検出理論

概念的には、感度とは、背景事象から標的刺激の存在を検出するのがどれほど難しいか、あるいは容易かを指します。たとえば、認識記憶パラダイムでは、記憶すべき単語を学習する時間が長ければ長いほど、以前に見たり聞いたりした単語を認識しやすくなります。対照的に、5つの単語ではなく30の単語を記憶しなければならない場合は、識別が難しくなります。感度を計算するために最も一般的に使用される統計の1つは、いわゆる感度指数またはd'です。ROC曲線下の面積などのノンパラメトリックな尺度もあります。^{[ 6 ]}

バイアスとは、刺激がある場合とない場合を平均して、ある反応が別の反応よりも起こりやすい度合いのことです。つまり、受話者は刺激があるという反応をする可能性が高い場合もあれば、刺激がないという反応をする可能性が高い場合もあります。バイアスは感度とは無関係です。誤報と見逃しのコストが異なる場合、バイアスは望ましい場合があります。たとえば、刺激が爆撃機である場合、見逃し（爆撃機を検知できないこと）は誤報（爆撃機がいないのに報告すること）よりもコストが高くなる可能性があるため、寛容な反応バイアスが望ましいと言えます。対照的に、誤報が多すぎると（狼少年のように）、人々が反応しにくくなる可能性があり、この問題は保守的な反応バイアスによって軽減できます。

信号検出理論と密接に関連するもう 1 つの分野は、圧縮センシング(または圧縮センシング) と呼ばれています。圧縮センシングの目的は、少数の測定値から、高次元だが複雑度の低いエンティティを復元することです。したがって、圧縮センシングの最も重要なアプリケーションの 1 つは、少数の線形測定値のみで、スパース (またはほぼスパース) であることがわかっている高次元信号を復元することです。信号がスパース、つまり非ゼロ要素が少数しか含まれていない場合、信号の復元に必要な測定の数は、ナイキスト標本化定理が要求するものよりもはるかに少なくなります。圧縮センシングにおける信号復元には、基底追跡、エキスパンダー復元アルゴリズム^{[ 11 ]}、CoSaMP ^{[ 12 ]}、および高速非反復アルゴリズム^{[ 13 ]}など、さまざまな方法があります。上記の復元方法のすべてにおいて、確率的構成または決定論的構成を使用して適切な測定行列を選択することが非常に重要です。言い換えれば、堅牢なスパースリカバリを実現するためには、測定行列はRIP（制限等長性）やヌル空間特性などの特定の条件を満たす必要がある。

特定の観測yの場合に、2 つの仮説H1 (存在しない) とH2 (存在する) の間で決定を下す場合、古典的なアプローチは、p(H1|y) > p(H2|y)の場合はH1 を選択し、逆の場合はH2 を選択することです。 ^{[ 14 ]} 2 つの事後確率が等しい場合、デフォルトの選択肢を 1 つ (常にH1 を選択するか、常にH2 を選択する) にするか、 H1またはH2のいずれかをランダムに選択することができます。H1とH2の事前確率は、たとえば事前確率が高い仮説を常に選択することによって、この選択を導くことができます。

このアプローチを採用する場合、通常分かっているのは条件付き確率p(y|H1)とp(y|H2)および事前確率です。${\displaystyle p(H1)=\pi _{1}}$そして${\displaystyle p(H2)=\pi _{2}}$。 この場合、

${\displaystyle p(H1|y)={\frac {p(y|H1)\cdot \pi _{1}}{p(y)}}}$、

${\displaystyle p(H2|y)={\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y)}}}$

ここで、p(y)は事象yの全確率であり、

$${\displaystyle p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}$$。

H2が選択されるケース

$\displaystyle {\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}\geq {\frac {p(y|H1)\cdot \pi _{1}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$

それ以外の場合はH1。

多くの場合、比率${\displaystyle {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$と呼ばれる$\displaystyle \tau _{MAP}}$そして${\displaystyle {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}}$と呼ばれる${\displaystyle L(y)}$尤度比。​

この用語を用いると、H2は次のような場合に選択されます。${\displaystyle L(y)\geq \tau _{MAP}}$これはMAPテストと呼ばれ、MAPは「最大事後確率」の略です。

この方法を採用することで、想定されるミスの数を最小限に抑えることができる。

場合によっては、H1に適切に対応することの方が、 H2に適切に対応することよりもはるかに重要です。たとえば、H1 (接近する爆撃機が核兵器を搭載している) を示す警報が鳴った場合、H1 = TRUE であれば爆撃機を撃墜することの方が、誤報(つまり、H1 = FALSE、H2 = TRUE) を調査するために戦闘機部隊を派遣することを避けることよりもはるかに重要です (戦闘機部隊が多数あると仮定した場合)。ベイズ基準は、このような場合に適したアプローチです。^{[ 14 ]}

ここでは、4つの状況それぞれに効用が関連付けられています。

• ${\displaystyle U_{11}}$: H1 にふさわしい行動で対応し、H1 が正しい場合: 戦闘機は爆撃機を破壊し、燃料、メンテナンス、武器のコストが発生し、撃墜されるリスクを負う。
• ${\displaystyle U_{12}}$: H1 にふさわしい行動で対応し、H2 が正しい場合: 戦闘機が出撃し、燃料とメンテナンス費用が発生するが、爆撃機の位置は不明のままである。
• ${\displaystyle U_{21}}$: H2 にふさわしい行動で反応し、H1 が真である場合: 都市が破壊される。
• ${\displaystyle U_{22}}$: H2にふさわしい行動で対応し、H2が正しい場合：戦闘機は基地に留まり、爆撃機の位置は不明のままとなる。

以下に示すように、重要なのは違いです。${\displaystyle U_{11}-U_{21}}$そして${\displaystyle U_{22}-U_{12}}$。

同様に、4つの確率があります。${\displaystyle P_{11}}$、${\displaystyle P_{12}}$など、それぞれのケースについて（これは個人の意思決定戦略によって異なります）。

ベイズ基準アプローチは、期待効用を最大化することである。

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+P_{21}\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+P_{22}\cdot U_{22}}$

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+(1-P_{11})\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+(1-P_{12})\cdot U_{22}}$

${\displaystyle E\{U\}=U_{21}+U_{22}+P_{11}\cdot (U_{11}-U_{21})-P_{12}\cdot (U_{22}-U_{12})}$

実際には、合計を最大化することができます。

${\displaystyle U'=P_{11}\cdot (U_{11}-U_{21})-P_{12}\cdot (U_{22}-U_{12})}$、

そして、以下の置換を行います。

${\displaystyle P_{11}=\pi _{1}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H1)\,dy}$

${\displaystyle P_{12}=\pi _{2}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H2)\,dy}$

どこ$\displaystyle \pi _{1}}$そして$\displaystyle \pi _{2}}$事前確率は、${\displaystyle P(H1)}$そして${\displaystyle P(H2)}$、 そして${\displaystyle R_{1}}$は、 H1が真であるかのように反応される観測事象yの領域である。

${\displaystyle \Rightarrow U'=\int _{R_{1}}\left\{\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\right\}\,dy}$

${\displaystyle U'}$そしてこうして${\displaystyle U}$拡張することで最大化されます${\displaystyle R_{1}}$地域全体で

${\displaystyle \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)>0}$

これは、H2 の場合に決定することによって達成されます。

${\displaystyle \pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\geq \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)}$

${\displaystyle \Rightarrow L(y)\equiv {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})}{\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})}}\equiv \tau _{B}}$

それ以外の場合は H1 となり、ここでL(y)はこのように定義された尤度比である。

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