メタセントリック高さ

メタセントリック高（GM）は、浮体の初期静的安定性の尺度である。^[1]これは、船舶の重心とメタセントリック間の距離として計算される。メタセントリック高が大きいほど、転覆に対する初期安定性が大きいことを意味する。メタセントリック高は船体の自然横揺れ周期にも影響し、メタセントリック高が非常に大きいと横揺れ周期が短くなり、乗客にとって不快になる。したがって、十分に高いが過度に高くないメタセントリック高が旅客船にとって理想的であると考えられている。

浮心は船体が排水する水の体積の質量の中心にあります。この点は造船学ではBと呼ばれます。船の重心は一般にG点またはCG 点として示されます。船が平衡状態にあるとき、浮心は船の重心と垂直に一直線になります。^[1]

メタセンターは、浮力の上向きの力 φ ± dφ の線が交差する点です (角度 φ で)。船が垂直の場合、メタセンターは重心より上にあるため、船が横転すると傾斜と反対方向に移動します。この距離はGMとも略されます。船が傾斜すると、重心は船の重量と積荷の位置だけに依存するため、船に対して一般的に固定されたままですが、表面積が増加し、BMφ が増加します。安定した船体を横転させるには作業を行う必要があります。これは、船体の質量中心を水面に対して上げるか、浮心を下げるか、またはその両方を行うことで位置エネルギーに変換されます。この位置エネルギーは船体を正しい位置に戻すために解放され、位置エネルギーが最も小さい位置で安定した姿勢になります。位置エネルギーと運動エネルギーの相互作用により、船は自然な横転周波数を持つことになります。角度が小さい場合、メタセンターMφは横方向の成分とともに移動するため、質量中心の真上にはなくなります。^[2]

船の復元力は、2 つの等しい力の間の水平距離に比例します。これらは、質量の中心で下向きに作用する重力と、浮心とその上のメタセンターを介して上向きに作用する同じ大きさの力です。復元力は、メタセンターの高さに傾斜角の正弦を掛けたものに比例するため、安定性にとってメタセンターの高さが重要です。船体が復元すると、質量の中心が下がるか、浮心の上昇に合わせて水が落ちるか、またはその両方によって作業が行われます。

たとえば、完全に円筒形の船体が横揺れする場合、浮心は円筒の軸上の同じ深さに留まります。しかし、重心が軸より下にある場合、重心は片側に移動し、上昇して位置エネルギーを生み出します。逆に、完全に長方形の断面を持つ船体の重心が水面上にある場合、重心は同じ高さに留まりますが、船体が傾くと浮心は下がり、再び位置エネルギーを蓄えます。

中心の共通基準を設定する場合、通常はキールの成形線（プレートまたは板材内）（K）が選択されます。したがって、基準高さは次のようになります。

• KB – 浮力の中心へ
• KG – 重心まで
• KMT – 横断メタセンターへ

船が傾くと (横に転がる)、船の浮心は横方向に移動します。また、水線に対して上下に移動することもあります。傾いた浮心を通る垂直線が、元の垂直な浮心を通る線と交差する点がメタセンターです。定義により、メタセンターは浮心の真上に残ります。

上の図では、2 つの B は、直立状態と傾斜状態の船の浮力の中心を示しています。傾斜角が小さい場合、メタセンター M は船に対して固定されていると考えられますが、傾斜角が大きくなるとメタセンターは固定されているとは見なされなくなり、船の安定性を計算するにはメタセンターの実際の位置を見つける必要があります。

次の式を使用して計算できます。

• ${\displaystyle KM=KB+BM}$
• ${\displaystyle BM={\frac {I}{V}}\ }$

ここで、KBは浮心（キールからの高さ）、Iは回転軸の周りの水面の面積の2次モーメント（メートル^4）、Vは排水量（メートル³）。KMはキールからメタセンターまでの距離です。^[3]

安定した浮遊物体は、バネの重りのように、自然な回転周波数を持ち、バネが硬くなるにつれて周波数が高くなります。ボートでは、バネの硬さに相当するのは「GM」または「メタセントリック高さ」と呼ばれる距離で、これはボートの重心「G」とメタセンターと呼ばれる点「M」の 2 点間の距離です。

メタセンターは、ボートの慣性抵抗とボートの容積の比率によって決まります。(慣性抵抗は、ボートの水線幅が転覆にどの程度抵抗するかを数値化したものです。) 幅広で浅い船体は横方向のメタセンターが高く、幅狭で深い船体はメタセンターが低くなります。バラストを無視すると、幅広で浅いということは船の横揺れが非常に大きいことを意味し、幅狭で深いということは船の転覆が非常に難しく、剛性が高いことを意味します。

「G」は重心です。ボートの剛性パラメータである「GM」は、重心を下げるか、船体形状を変更する（したがって、排水量と水面の面積の 2 次モーメントが変化する）か、またはその両方を行うことで長くすることができます。

理想的なボートはバランスが取れています。非常に柔らかく、横揺れが非常に遅いボートは、転覆の危険がありますが、乗客にとっては快適です。ただし、メタセントリック高さが高い船舶は「過度に安定」しており、横揺れが短いため、デッキレベルでの加速度が高くなります。

セーリングヨット、特にレーシングヨットは、風による帆の傾斜効果に抵抗するために、質量の中心とメタセンターの間の距離が非常に大きいように設計されており、剛性が高くなっています。このような船舶では、高いマストの慣性モーメントと帆の空気力学的減衰により、横揺れが不快になりません。

メタセントリック高さは、小さな傾斜角 (0 ～ 15 度) での船の安定性の近似値です。この範囲を超えると、船の安定性は復元モーメントと呼ばれるものによって左右されます。船体の形状に応じて、造船技師は傾斜角が大きくなるにつれて浮力の中心を繰り返し計算する必要があります。次に、この角度での復元モーメントを計算します。復元モーメントは次の式で求められます。

$${\displaystyle RM=GZ\cdot \Delta }$$

ここで、RM は復原力、GZ は復原力、Δは排水量です。船舶の排水量は一定であるため、一般的には復原力と傾斜角を単純にグラフ化します。復原力( GZとも呼ばれます。図を参照) は、浮力線と重力線の間の水平距離です。^[2]

• ${\displaystyle GZ=GM\cdot \sin \phi }$ ^[1]小さな傾斜角で

復元力/復元モーメントに関して決定しなければならない重要な要素がいくつかあります。これらは、最大復元力/復元モーメント、デッキ浸水点、浸水角度、および消失安定点として知られています。最大復元モーメントは、船舶を転覆させずに船舶に適用できる最大モーメントです。デッキ浸水点は、メインデッキが最初に海に接する角度です。同様に、浸水角度は、水が船舶のより深くまで浸水できる角度です。最後に、消失安定点は不安定な平衡点です。この角度より小さい傾斜では船舶は元の位置に戻りますが、この角度より大きい傾斜では負の復元モーメント (または傾斜モーメント) が発生し、船舶は引き続き横転します。船舶が消失安定点に等しい傾斜に達すると、どのような外力でも船舶は転覆します。

帆船は動力船よりも大きな傾斜角で運航するように設計されており、極端な角度での復原モーメントが非常に重要です。

単胴帆船は、少なくとも120°の傾斜に対して正の復元力（正の安定性の限界）を持つように設計されるべきであるが^[4]、多くの帆船ヨットは90°（マストが水面と平行）までの安定性限界を持っている。特定の傾斜度での船体の変位は比例しないため、計算が困難な場合があり、この概念が正式に造船学に導入されたのは1970年頃であった。^[5]

メタセンターは船の横揺れ周期と直接関係があります。GM が小さい船は「柔らかい」、つまり横揺れ周期が長い船です。GM が極端に低い、または負の値になると、HMS CaptainやVasaのように、荒天時に船が転覆するリスクが高まります。また、 Cougar Aceのように、積荷やバラストが移動した場合に船が大きく傾斜するリスクもあります。GM が低い船は、メタセンターの高さが低いため安全マージンが小さいため、損傷して部分的に浸水した場合の安全性が低くなります。このため、国際海事機関などの海事規制機関は、航行する船舶の最小安全マージンを規定しています。一方、メタセンターの高さが大きいと、船が「硬くなりすぎ」ることがあります。安定性が高すぎると、乗客や乗組員にとって不快です。これは、硬い船は波の傾斜に乗ろうとするため、海に素早く反応するからです。硬すぎる船は、周期が短く振幅が大きい状態で横揺れし、角加速度が大きくなります。これにより、船や貨物の損傷リスクが高まり、波の固有周期が船の横揺れの固有周期と一致する特殊な状況では、過度の横揺れが発生する可能性があります。十分な大きさのビルジ キールで横揺れを減衰すれば、危険は軽減されます。この動的安定性効果の基準はまだ開発されていません。対照的に、「テンダー」船は波の動きに遅れ、より小さな振幅で横揺れする傾向があります。客船は、快適性のために通常、横揺れ周期が長く、おそらく 12 秒ですが、タンカーや貨物船の横揺れ周期は 6 ～ 8 秒です。

ロール周期は次の式から推定できる：^[1]

$${\displaystyle T={\frac {2\pi \,(a_{44}+k)}{\sqrt {g{\overline {GM}}}}}\ }$$

ここで、gは重力加速度、a44 は追加された回転半径、kは重心を通る縦軸の周りの回転半径、は安定性指数です。${\displaystyle {\overline {GM}}}$

船が浸水すると、浮心KBの増加と水面面積の減少（つまり水面慣性モーメントの減少）によって安定性が失われ、メタセントリック高さが減少します。 ^[1]この追加質量により、乾舷（水からデッキまでの距離）と船の浸水角（水が船体に流入できる最小傾斜角）も減少します。正の安定性の範囲は浸水角まで減少し、復原力が低下します。船が傾くと、浸水容積内の流体が下側に移動し、重心が傾斜方向に移動し、傾斜力がさらに大きくなります。これは自由表面効果として知られています。

タンクまたは空間が部分的に液体または半液体 (魚、氷、穀物など) で満たされている場合、タンクを傾けると液体または半液体の表面は水平に保たれます。その結果、タンクまたは空間の重心が全体の重心に対して移動します。この効果は、大きな平らなトレイに水を載せて運ぶ場合と似ています。端が傾くと、水はその側に流れ込み、傾きがさらに悪化します。

この効果の重要性はタンクまたは区画の幅の 3 乗に比例するため、領域を 3 分の 1 に分割する 2 つのバッフルにより、流体の重心の変位が 9 分の 1 に減少します。これは、船舶の燃料タンクまたはバラスト タンク、タンカーの貨物タンク、および損傷した船舶の浸水または部分浸水区画で重要です。自由表面効果のもう 1 つの懸念される特徴は、正のフィードバックループが確立される可能性があることです。このループでは、ロールの周期が流体の重心の動きの周期に等しいかほぼ等しくなり、ループが壊れるか船舶が転覆するまで、各ロールの大きさが増加します。

これは、歴史上の転覆において顕著であり、最も有名なのは、MS ヘラルド・オブ・フリー・エンタープライズ号とMS エストニア号の転覆である。

船がピッチングするときのメタセンターの前後移動についても同様に考慮する必要があります。メタセンターは通常、横方向（左右方向）のローリング運動と縦方向の縦揺れ運動について別々に計算されます。これらは、および、GM(t)およびGM(l)、またはGMtおよびGMlと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle {\overline {GM_{T}}}}$${\displaystyle {\overline {GM_{L}}}}$

技術的には、検討中の回転軸の周りの船舶の水面領域の慣性モーメントに応じて、ピッチングとロールの動きのあらゆる組み合わせに対して異なるメタセントリック高さがありますが、通常は、制限される純粋なピッチングとロールの動きの特定の値としてのみ計算され、示されます。

メタセントリック高さは通常、船舶の設計時に推定されますが、建造後に傾斜テストによって決定することもできます。これは、船舶または沖合浮体プラットフォームの運用中に行うこともできます。構造物の形状に基づいて理論式で計算できます。

傾斜実験中に得られた角度は、GM に直接関連しています。傾斜実験によって、「構築された」重心を見つけることができ、実験測定 (振り子のスイング測定とドラフト読み取りによる) によってGMとKM を取得すると、重心KG を見つけることができます。したがって、KM と GM は傾斜中の既知の変数になり、KG は必要な計算変数になります (KG = KM-GM)