ルースとアーロンのペア

数学において、ルース・アーロンのペアとは、2つの連続する整数（例えば714と715）のうち、それぞれの素因数の和が等しいものを指す。

714 = 2 × 3 × 7 × 17、

715 = 5 × 11 × 13、

そして

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29。

素因数分解において複数回出現する素数を何回数えるかによって、定義には様々なバリエーションが存在する。

この名前は、ベーブ・ルースとハンク・アーロンにちなんでカール・ポメランスが付けたもので、ルースのレギュラーシーズン通算ホームラン数は714本で、アーロンは1974年4月8日に通算715本目のホームランを打ってこの記録を破った。アーロン（近隣のアトランタ・ブレーブスに所属）がルースの記録を破った当時、ポメランスはジョージア大学の数学者で、ポメランスの同僚の教え子が714と715の素因数の和が等しいことに気づいた。^{[ 1 ]}

異なる素因数 のみを数える場合、最初のいくつかのルースとアーロンのペアは次のようになります。

( 5 , 6 ), ( 24 , 25 ), ( 49 , 50 ), ( 77 , 78 ), ( 104 , 105 ), ( 153 , 154 ), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

（各ペアのうち小さい方の数値はOEIS：A006145 に記載されています。）

重複する素因数を数えると（例：8 = 2×2×2、9 = 3×3、2+2+2 = 3+3）、最初のいくつかのルツとアーロンのペアは次のようになります。

( 5 , 6 ), ( 8 , 9 ), ( 15 , 16 ), (77, 78), ( 125 , 126 ), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

（各ペアのうち小さい方の値はOEIS：A039752 に記載されています。）

2つのリストの交点は次のようになります。

(5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406).

（各ペアのうち小さい方の値はOEIS：A039753 に記載されています。）

平方因子を持たない整数の Ruth–Aaron ペアは、素因数の合計が同じで両方のリストに属します。共通部分には平方因子を持たないペアも含まれており、たとえば (7129199, 7129200) = (7×11 ² ×19×443, 2 ⁴ ×3×5 ² ×13×457) です。ここで、7+11+19+443 = 2+3+5+13+457 = 480 であり、また 7+11+11+19+443 = 2+2+2+2+3+5+5+13+457 = 491 です。

ルース・アーロンペアは疎である（つまり、密度は0である）。これは1974年にネルソンらによって予想され^{[ 2 ]} 、1978年にポール・エルデシュとポメランスによって証明された^{[ 3 ] 。}

ルツ-アロンの三つ組（重複するルツ-アロンのペア）も存在する（OEIS：A227654 ）。^{[ 4 ]}異なる素因数を数える場合の最初の2つは次のとおりである。

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419、

89460295 = 5 × 4201 × 4259、

89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389、

そして 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465。

151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411、

151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089、

151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021、

3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589。

さらに3つの例が知られており、3089285427491、6999761340223、および7539504384825から始まります。

重複する素因数を数える場合の最初の2つのルース-アーロンの三つ組：

417162 = 2 × 3 × 251 × 277、

417163 = 17 × 53 × 463、

417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499、

そして 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533。

6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197、

6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881、

6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707、

そして 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428。

以下にはこれ以上の例はありません$10^{13}}$[ ^{4 ]​}

• マリス、マグワイア、ソーサのペア

• ワイススタイン、エリック W. 「ルースとアーロンのペア」 . MathWorld .
• 「ルースとアーロンの三つ子」と「ルースとアーロンのペアの再考」。素数のパズルと問題の関連性。2006年11月9日取得。