定義します。 また、 については、と を定義します。 ${\displaystyle c={\frac {1}{2}}(a+b)}$${\displaystyle a\leq t\leq c,}$${\displaystyle \alpha (t)=a}$${\displaystyle \beta (t)=2t-a}$${\displaystyle c\leq t\leq b,}$${\displaystyle \alpha (t)=2t-b}$${\displaystyle \beta (t)=b}$

したがって、 については が成り立ちます。次に、 で を定義します。 は において連続です。 ${\displaystyle t\in (a,b)}$${\displaystyle a\leq \alpha (t)<\beta (t)\leq b}$${\displaystyle g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}}$${\displaystyle a<t<b}$${\displaystyle \,g}$${\displaystyle (a,b)}$

さらに、のとき、のとき、したがって、中間値定理より、 のとき、となるような が存在することになります。 を固定しましょう。 ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}$${\displaystyle t\rightarrow a}$${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}$${\displaystyle t\rightarrow b}$${\displaystyle y\in ({f}'(a),{f}'(b))}$${\displaystyle t_{0}\in (a,b)}$${\displaystyle g(t_{0})=y}$${\displaystyle t_{0}}$

平均値定理より、となる点が存在します。したがって、となります。 ${\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}$${\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}$${\displaystyle {f}'(x)=y}$

ダルブー関数は、実数値関数 ƒであり、「中間値特性」を持ちます。ƒの定義域内の任意の 2 つの値aとb、およびƒ ( a ) とƒ ( b )の間の任意のyに対して、 aとbの間にƒ ( c ) = y を満たすc が存在します。^[4]中間値定理 により、実数区間上の連続関数はすべてダルブー関数です。ダルブーの貢献は、不連続なダルブー関数が存在することを示したことです。

ダルブー関数のすべての不連続性は本質的であり、つまり、どの不連続点でも、左側の極限と右側の極限の少なくとも 1 つは存在しません。

ある点で不連続な Darboux 関数の例としては、位相幾何学者の正弦曲線関数が挙げられます。

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}$

ダルブーの定理によれば、任意の微分可能関数の導関数はダルブー関数です。特に、関数の導関数は、ある点で連続していなくてもダルブー関数です。 ${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$

どこでも連続しないDarboux 関数の例としては、Conway の基数 13 の関数があります。

ダルブー関数は非常に一般的な関数のクラスです。実数値関数ƒは、実数直線上で任意の2つのダルブー関数の和として表すことができます。^[5]これは特に、ダルブー関数のクラスが加法に対して閉じていないことを意味します。

強いダルブー関数とは、すべての（空でない）開区間の像が実数直線全体となる関数である。コンウェイの基数13の関数もその一例である。^[4]

• この記事には、 Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Darboux の定理の資料が組み込まれています。
• 「ダルブーの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]