ヒューレヴィッツ空間

数学において、ヒューレヴィッツ空間は、σ-コンパクト性を一般化する特定の基本選択原理を満たす位相空間です。ヒューレヴィッツ空間とは、空間の開被覆のすべてのシーケンスに対して、空間のすべての点が有限個を除くすべての集合に属するような有限集合が存在する空間です。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {U}}_{ 2},\ldots }$${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\ldots }$

1926年、ヴィトルド・ヒューレヴィッツ^{[1]は、形式的には}メンガーの性質よりも強い、位相空間の上記の性質を導入した。ヒューレヴィッツは、メンガーの予想が正しいかどうか、またヒューレヴィッツの性質がメンガーの性質よりも厳密に強いかどうかは知らなかったが、距離空間のクラスではヒューレヴィッツの性質が-コンパクト性と同等であると予想した。 ${\displaystyle \sigma}$

Hurewicz は、 ZFCではすべての Hurewicz 距離空間が σ コンパクトであると予想しました。Just、Miller、Scheepers、Szeptycki ^{[2] は}、ZFC には Menger ではあるが σ コンパクトではない実数の集合が存在することを示して、Hurewicz の予想が誤りであることを証明しました。彼らの証明は二分法的なものであり、予想が成立しない集合は、特定の (決定不可能な) 公理が成立するかどうかに大きく依存します。

BartoszyńskiとShelah ^[3]（彼らの研究に基づくTsabanの解法^[4]も参照）は、σコンパクトではない実数直線のHurewicz部分集合の均一ZFCの例を与えた。

Hurewicz は、 ZFCにおいて彼の性質が Menger の性質よりも厳密に強いかどうかを尋ねました。2002 年に、Chaber と Pol は未発表のノートで、二分法の証明を使用して、実数直線の Hurewicz 部分集合が Menger ではないことを示しまし た。2008 年に、Tsaban と Zdomskyy ^{[5] は、}実数直線の Hurewicz 部分集合が Menger であるが Hurewicz ではないという統一的な例を示しました。

実数直線のサブセットについて、Hurewicz の性質は、Baire 空間 への連続関数を使用して特徴付けることができます。関数 について、有限個の自然数を除くすべての自然数 に対してと書きます。のサブセットが有界であるとは、すべての関数 に対してとなる関数が存在する場合です。 のサブセットが有界でないと、それは非有界です。Hurewicz は、実数直線のサブセットが Hurewicz であるためには、その空間の Baire 空間への連続像がすべて非有界である必要があることを証明しました。特に、境界数より小さい濃度の実数直線のすべてのサブセットはHurewicz です。 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$${\displaystyle f(n)\leq g(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

を位相空間とします。 でプレイされる Hurewicz ゲームは、2 人のプレイヤー (アリスとボブ) によるゲームです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

第 1 ラウンド: アリスはの開被覆を選択します。ボブは有限集合 を選択します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {U}}_{1}}$

第 2 ラウンド: アリスはの開被覆を選択します。ボブは有限集合 を選択します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {U}}_{2}}$

等

空間のすべての点が有限個以外のすべての集合に属する場合、ボブが Hurewicz ゲームに勝ちます。それ以外の場合は、アリスが勝ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\ldots }$

プレイヤーは、ゲームに勝つためにどのようにプレイすればよいかを知っている場合、勝利戦略を持っています (正式には、勝利戦略は関数です)。

位相空間がヒューレヴィッツ空間であるとは、アリスがこの空間でプレイするヒューレヴィッツゲームで勝利戦略を持たないということである。^[6]

ティコノフ空間 がヒューレヴィツ空間であるためには、空間 とを含むの部分集合 G を含む任意のコンパクト空間に対して、を満たす-コンパクト集合が存在する必要がある。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G_{\delta }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\subset Y\subset G}$

• すべてのコンパクト空間、さらには σ コンパクト空間も Hurewicz 空間です。
• 任意のヒューレヴィツ空間はメンガー空間であり、したがってリンデレーフ空間である。
• ヒューレヴィッツ空間の連続像はヒューレヴィッツ
• Hurewiczの性質は部分集合を取ることで閉じている${\displaystyle F_{\sigma }}$
• Hurewiczの性質は、Mathiasの強制概念が無制限の関数を追加しないフィルタを特徴付ける。^[7]