サベージの主観的期待効用モデル

意思決定理論において、サベージの主観的期待効用モデル（サベージの枠組み、サベージの公理、またはサベージの表現定理とも呼ばれる）は、レナード・J・サベージが1954年の著書『統計学の基礎』 ^{[ 1 ]}で、ラムゼイ^{[ 2 ]}、フォン・ノイマン^{[ 3 ]}、デ・フィネッティ^{[ 4 ]}の先行研究に基づいて開発した主観的期待効用（SEU）の形式化である。

サベージのモデルは、不確実性下におけるエージェントの選択を期待効用最大化によって表現できるような、主観的確率分布と効用関数を導出することに関するものである。SEU理論に対する彼の貢献は、そのような問題が適切に定式化される枠組みを形式化し、その正の解が得られる条件を導出したことにある。

サベージのフレームワークは、不確実性の下でのエージェントの選択を表すために、次のプリミティブを仮定しています。^{[ 1 ]}

• 世界の諸状態${\displaystyle \Omega }$そのうちの1つだけ${\displaystyle \omega \in \Omega }$真実です。エージェントは真実を知りません${\displaystyle \omega }$、 それで${\displaystyle \Omega }$これは、エージェントが不確かな事柄を表す。

• 一連の結果${\displaystyle X}$結果とは、行為者が効用を得る対象のことである。

• 一連の行為${\displaystyle F}$行為は機能である${\displaystyle f:\Omega \rightarrow X}$世界の未知の状態を地図に描く${\displaystyle \omega \in \Omega }$具体的な結果へ${\displaystyle x\in X}$。

• 選好関係${\displaystyle \succsim }$行為を超過して${\displaystyle F}$: 私たちは書く${\displaystyle f\succsim g}$選択肢が限られている場合のシナリオを表す${\displaystyle f,g\in F}$エージェントは（弱く）行動を選択することを好む${\displaystyle f}$厳密な選好${\displaystyle f\succ g}$つまり${\displaystyle f\succsim g}$しかし、それは次のことを主張するものではない${\displaystyle g\succsim f}$。

このモデルは、プリミティブに関する条件を扱う。${\displaystyle (\Omega ,X,F,\succsim )}$―特に好みに関して${\displaystyle \succsim }$―エージェントの選好を、状態に関する何らかの主観的確率に関する期待効用によって表現できる。${\displaystyle \Omega }$すなわち、主観的な確率分布が存在する。${\displaystyle p\in \Delta (\Omega )}$そして効用関数${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$そのため

${\displaystyle f\succsim g\iff \mathop {\mathbb {E} } _{\omega \sim p}[u(f(\omega ))]\geq \mathop {\mathbb {E} } _{\omega \sim p}[u(g(\omega ))],}$

どこ${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } _{\omega \sim p}[u(f(\omega ))]:=\int _{\Omega }u(f(\omega )){\text{d}}p(\omega )}$。

この問題の趣旨は、行為者が複数の行為の中から選択していると考えられる条件を見つけることである。${\displaystyle f\in F}$まるで彼が1)各状態に対する主観的な確率だけを考慮したかのように${\displaystyle \omega \in \Omega }$2) 結果から得られる効用${\displaystyle f(\omega )}$各州で配布される。

サベージは、以下の公理を提唱している。${\displaystyle \succsim }$: ^{[ 1 ] [ 5 ]}

• P1（選好関係）：関係${\displaystyle \succsim }$完了しました（すべて）${\displaystyle f,g\in F}$確かに${\displaystyle f\succsim g}$または${\displaystyle g\succsim f}$）かつ推移的。

• P2（確実性の原則）^{[注1 ]}：あらゆる行為について${\displaystyle f,g\in F}$、 させて${\displaystyle f_{E}g}$結果をもたらす行為である${\displaystyle f(\omega )}$もし${\displaystyle \omega \in E}$そして${\displaystyle g(\omega )}$もし${\displaystyle \omega \notin E}$.そして、あらゆるイベントについて${\displaystyle E\subset \Omega }$およびあらゆる行為${\displaystyle f,g,h,h'\in F}$次のようなことが成り立つ。

${\displaystyle f_{E}h\succsim g_{E}h\implies f_{E}h'\succsim g_{E}h'.}$

言葉で言うと：行動することを好むなら${\displaystyle f}$行動する${\displaystyle g}$イベントが${\displaystyle E}$起こるか起こらないかは問題ではないが、${\displaystyle E}$そんなことは起こらない。

イベント${\displaystyle E\subset \Omega }$エージェントが結果に対して選好を持っている場合、非ヌルになります。${\displaystyle E}$起こる: つまり、存在する${\displaystyle f,g,h\in F}$そのため${\displaystyle f_{E}h\succ g_{E}h}$。

• P3（結果の単調性）：${\displaystyle f\equiv x}$そして${\displaystyle g\equiv y}$絶え間ない行為である。それから${\displaystyle f\succsim g}$かつその場合に限り${\displaystyle f_{E}h\succsim g_{E}h}$すべての非nullイベントについて${\displaystyle E}$。

• P4（信念と嗜好の独立性）：すべての事象について${\displaystyle E,E'\subset \Omega }$そして絶え間ない行為${\displaystyle f\equiv x}$、${\displaystyle g\equiv y}$、${\displaystyle f'\equiv x'}$、${\displaystyle g'\equiv y'}$そのため${\displaystyle f\succ g}$そして${\displaystyle f'\succ g'}$次のように主張する

${\displaystyle f_{E}g\succsim f_{E'}g\iff f'_{E}g'\succsim f'_{E'}g'}$。

• P5（非自明性）：行為が存在する${\displaystyle f,f'\in F}$そのため${\displaystyle f\succ f'}$。

• P6（出来事の連続性）：すべての行為について${\displaystyle f,g,h\in F}$そのため${\displaystyle f\succ g}$有限分割が存在する${\displaystyle (E_{i})_{i=1}^{n}}$の${\displaystyle \Omega }$そのため${\displaystyle f\succ g_{E_{i}}h}$そして${\displaystyle h_{E_{i}}f\succ g}$すべての人々のために${\displaystyle i\leq n}$。

最後の公理はより技術的で、重要なのは${\displaystyle X}$無限です。${\displaystyle E\subset \Omega }$、 させて${\displaystyle \succsim _{E}}$制限となる${\displaystyle \succsim }$に${\displaystyle E}$いかなる行為に対しても${\displaystyle f\in F}$そして州${\displaystyle \omega \in \Omega }$、 させて${\displaystyle f_{\omega }\equiv f(\omega )}$価値ある行為を絶えず行う${\displaystyle f(\omega )}$。

• P7：すべての行為について${\displaystyle f,g,\in F}$そしてイベント${\displaystyle E\subset \Omega }$、 我々は持っています

${\displaystyle f\succsim _{E}g_{\omega }{\text{ }}\forall \omega \in E\implies f\succsim _{E}g}$、

${\displaystyle f_{\omega }\succsim _{E}g{\text{ }}\forall \omega \in E\implies f\succsim _{E}g}$。

定理：環境が与えられた場合${\displaystyle (\Omega ,X,F,\succsim )}$上記で定義したとおり${\displaystyle X}$有限の場合、以下は同等である。

1)${\displaystyle \succsim }$公理P1～P6を満たす。

2) 非原子的な有限加法確率測度が存在する${\displaystyle p\in \Delta (\Omega )}$定義済み${\displaystyle 2^{\Omega }}$そして非定数関数${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$すべての${\displaystyle f,g\in F}$、

${\displaystyle f\succsim g\iff \mathop {\mathbb {E} } _{\omega \sim p}[u(f(\omega ))]\geq \mathop {\mathbb {E} } _{\omega \sim p}[u(g(\omega ))].}$

無限に${\displaystyle X}$、公理P7が必要となる。この包含によりP3は冗長となる。^{[ 8 ]}さらに、どちらの場合も確率測度は${\displaystyle p}$ユニークで機能も${\displaystyle u}$正の線形変換を除いて一意である。^{[ 1 ] [ 6 ]}

• アンスコム・オーマン主観的期待効用モデル
• フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理