カップル（メカニック）

物理学において、偶力とは、大きさが等しく作用方向が反対の一対の力のことである。偶力は、並進運動を伴わない純粋な回転運動を生み出す。

最も単純なタイプの偶力は、作用線が一致しない、大きさが等しく反対向きの2 つの力から構成されます。これは「単純偶力」と呼ばれます。 ^{[ 1 ]}これらの力は、力の平面に垂直な軸を中心とした回転効果またはモーメント、すなわちトルクを持ちます。偶力のトルクのSI 単位はニュートンメートルです。

2つの力がFと−Fである場合、トルクの 大きさは次の式で与えられます。$$\displaystyle \tau =Fd}$$ どこ

• $\displaystyle \tau }$カップルの瞬間
• Fは力の大きさです
• dは、2つの平行な力間の垂直距離（モーメント）です。

トルクの大きさはF • dに等しく、トルクの方向は単位ベクトルで表されます。${\displaystyle {\hat {e}}}$これは、2つの力を含む平面に垂直で、反時計回りの偶力として正となる。dを力の作用点間のベクトルとすると、トルクはdとFの外積、すなわち $$\displaystyle \mathbf {\tau } =|\mathbf {d} \times \mathbf {F} |.}$$

力のモーメントは、ある点Pに関してのみ定義され (「 P周りのモーメント」と呼ばれます)、一般に、Pが変化するとモーメントも変化します。しかし、偶力のモーメント (トルク) は基準点Pに依存しません。どの点からでも同じモーメントが得られます。^{[ 1 ]}言い換えれば、偶力は、より一般的なモーメントとは異なり、「自由ベクトル」です。(この事実は、ヴァリニョンの第二モーメント定理と呼ばれます。) ^{[ 2 ]}

この主張の証明は次のとおりです。力ベクトルF ₁、F ₂などが偶力を形成し、それぞれが（ある原点Pを中心とする）位置ベクトルr ₁、r ₂などを持つとします。Pを中心とするモーメントは次のようになります。

${\displaystyle M=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots }$

ここで、ベクトルrだけPと異なる新しい基準点P'を選択します。新しいモーメントは

${\displaystyle M'=(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}+\cdots }$

ここで、クロス積の分配法則は、

${\displaystyle M'=\left(\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots \right)+\mathbf {r} \times \left(\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots \right).}$

しかし、力偶の定義は、

$\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots =0.}$

したがって、

${\displaystyle M'=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots =M}$

これは、モーメントが基準点に依存しないことを証明しており、偶力が自由ベクトルであることの証明となる。

質量中心から距離dの位置にある剛体に加わる力F は、質量中心に直接加わる同じ力と同じ効果を持ち、偶力Cℓ = Fd が生じます。偶力は、偶力の平面に垂直な方向に剛体の角加速度を生み出します。 ^{[ 3 ]}質量中心における力は、向きを変えずに力の方向に剛体を加速させます。一般的な定理は次のとおりです。^{[ 3 ]}

剛体の任意の点O′に作用する単一の力は、任意の点Oに作用する等しく平行な力Fと、 OとO ′の間の距離dをモーメントとする、Fに平行な力からなる偶力によって置き換えることができる。逆に、偶力とその偶力の平面内の力は、適切な位置に配置された単一の力によって置き換えることができる。

任意の偶力は、同じ平面上で同じ方向とモーメントを持ち、任意の所望の力または任意の所望の腕を持つ別の偶力に置き換えることができる。^{[ 3 ]}

工学や物理科学において、カップルは非常に重要です。いくつかの例を挙げると次のようになります。

• ドライバーに手が加える力
• ドライバーの先端がネジの頭に加える力
• 回転するプロペラに作用する抗力
• 一様な電場中の電気双極子に働く力
• 宇宙船の姿勢制御システム
• ハンドルに手が加える力
• 「揺れるカップル」は、振動を引き起こす通常の不均衡です

• 牽引力（工学）
• トルク
• モーメント（物理学）
• 力

• HF Girvin (1938)応用力学、§28 偶力、pp 33,4、スクラントン、ペンシルバニア：インターナショナル テキストブック カンパニー。