シンツェルの仮説 H

数学において、シンツェルの仮説 H は、数論のテーマにおける最も有名な未解決問題の一つです。これは、双子素数予想などの広く未解決の予想を非常に広く一般化したものです。この仮説は、アンジェイ・シンツェルにちなんで名付けられました。

この仮説は、正の最高係数を持つ整数上の 非定数既約多項式の有限集合ごとに、次の条件のいずれかが成立すると主張しています。${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}\}}$

1. すべてが同時に素数となるような正の整数は無限に存在する、または${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{1}(n),f_{2}(n),\ldots ,f_{k}(n)}$
2. 多項式に依存する整数（「固定約数」と呼ばれる）が存在し、常に積 を割り切れます。（または、同等に、任意の に対して を割り切れるような が存在するような素数が存在する。）${\displaystyle m>1}$${\displaystyle f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{i}(n)}$

2 番目の条件は、は常に 2 で割り切れるので、などの集合によって満たされます。この条件によって、最初の条件が満たされなくなることは容易にわかります。Schinzel の仮説は、基本的に、条件 2 が条件 1 が成立しない唯一の方法であると主張しています。 ${\displaystyle f_{1}(x)=x+4,f_{2}(x)=x+7}$${\displaystyle (x+4)(x+7)}$

与えられた多項式のセットに対して最初の条件が成り立つかどうかを判断するための効果的な手法は知られていませんが、2 番目の条件は簡単に確認できます。 と で、の連続する値の最大公約数を計算します。有限差分で外挿すると、この約数が の他のすべての値も割り切ることがわかります。 ${\displaystyle Q(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)}$${\displaystyle \deg(Q)+1}$${\displaystyle Q(n)}$${\displaystyle Q(n)}$

シンツェルの仮説は、単一の多項式に対する以前のブニャコフスキー予想と、多重線形多項式に対するハーディ・リトルウッド予想およびディクソン予想に基づいています。これは、ベイトマン・ホーン予想によってさらに拡張されています。

簡単な例として、 ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle x^{2}+1}$

には決まった素因数がない。したがって、素数は無限に存在すると予想される。

${\displaystyle n^{2}+1}$

しかし、これは証明されていません。これはランダウの予想の 1 つであり、1752 年にゴールドバッハに宛てた手紙の中で、 1500 までは素数であることが多いと指摘したオイラーにまで遡ります。 ${\displaystyle n^{2}+1}$${\displaystyle n}$

別の例として、 および を取り上げます。この仮説は、無限個の双子素数が存在することを意味しますが、これは基本的かつ悪名高い未解決問題です。 ${\displaystyle k=2}$${\displaystyle f_{1}(x)=x}$${\displaystyle f_{2}(x)=x+2}$

SchinzelとSierpiński ^[1]によって証明されたように 、これは次のことと同等です。条件2が成立しない場合は、正の主係数を持つ既約積分多項式の任意の選択に対して、すべてが同時に素数となるような正の整数が少なくとも1つ存在します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{i}(n)}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$

先頭の係数が負の場合、負の素数値が期待できますが、これは無害な制限です。

整数値多項式(係数が整数でない場合でも すべての整数に対して整数値を取るなど) ではなく、整数係数を持つ多項式を制限する実際の理由はおそらくありません。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+1}$${\displaystyle x}$

単一の線形多項式の特殊なケースは、等差数列に関するディリクレの定理であり、数論の最も重要な結果の 1 つです。実際、この特殊なケースは、シンツェルの仮説 H の唯一の既知の例です。 より大きい次数の任意の多項式に対して、または 2 つ以上の多項式の任意のシステムに対して、仮説が成り立つかどうかはわかっていません。 ${\displaystyle 1}$

シンツェルの仮説に対するほぼ素数の近似は多くの数学者によって試みられてきた。その中で最も有名なのは、 が素数か半素数であるような素数が無限に存在するというチェンの定理である^[2] と、が素数か半素数であるような整数が無限に存在することを証明したイワニエツである^[3]。スコロボガトフとソフォスは、ほぼすべての固定次数の多項式がシンツェルの仮説 H を満たすこと を証明した^{[4] 。}${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{2}+1}$

を共通因数 を持つ整数値多項式とし、 とします。このとき は原始整数値多項式です。Ronald Joseph Miech は、Brun 篩を使用して、が正の整数上で実行される場合、が無限に頻繁に発生し、したがって が無限に頻繁に発生することを証明しました。数値と は 、およびには依存しません。ここで は多項式 の次数です。この定理は Miech の定理としても知られています。Miech の定理の証明にはBrun 篩が使用されます。 ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle Q(x)={\frac {P(x)}{d}}}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle \Omega (Q(n))\leq k}$${\displaystyle \Omega (P(n))\leq m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m=k+\Omega (d)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k<D\cdot (\ln(D)+2.8)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Q(x)}$

仮説的な確率密度ふるいがある場合、Miech の定理を使用すると、数学的帰納法によってすべてのケースで Schinzel の仮説 H を証明できます。

この仮説は、おそらく解析的数論の現在の手法ではアクセスできないが、ディオファントス幾何学などの条件付き結果を証明するために現在では頻繁に使用されている。この関連性は、ジャン＝ルイ・コリオ＝テレーヌとジャン＝ジャック・サンシュックによるものである。^{[5]この関連性に関する詳細な説明と参考文献については、}スウィナートン＝ダイアーのノートを参照のこと。^[6] この推測的な結果は非常に強い性質を持っているため、期待するには大きすぎることが示される可能性がある。

この仮説はゴールドバッハの予想をカバーしていないが、密接に関連したバージョン（仮説H _N）はカバーしている。これには追加の多項式が必要であり、ゴールドバッハ問題ではこれは となり、 ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x}$

N − F ( n )

は素数であることも要求される。これはハルバースタムとリヒャートの「ふるい法」に引用されている。ここでの予想は、 Nが十分に大きい場合、および次の条件に従うという 文の形をとる。

${\displaystyle f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)(N-F(n))}$

には1より大きい固定の約数がありません。すると、 N − F ( n )が正かつ素数であるようなnの存在を要求できるはずです。また、すべてのf _i ( n )は素数です。

これらの予想の事例は多く知られていないが、詳細な定量的理論が存在する（ベイトマン・ホーン予想を参照）。

固定された素因数を持たないという条件は、純粋に局所的です (つまり、素数だけに依存します)。言い換えると、無限に多くの素数値を取ることに対する局所的な障害のない、既約な整数値多項式の有限集合は、無限に多くの素数値を取ると推測されます。

整数を有限体上の1変数多項式環に置き換えた類似の予想は誤りである。例えば、スワンは1962年に（仮説Hとは関係のない理由で）多項式

${\displaystyle x^{8}+u^{3}\,}$

環F ₂ [ u ] 上の は既約であり、固定された素多項式因子を持たない (結局のところ、x = 0 とx = 1 での値は互いに素な多項式である) が、 x がF ₂ [ u ]上を動くときのすべての値は合成値である。同様の例は、 F _{2 を}任意の有限体に置き換えて見つけることができる。有限体FであるF [ u ]上の仮説 H の適切な定式化における障害は、もはや局所的ではなく、仮説 H が実際に正しいと仮定すると、古典的な類似点のない新しいグローバル障害が発生する。

• Crandall, Richard ; Pomerance, Carl B. (2005).素数: 計算の観点(第 2 版). ニューヨーク: Springer-Verlag . doi :10.1007/0-387-28979-8. ISBN 0-387-25282-7. MR  2156291. Zbl  1088.11001.
• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題(第 3 版)。Springer - Verlag。ISBN 978-0-387-20860-2.ZBL1058.11001  。​
• ポール・ポラック (2008)。「有限体上の多項式に対する仮説 H への明示的アプローチ」。ジャン=マリー・デ・コニンク、アンドリュー・グランビル、フロリアン・ルカ (編)。整数の解剖。2006 年 3 月 13 ～ 17 日、カナダ、モントリオールで開催された CRM ワークショップに基づく。CRM 議事録および講義ノート。第 46 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。259 ～ 273 ページ。ISBN 978-0-8218-4406-9.ZBL1187.11046  。​
• スワン、RG (1962)。「有限体上の多項式の因数分解」。パシフィック数学ジャーナル。12 (3): 1099–1106。doi : 10.2140/ pjm.1962.12.1099。