時空三角形図法

物理学と数学において、時空三角形ダイアグラム (STTD) 手法は、変数の不完全分離のスミルノフ法としても知られ、電磁波とスカラー波動に対する直接的な時空領域法です。

1. (電磁気学) マクスウェル方程式系は、場の成分、または電位、あるいはそれらの導関数の2 次偏微分方程式に簡約されます。
2. 空間変数は、便利な展開を使用して級数および/または積分変換に分離されます。ただし、時間変数で制限されたままになるものは除き、結果として双曲型 の PDEになります。
3. 結果として得られる双曲型偏微分方程式と、同時に変換された初期条件は、リーマン・ヴォルテラ積分公式を用いて解かれる問題を構成する。これにより、有界座標時間空間内の三角形領域上の二重積分によって表現される一般的な解が得られる。次に、この領域は、積分が本質的にゼロでない、より複雑だがより小さな領域に置き換えられ、特定の時空三角形ダイアグラムを含む厳密に形式化された手順を使用して求められる（例えば、文献^{[1] [2] [3]}を参照）。
4. ほとんどの場合、得られた解は、以前に分離された変数の既知の関数で乗算され、明確な物理的意味を持つ表現（非定常モード）になります。ただし、多くの場合、展開を合計するか、逆積分変換を行うと、より明確な解が得られます。

STTD法は、波動の理論的取り扱いにおける2つの主要な方法、すなわち周波数領域と直接時空領域のうち、2番目に属します。波動の非均質（発生源関連）記述方程式に対する最も確立された方法は、グリーン関数法に基づくものです。^{[4] Jacksonの}Classical Electrodynamicsのセクション6.4と第14章で説明されている状況では、^[4]遅延ポテンシャル（特に、Liénard-Wiechertポテンシャル）を介した波動場の計算に簡略化できます。

グリーン法とリーマン・ヴォルテラ法の間にはある程度の類似点があるにもかかわらず（文献によってはリーマン関数はリーマン・グリーン関数と呼ばれている^[5]）、波動の問題への適用では異なる状況が生じます。

• グリーン関数とそれに対応するグリーン解の定義は、同次方程式の任意の解を追加する余地を残しているため、一意ではありません。状況によっては、グリーン関数の特定の選択と最終的な解は、境界条件または構築された波動関数の妥当性と物理的許容性によって定義されます。^[6]リーマン関数は、特性で特定の値を追加で取る必要がある同次方程式の解であり、したがって一意に定義されます。
• 不同次方程式の特殊解を与えるグリーン法とは対照的に、リーマン・ヴォルテラ法は、偏微分方程式と初期条件からなる対応する問題に関連している。

^{[7] [8]} そして、スミルノフが高等数学の講義で上記の問題の解の唯一性を証明するために使用したのがリーマン・ヴォルテラ表現であった（^[8]の項目143を参照）。

• 一般的なケースでは、グリーンの公式は座標と時間の変化の全領域にわたる積分を意味しますが、リーマン-ヴォルテラ解の積分は限られた三角形の領域内で実行され、解のサポートの境界性が保証されます。
• （唯一の）リーマン・ヴォルテラ解の因果関係は、引数の遅延特性、特定方向への波の伝播、積分経路の特定の選択などの追加の考慮事項に戻る必要なく、自動的に提供されます。（通常、古典的なスカラー波動方程式などの記述方程式は、T対称性を持ちます。リーマン公式の積分領域を に制限することによって時間の矢印を定義するのは、時間非対称の初期条件です。詳細については、 ^[2]と以下の特定の例を参照してください。）${\displaystyle t>0}$
• グリーン関数は、移動する点源のリエナール・ヴィーヒャルトポテンシャルから容易に導出できるが、波動関数の具体的な計算は、必然的に遅延引数の解析を伴うため、パラメトリック法のような特別な技術を用いない限り、かなり複雑な作業になる可能性がある。^[9]

が呼び出されます。リーマン-ヴォルテラ アプローチは、特に境界サポート ソースを扱う場合に、同じかそれ以上の困難をもたらします。ここでは、積分の実際の限界は、ソース タームの空間時間変数とパラメーターを含む不等式システムから定義する必要があります。ただし、この定義は、時空三角形図を使用して厳密に形式化できます。粒子物理学におけるファインマン図と同じ役割を果たすSTTD は、分離されていない空間変数と時間によって広がる 2D 空間内の積分領域の同じ解析的表現を使用して、領域を定義するための厳密でわかりやすい手順を提供します。

• この方法は、既知のリーマン関数を持つ問題にのみ適用できます。
• この方法の適用と得られた結果の分析には、グリーン関数法よりも、数理物理学の特殊関数（例えば、一般化関数、さまざまな種類のMathieu 関数、2 変数の Lommel 関数の操作）に関するより深い知識が必要です。
• 場合によっては、リーマン関数の急速な振動の領域で最終積分に特別な考慮が必要になります。

直交座標系で電磁気学の問題をスカラー化するいくつかの効率的な方法が、Borisov によって文献^[10]で議論されています。 それらの適用における最も重要な条件は、および です。ここで、 は計量 (ラメ) 係数です (したがって、長さの二乗要素は です )。注目すべきことに、この条件は、直交座標系、一般型円筒座標系、球面座標系など、実際に重要な座標系のほとんどで満たされています。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle h_{3}=1}$${\displaystyle \partial_{3}(h_{1}/h_{2})=0}$${\displaystyle h_{i},i=1,2,3}$${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}dx_{1}^{2}+h_{2}^{2}dx_{2}^{2}+h_{3}^{2}dx_{3}^{2}}$

自由空間での波動の問題の場合、空間変数を分離する基本的な方法は積分変換の適用ですが、誘導システムでの波の発生と伝播の問題の場合、変数は通常、誘導システムの表面で必要な境界条件を満たす基本関数 (モード) に関する展開を使用して分離されます。

直交座標 と一般型円筒座標 では、空間変数の分離により、1Dクライン・ゴードン方程式（KGE）として知られる双曲型偏微分方程式の初期値問題が生じる。${\displaystyle \left\{x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\right\}}$${\displaystyle \left\{x_{1}=x_{1}(x,y),\;x_{2}=x_{2}(x,y),\;x_{3}=z\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{z}^{2}+k^{2}\right)\psi (\tau ,z)=f(\tau ,z)\\&\psi (\tau ,z)=0{\text{ }}\tau <0\end{aligned}}}$

ここで、時間変数は、何らかの特性速度（光速や音速など）を使用して長さの単位で表され、 変数の分離から生じる定数であり、変数分離手順を適用した後に残る初期波動方程式のソース項の一部（級数係数または積分変換の結果）を表します。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f(\tau,z)}$

上記の問題は既知のリーマン関数を持つ

${\displaystyle R_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(zz') ^{2}}}\右),}$

ここで、0次の第一種ベッセル関数です。 ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$

標準変数に渡すと、リーマン-ヴォルテラ法^{[7] [8]}を直接適用した最も単純なSTTD図が得られ、基本積分領域は時空三角形MPQ（濃い灰色）で表される。 ${\displaystyle z,\tau \to \xi ,\eta }$

STTD を反時計回りに 45° 回転させると、従来の時空における STTD のより一般的な形が得られます。 ${\displaystyle z,\tau }$

同次初期条件の場合、問題の（唯一の^[8]）解はリーマン公式で与えられる。

${\displaystyle \psi (\tau ,z)={\frac {1}{2}}\iint \limits _{\triangle MPQ}\,d\tau '\,dz'R(\tau ,z;\tau ',z')f(\tau ',z').}$

波動過程の発展は、固定された観測点 ( ) を用いて三角形の高さを連続的に増加させること ( ) によって追跡することができる。あるいは、時空三角形を軸に沿ってシフトさせることによって波動関数の「瞬間的な画像」を撮影することによっても追跡することができる( )。 ${\displaystyle z={\text{const}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \tau ={\text{const}}}$

より有用で洗練された STTD は、時空内でサポートが制限されるパルス ソースに対応します。それぞれの制限により、STTD に特定の変更が生じ、その結果、積分対象が本質的にゼロではない、より小さく複雑な積分領域が生じます。最も一般的な変更の例とそれらの組み合わせアクションを以下に示します。

球面座標系では、一般的な考慮点を考慮すると、シーケンスで表現 され、ボルグニス関数、デバイポテンシャル、またはヘルツベクトルを使用して、横方向電気（TE）波または横方向磁気（TM）波の問題をスカラー化できます。その後、初期波動関数とソース の展開による角度変数の分離が行われます。${\displaystyle \left\{x_{1}=\theta ,\;x_{2}=\varphi ,\;x_{3}=r\right\}}$${\displaystyle h_{3}=1}$${\displaystyle \theta ,\varphi }$${\displaystyle \psi \left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}$

${\displaystyle \;f\left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}$に関しては

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\sin m\varphi \\\cos m\varphi \end{array}}\right)P_{n}^{(m)}(\cos \theta ),}$

ここで、は次数、位数 のルジャンドル多項式であり、双曲型オイラー・ポアソン・ダルブー方程式の初期値問題となる ^{[3] [10]}${\displaystyle P_{n}^{(m)}\!\left(\cdot \right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{r}^{2}+{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\right)\psi _{nm}(\tau ,r)=f_{nm}(\tau ,r)\\&\psi _{nm}(\tau ,r)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}}$

リーマン関数を持つことが知られている

${\displaystyle R(\tau ,r;\tau ',r')={P_{n}}\left({\frac {r^{2}+{r'}^{2}-(\tau -\tau ')^{2}}{2rr'}}\right),}$

ここで、 は次数の（通常の）ルジャンドル多項式です。 ${\displaystyle P_{n}\!\left(\cdot \right)}$${\displaystyle n}$

STTD法は、古典的なグリーン関数法の代替法である。問題の初期値問題に対する解の一意性のため、^[8]初期条件がゼロの特定のケースでは、STTD法によって提供されるリーマン解は、因果グリーン関数とソース項の畳み込みと一致する必要がある。

2つの方法は、波動関数の明らかに異なる記述を提供する。例えば、クライン・ゴードン問題に対するリーマン関数はベッセル関数（これは、基本三角形MPQで表される制限された領域上で、ソース項とともに積分されなければならない）であるのに対し、クライン・ゴードン方程式に対する遅延グリーン関数は、虚数指数項（平面全体で積分されなければならない、例えば文献^[14]のセクション3.1を参照 ）のフーリエ変換であり、次のように簡約できる。 ${\displaystyle z',\tau '}$

${\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=-{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,{\rm {e}}^{ip(z-z')}\int \limits _{-\infty }^{\infty }d\Omega \,{\frac {{\rm {e}}^{i\Omega (\tau -\tau ')}}{\Omega ^{2}-p^{2}-k^{2}}}.}$

に関する積分を複素領域に拡張し、留数定理（因果条件を満たすように極を選んだもの）を用いると、 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega _{1,2}}$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\pm {\sqrt {p^{2}+k^{2}+i\varepsilon }}\right)}$

${\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }dp\,{\frac {\sin \left((\tau -\tau '){\sqrt {p^{2}+k^{2}}}\right)}{\sqrt {p^{2}+k^{2}}}}\cos(p(z-z')).}$

Gradshteyn と Ryzhikの式 3.876-1 を使用すると、^[15]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }dx\,{\frac {\sin(p{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\cos(bx)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\pi }{2}}J_{0}(a{\sqrt {p^{2}-b^{2}}})&{\text{ for }}&0<b<p\\&0&{\text{ for }}&b>p>0\end{aligned}}\right.\qquad (a>0),}$

最後のグリーン関数表現は^{[16]式に簡約される。}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right)h(\tau -\tau '-|z-z'|),}$

ここで、1/2 はリーマン公式とリーマン関数のスケール係数であり、ヘビサイドのステップ関数は、に対して、積分領域を基本三角形MPQに縮小し、グリーン関数の解を STTD 技術によって提供される解と等しくします。 ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot )}$${\displaystyle \tau >0}$

• VV Borisov、NM Reutova、AB Utkin、「高周波充填による移動電流パルスによって生成される電磁波」。Journal of Physics A: Mathematical and General、38 (10)、2225–2240 (2005)、doi: 10.1088/0305-4470/38/10/012
• VV ボリソフ、「非定常電磁波」、レニングラード：レニングラード国立大学出版局：レニングラード（1987年、ロシア語）