弦宇宙論

弦宇宙論は、弦理論の方程式を応用して初期宇宙論の諸問題を解決しようとする比較的新しい分野である。関連する研究分野として、ブレーン宇宙論がある。

このアプローチは、ガブリエレ・ヴェネツィアーノ^{[ 1 ]}の論文に遡ることができ、弦理論からインフレーション宇宙論モデルが得られる方法を示し、ビッグバン以前のシナリオの説明への道を開きました。

このアイデアは、非線形シグマモデルとしてよく知られている、曲線背景におけるボソン弦の特性に関連しています。このモデルからの最初の計算^{[ 2 ]}では、エネルギー尺度の関数としてモデルの計量を実行するベータ関数がリッチテンソルに比例し、リッチフローが生じることが示されました。このモデルは共形不変性を持ち、これは妥当な量子場理論を持つために維持されなければならないため、ベータ関数はゼロでなければならず、直ちにアインシュタイン場の方程式が得られます。アインシュタイン方程式はやや場違いに見えるかもしれませんが、それでもこの結果は、背景となる2次元モデルが高次元の物理を生み出す可能性があることを示しており、確かに驚くべきものです。ここで興味深い点は、このような弦理論は、平坦な背景の場合のように、一貫性のために26次元で臨界性を要求することなく定式化できることです。これは、アインシュタイン方程式の根底にある物理が、有効な2次元共形場理論によって記述できる可能性があることを示唆する重要なヒントです。実際、インフレーション宇宙の証拠が存在するという事実は、弦理論宇宙論にとって重要な裏付けとなる。

宇宙の進化において、インフレーション期の後、今日観測されている膨張が始まり、これはフリードマン方程式によってよく説明される。これら二つの異なる段階の間には、滑らかな移行が期待される。弦理論宇宙論はこの移行を説明するのに困難を抱えているようである。これは文献では「優雅な脱出問題」として知られている。

インフレーション宇宙論は、インフレーションを引き起こすスカラー場の存在を前提としている。弦宇宙論では、これはダイラトン場と呼ばれるものから生じる。ダイラトン場は、ボソン弦の記述に現れるスカラー項であり、低エネルギー領域において有効理論にスカラー場項をもたらす。対応する方程式は、ブランズ・ディッケ理論の方程式に類似している。

解析は、臨界次元数 (26) から 4 次元まで行われてきました。一般に、任意の次元数でフリードマン方程式が得られます。反対に、ある次元数がコンパクト化されて、有効な 4 次元理論が生成されると仮定します。このような理論は、コンパクト化された次元から生じる一連のスカラー場を持つ典型的なカルツァ・クライン理論です。このような場はモジュライと呼ばれます。

このセクションでは、弦宇宙論に関係するいくつかの方程式を紹介します。出発点はポリャコフ作用であり、これは次のように書くことができます。

${\displaystyle S_{2}={\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int d^{2}z{\sqrt {\gamma }}\left[\gamma ^{ab}G_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }+\alpha '\ ^{(2)}R\Phi (X)\right],}$

どこ ${\displaystyle \ ^{(2)}R}$は2次元のリッチスカラーであり、${\displaystyle \Phi }$ダイラトン場、そして${\displaystyle \alpha '}$文字列定数。インデックス${\displaystyle a,b}$1、2、および${\displaystyle \mu ,\nu }$以上${\displaystyle 1,\ldots ,D}$ここで、D はターゲット空間の次元である。さらに反対称場を追加することもできる。これは一般的に、この作用によってインフレーションのポテンシャルを生成したい場合に考慮される。^{[ 3 ]}それ以外の場合は、一般的なポテンシャルと宇宙定数が手動で挿入される。

上記の弦の作用は共形不変性を持つ。これは2次元リーマン多様体の性質である。量子レベルでは、この性質は異常のために失われ、理論自体もユニタリ性を持たないため一貫性がない。したがって、摂動論のどの次数においても共形不変性が維持されることを要求する必要がある。摂動論は量子場理論を扱う唯一の既知のアプローチである。実際、 2つのループにおけるベータ関数は

${\displaystyle \beta _{\mu \nu }^{G}=R_{\mu \nu }+2\alpha '\nabla _{\mu }\Phi \nabla _{\nu }\Phi +O(\alpha '^{2}),}$

そして

${\displaystyle \beta ^{\Phi }={\frac {D-26}{6}}-{\frac {\alpha '}{2}}\nabla ^{2}\Phi +\alpha '\nabla _{\kappa }\Phi \nabla ^{\kappa }\Phi +O(\alpha '^{2})。}$

共形不変性が成り立つという仮定は、

${\displaystyle \beta _{\mu \nu }^{G}=\beta ^{\Phi }=0,}$

低エネルギー物理学の対応する運動方程式を生成する。これらの条件は摂動論的にのみ満たされるが、これは摂動論のどの次数でも成り立つ必要がある。${\displaystyle \beta ^{\ファイ }}$これは平坦な時空におけるボソン弦理論の異常にすぎない。しかし、ここではさらに、異常を補償できる項が存在する。${\displaystyle D\neq 26}$そして、この宇宙論モデルからビッグバン以前のシナリオを構築することができる。実際、この低エネルギー方程式は次の作用から得られる。

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa _{0}^{2}}}\int d^{D}x{\sqrt {-G}}e^{-2\Phi }\left[-{\frac {2(D-26)}{3\alpha '}}+R+4\partial _{\mu }\Phi \partial ^{\mu }\Phi +O(\alpha '）\右]、}$

どこ${\displaystyle \kappa _{0}^{2}}$は、ダイラトン場を再定義することで常に変更可能な定数です。また、この作用は、場（アインシュタインフレーム）を再定義することで、より馴染みのある形式で書き直すこともできます。

${\displaystyle \,g_{\mu \nu }=e^{2\omega }G_{\mu \nu }\!,}$

${\displaystyle \omega ={\frac {2(\Phi _{0}-\Phi )}{D-2}},}$

そして使用する${\displaystyle {\チルダ {\Phi }}=\Phi -\Phi _{0}}$書くことができる

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\left[-{\frac {2(D-26)}{3\alpha '}}e^{\frac {4{\tilde {\Phi }}}{D-2}}+{\tilde {R}}-{\frac {4}{D-2}}\partial _{\mu }{\tilde {\Phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\Phi }}+O(\alpha ')\right],}$

どこ

${\displaystyle {\tilde {R}}=e^{-2\omega }[R-(D-1)\nabla ^{2}\omega -(D-2)(D-1)\partial _{\mu }\omega \partial ^{\mu }\omega ].}$

これは、D次元空間における重力場と相互作用するスカラー場を記述するアインシュタイン作用の公式である。実際、以下の恒等式が成り立つ。

${\displaystyle \kappa =\kappa _{0}e^{2\Phi _{0}}=(8\pi G_{D})^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {8\pi }}{M_{p}}},}$

どこ${\displaystyle G_{D}}$は D 次元のニュートン定数であり、${\displaystyle M_{p}}$対応するプランク質量。${\displaystyle D=4}$この作用では、弦作用にポテンシャル項または反対称項が追加されない限りインフレーションの条件は満たされず、^{[ 3 ]}その場合はべき乗則インフレーションが可能となる。

• ポルチンスキー、ジョセフ（1998a）。弦理論 第1巻：ボソン弦入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-63303-1。
• ポルチンスキー、ジョセフ（1998b）。弦理論 第2巻：超弦理論とその先。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-63304-8。
• Lidsey, James D.; Wands, David ; Copeland, EJ (2000). "超弦宇宙論". Physics Reports . 337 ( 4– 5): 343– 492. arXiv : hep-th/9909061 . Bibcode : 2000PhR...337..343L . doi : 10.1016/S0370-1573(00)00064-8 . S2CID 119349072 . 
• Cicoli, Michele; Conlon, Joseph P; Maharana, Anshuman; Parameswaran, Susha; Quevedo, Fernando ; Zavala, Ivonne (2024). "String Cosmology: from the Early Universe to Today". Phys. Rep . 1059 : 1– 155. arXiv : 2303.04819 . Bibcode : 2024PhR..1059....1C . doi : 10.1016/j.physrep.2024.01.002 .
• ナスターゼ、ホラシウ(2019)。宇宙論と弦理論。シュプリンガー出版。ISBN 978-3030150761。
• バウマン、ダニエル；マカリスター、リアム（2015）。インフレーションと弦理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1107089693。

• arxiv.orgに掲載されている弦理論の宇宙論
• マウリツィオ・ガスペリーニのホームページ