ロスバーガー空間

数学において、ロスバーガー空間は、ある基本的な選択原理を満たす位相空間です。ロスバーガー空間とは、空間の開被覆のすべてのシーケンスに対して、族が空間を覆うような集合が存在する空間です。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$

1938年、フリッツ・ロスバーガーはとして知られる財産を発表しました。^[1]${\displaystyle C''}$

実数直線の部分集合については、ロスバーガー特性は、ベール空間 への連続関数を使用して特徴付けることができます。の部分集合は、すべての関数に対して集合が無限であるような 関数が存在する場合に推測可能です。実数直線の部分集合がロスバーガーである場合と、その空間のベール空間への連続像がすべて推測可能である場合とは同じです。特に、濃度が^[2]未満の実数直線の部分集合はすべてロスバーガーです。 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle \{n:f(n)=g(n)\}}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle \mathrm {cov} ({\mathcal {M}})}$

を位相空間とします。でプレイされるロスバーガー ゲームは、アリスとボブの 2 人のプレイヤーによるゲームです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle X}$

第 1 ラウンド: アリスはのオープンカバーを選択します。ボブはセット を選択します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1}}$

第 2 ラウンド: アリスはのオープンカバーを選択します。ボブはセット を選択します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2}}$

等

ファミリーが空間のカバーである場合、ボブがゲームに勝ちます。そうでない場合は、アリスが勝ちます。 ${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

プレイヤーは、ゲームに勝つためにどのようにプレイすればよいかを知っている場合、勝利戦略を持っています(正式には、勝利戦略は関数です)。 ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

• 位相空間がロスバーガー空間であるとは、アリスがこの空間でプレイするゲームで勝つ戦略を持たないということである。 ^[3]${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• を距離空間とする。ボブがこの空間でプレイするゲームで勝利戦略を持つのは、その空間が可算である場合に限る。^{[3] [4] [5]}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• あらゆる可算位相空間はロスバーガー
• すべてのルージン集合はロスバーガー集合である^[1]
• 実数直線上のすべてのロスバーガー部分集合は強測度ゼロを持つ。^[1]
• ボレル予想の一貫性に関するレーバーモデルでは、実数直線上のすべてのロスバーガー部分集合は可算である。