ルンゲの定理

複素解析において、ルンゲの定理（ルンゲの近似定理とも呼ばれる）は、1885年に初めてそれを証明したドイツの数学者カール・ルンゲにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]}それは次のように述べられています。

Cを複素数の集合とし、Kを の閉部分集合とする。$\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$そして、f をKを含む開集合上で正則な関数とする。Aが、の連結成分から少なくとも 1 つの複素数を含む集合である場合${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$すると、数列が存在する${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$K上でfに一様に収束し、かつ関数のすべての極が${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$Aに属しています。

Aに含まれるすべての複素数が、数列のすべての有理関数の極である必要はないことに注意してください。${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$私たちは、すべてのメンバーについて${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$極を持つものは、Aにあります。

この定理が非常に強力な理由の一つは、集合A を任意に選択できることである。言い換えれば、有界連結成分から任意の複素数を選択できる。${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$そして、この定理は、極が選択された数の中にのみ存在する有理関数の列の存在を保証する。

Kがコンパクト部分集合である特殊なケースでは${\displaystyle \mathbb {C} }$そして${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$連結集合を選ぶことができる${\displaystyle A=\{\infty \}}$無限遠点以外に極を持たない有理関数は単に多項式であるため、次の系が得られます。KがCのコンパクト部分集合であり、C \ Kが連結集合である場合、 f がKを含む開集合上の正則関数である 場合、多項式の列が存在します。${\displaystyle (p_{n})}$K上で一様にfに近づく。

サラソン（1998）に触発された初等的な証明は、次のように進む。開集合内に、 Kを内部に含む閉じた区分的線形輪郭Γが存在し、選択されたすべての特異点がその外部にある。コーシーの積分公式により

${\displaystyle f(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\,dz \over zw}}$

Kのwについて。リーマン近似和を使用すると、 K上で経路積分を一様に近似できます(導関数についても同様の式があります)。和の各項は、経路上の点zに対して ( z − w ) ⁻¹のスカラー倍になります。これにより、Γ 上に極を持つ有理関数による一様近似が得られます。

これをKの補集合の各成分の指定された点に極を持つ近似式に修正するには、( z  − w ) ⁻¹の形の項をチェックすれば十分です。z 0 が z と同じ成分の点である場合は、_zからz 0へ_のパス を取ります。 

経路上の2点が十分に近接している場合は、次の式を使用できます。

${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{0}}}={\frac {1}{z-w_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z_{0}-w_{0}}{z-w_{0}}}\right)^{n}}$（等比数列によって検証済み）

円補空間で有効${\displaystyle |z_{0}-w_{0}|<|zw|}$; コンパクト性により、選択された経路は K に対して正の距離を持つことに注意してください。この級数は、K上の元の関数に一様に近く、2 番目の点にのみ極を持つ有理関数に切り捨てることができます。z からz 0までの経路に沿ってステップを進めると、元の関数 ( z − w ) ^{−1 は}_、z ₀にのみ極を持つ有理関数に順次修正できます。

z _0が無限遠点である場合、上記の手順により、有理関数 ( z − w ) ^{−1 は、まず}R > 0に極を持つ有理関数gで近似できます。ここでRは非常に大きいため、K はw < Rに含まれます。次に、0 の周りのgのテイラー級数展開を打ち切ると、 K上の多項式近似が得られます。

いつ${\displaystyle K}$複素平面のコンパクト部分集合である${\displaystyle \mathbb {C} }$そのため${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$接続されている場合、メルゲリャンの定理は条件を緩和します${\displaystyle f}$代わりに要求する${\displaystyle f}$開集合上で正則であること${\displaystyle K}$必要なのは${\displaystyle f}$継続する${\displaystyle K}$、内部では正則である${\displaystyle K}$。

ルンゲの定理はリーマン面にも一般化される。^{[ 2 ]：定理4}

元のルンゲの定理は、次のように設定することによって得られる。${\displaystyle X=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus A}$、 どこ${\displaystyle A}$接続されたコンポーネントごとに 1 つの要素が含まれています${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$。

複数の複素変数の関数については、ルンゲの定理の単純な一般化は成り立ちません。真となる類似の定理を作るには、さらなる制約が必要です。その一般化の一つが岡・ワイルの定理です。

• メルゲリャンの定理
• 岡-ワイルの定理
• シュタイン多様体におけるベーンケ・シュタインの定理

• コンウェイ、ジョン・B. (1997)、関数解析入門（第2 版）、シュプリンガー、ISBN 0-387-97245-5
• Greene, Robert E. ; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (2nd  ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X
• サラソン、ドナルド（1998）、『複素関数論に関するノート』、数学テキストと読本、第5巻、ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー、 108～  115ページ、ISBN  81-85931-19-4

• 「ルンゲの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]