アトウッドの機械を揺らす

スイング式アトウッドマシン（SAM）は、単純なアトウッドマシンに似た機構ですが、質量の1つが2次元平面内でスイングできる点が異なり、システムパラメータや初期条件によってはカオス的な動的システムを生成します。

具体的には、振り子（質量m）とカウンターウェイト（質量M）という2つの質量が、半径ゼロの摩擦のない2つの滑車に吊り下げられた、伸び縮みしない質量のない糸で接続されており、振り子はカウンターウェイトに衝突することなく滑車の周りを自由に揺れることができる。^{[ 1 ]}

従来のアトウッドの機械では、「暴走」解（つまり、振り子またはカウンターウェイトが最終的に滑車に衝突する）しか許容されないが、${\displaystyle M=m}$しかし、アトウッドの機械を揺らすと${\displaystyle M>m}$SAM は、振り子の反作用遠心力がカウンターウェイトの重さに対抗するため、終端または終端しない、周期的、準周期的またはカオス的、有界または非有界、特異または非特異に分類できるさまざまな運動につながる条件の大きなパラメータ空間を持っています^{[ 1 ] [ 2 ]}。^{[ 1 ]} SAM の研究は、1982 年にリード大学でDavid J. Griffithsの指導の下、Nicholas Tufillaroが執筆した卒業論文「Smiles and Teardrops (システムのいくつかの軌跡の形状を指している)」の一部として始まりました。^{[ 3 ]}

揺れるアトウッドの機械は、2自由度系である。その運動方程式は、ハミルトン力学またはラグランジュ力学のいずれかを用いて導出することができる。揺れる質量を${\displaystyle m}$そして、揺動しない質量は${\displaystyle M}$システムの運動エネルギーは、${\displaystyle T}$、 は：

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle r}$は、揺動する質量から支点までの距離であり、${\displaystyle \theta }$は、真下を向いた状態に対する、振り子の角度です。位置エネルギー${\displaystyle U}$これは重力による加速度のみに起因する。

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

すると、ラグランジアンを書き出すことができる。$\displaystyle {\mathcal {L}}}$、そしてハミルトニアン、$\displaystyle {\mathcal {H}}}$システムについて：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=TU\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-Mgr+mgr\cos {\theta }\\{\mathcal {H}}&=T+U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

すると、ハミルトニアンを正準運動量で表すことができ、${\displaystyle p_{r}}$、${\displaystyle p_{\theta }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{r}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {r}}}}=(M+m){\dot {r}}\\p_{\theta }&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\\\therefore {\mathcal {H}}&={\frac {p_{r}^{2}}{2(M+m)}}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{2mr^{2}}}+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

ラグランジュ解析を適用することで、2 つの 2 階連立常微分方程式を得ることができます。${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \theta }$まず、${\displaystyle \theta }$方程式:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)\\-mgr\sin {\theta }&=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{2}{\ddot {\theta }}\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin {\theta }&=0\end{aligned}}}$

そして${\displaystyle r}$方程式:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)\\mr{\dot {\theta }}^{2}-Mg+mg\cos {\theta }&=(M+m){\ddot {r}}\end{aligned}}}$

質量比を定義することで方程式を簡略化します${\displaystyle \mu ={\frac {M}{m}}}$すると、上記は次のようになります。

${\displaystyle (\mu +1){\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}+g(\mu -\cos {\theta })=0}$

ハミルトニアン解析は、次の4つの1階常微分方程式を決定するためにも適用できます。${\displaystyle r}$、${\displaystyle \theta }$およびそれらに対応する正準運動量${\displaystyle p_{r}}$そして${\displaystyle p_{\theta }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{r}}}}={\frac {p_{r}}{M+m}}\\{\dot {p_{r}}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {r}}}={\frac {p_{\theta }^{2}}{mr^{3}}}-Mg+mg\cos {\theta }\\{\dot {\theta }}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{\theta }}}}={\frac {p_{\theta }}{mr^{2}}}\\{\dot {p_{\theta }}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta }}}=-mgr\sin {\theta }\end{aligned}}}$

これらの導出のどちらにおいても、${\displaystyle \theta }$角速度$\displaystyle {\dot {\theta }}}$ゼロにすると、結果として得られる特殊なケースは、通常の非スイング式アトウッドマシンになります。

${\displaystyle {\ddot {r}}=g{\frac {1-\mu }{1+\mu }}=g{\frac {mM}{m+M}}}$

スイングするアトウッドの機械は、以下の式で定義される4次元位相空間を持つ。${\displaystyle r}$、${\displaystyle \theta }$およびそれらに対応する正準運動量${\displaystyle p_{r}}$そして${\displaystyle p_{\theta }}$しかし、エネルギー保存則により、位相空間は3次元に制限される。

アトウッドの振り子式機械の振り子部分は、異なる初期条件や質量比によって、興味深い軌道を描く。これには周期軌道や衝突軌道などが含まれる。

非特異軌道

特定の条件下では、システムは複雑な調和運動を示します。^{[ 1 ]}揺動質量が滑車に触れない場合、軌道は非特異と呼ばれます。

非特異軌道の選択

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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =2}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =3}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =5}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =6}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =16}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =19}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =21}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =24}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。

周期軌道

システム内の異なる調和成分が同位相である場合、結果として生じる軌道は単純で周期的であり、通常の振り子の軌道に似た「スマイル」軌道やさまざまなループなどである。^{[ 3 ] [ 8 ]}一般に、次の条件が満たされるときに周期軌道が存在する。^{[ 1 ]}

${\displaystyle r(t+\tau )=r(t),\,\theta (t+\tau )=\theta (t)}$

周期軌道の最も単純なケースは「スマイル」軌道であり、トゥフィラロは1984年の論文でこれをタイプA軌道と呼んだ。 ^{[ 1 ]}

周期軌道の選択

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  アトウッドの機械が揺れる「笑顔」の軌道${\displaystyle \mu =1.665}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =2.394}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =1.1727}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =1.555}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。

特異な軌道

振り子が原点を通過する時点で、その運動は特異である。システムは時間反転と並進に対して不変であるため、振り子が原点から始まり外向きに発射されると言うことと同等である。^{[ 1 ]}

${\displaystyle r(0)=0}$

支点に近い領域は特異点である。${\displaystyle r}$はゼロに近く、運動方程式では で割る必要がある${\displaystyle r}$そのため、これらの事例を厳密に分析するには特別な手法を用いる必要がある。^{[ 9 ]}

以下は、任意に選択した特異軌道のグラフです。

特異軌道の選択

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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =10}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。
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  アトウッドの機械が揺れる軌道${\displaystyle \mu =25}$、${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$そして、初速度はゼロです。

衝突軌道

衝突軌道（または終結特異軌道）は、振り子が支点から初速度をもって放出され、支点に戻る（つまり支点と衝突する）ときに形成される特異軌道のサブセットである。

${\displaystyle r(\tau )=r(0)=0,\,\tau >0}$

衝突軌道の最も単純なケースは質量比が 3 のもので、これは原点から放出された後、常に対称的に原点に戻り、 Tufillaro の最初の論文ではタイプ B軌道と呼ばれていました。^{[ 1 ]}また、その外観から涙滴型、ハート型、またはウサギの耳型軌道とも呼ばれていました。^{[ 3 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

揺れる質量が原点に戻ると、カウンターウェイトの質量は、${\displaystyle M}$瞬時に方向転換しなければならず、連結糸に無限の張力が生じる。したがって、この時点で運動は終了すると考えられる。^{[ 1 ]}

任意の初期位置に対して、揺動質量は円錐曲線で囲まれていることが示せる。^{[ 2 ]}支点は常にこの境界曲線の焦点である。この曲線の式は、システムのエネルギーを解析し、エネルギー保存則を用いることで導出できる。${\displaystyle m}$静止状態から解放される${\displaystyle r=r_{0}}$そして${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$したがって、システムの全エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}}$

しかし、境界条件の場合、揺動する質量の速度はゼロであることに注意する。^{[ 2 ]}したがって、次のようになる。

${\displaystyle Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}}$

それが円錐曲線の式であることを確認するために、${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {h}{1-{\frac {\cos {\theta }}{\mu }}}}\\h&=r_{0}\left(1-{\frac {\cos {\theta _{0}}}{\mu }}\right)\end{aligned}}}$

分子はこの場合、初期状態が静止していると仮定しているため、初期位置のみに依存する定数であることに注意してください。ただし、エネルギー定数は${\displaystyle h}$非ゼロの初期速度についても計算でき、すべての場合においてこの式は依然として成り立つ。^{[ 2 ]}円錐曲線の偏心率は${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}}$。 のために${\displaystyle \mu >1}$これは楕円であり、システムは有界であり、揺動質量は常に楕円内に留まります。${\displaystyle \mu =1}$放物線であり、${\displaystyle \mu <1}$これは双曲線です。どちらの場合も、有界ではありません。${\displaystyle \mu }$が任意に大きくなると、境界曲線は円に近づきます。曲線で囲まれた領域はヒルの領域として知られています。^{[ 2 ]}

3次元スイングアトウッドマシン（3D-SAM）問題に対する新しい積分可能なケースが2016年に発表された。^{[ 10 ]} 2Dバージョンと同様に、この問題は、次の場合に積分可能である。${\displaystyle M=3m}$。

• インペリアル・カレッジのコース
• アトウッドのマキナでオシラシオネス
• 『スマイルズ・アンド・ティアドロップス』（1982年）
• 2010年、実験的なアトウッドの機械が揺れる様子を捉えた動画
• Swinging Atwood's Machineを実行するためのオープンソースJavaコード