レプリケータ方程式

数学において、レプリケータ方程式は、進化ゲーム理論で使用される決定論的 単調非線形 非革新的ゲームダイナミクスです。^{[1]レプリケータ方程式は、特定}のタイプの適応度を定数に設定するのではなく、適応度関数に集団タイプの分布を組み込むことができるという点で、準種方程式などの複製をモデル化するために使用される他の方程式とは異なります。この重要な特性により、レプリケータ方程式は選択の本質を捉えることができます。準種方程式とは異なり、レプリケータ方程式は突然変異を組み込まないため、新しいタイプや純粋な戦略を革新することはできません。

レプリケータ方程式の最も一般的な連続形式は、次の微分方程式で与えられます。

ここで、は集団内のタイプの割合、は集団内のタイプの分布のベクトル、はタイプの適応度（集団に依存）、 は平均集団適応度（集団内のタイプの適応度の加重平均で与えられる）です。 集団ベクトルの要素は定義により合計すると 1 になるため、この式は n 次元単体上で定義されます。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle f_{i}(x)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

レプリケータ方程式は、均一な個体群分布を前提としています。つまり、個体群構造は適応度に組み入れられません。適応度地形は、準種方程式などの他の同様の方程式とは対照的に、タイプの個体群分布を組み入れます。

応用上、母集団は一般に有限であるため、離散バージョンの方が現実的です。離散定式化では分析がより困難で計算量も増えるため、連続形式がよく使用されますが、この平滑化により重要な特性が失われます。連続形式は、制限処理によって離散形式から取得できることに注意してください。

分析を簡略化するために、適応度は集団分布に線形に依存すると仮定されることが多く、これによりレプリケータ方程式は次の形式で表されます。

${\displaystyle {\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right)}$

ここで、ペイオフ行列は 集団のすべての適応度情報を保持します。期待されるペイオフは と表すことができ、集団全体の平均適応度は と表すことができます。時間に対する2 つの割合の比率の変化は、次の式で表すことができます。言い換えれば、比率の変化は、タイプ間の適応度の差によってのみ左右されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(Ax\right)_{i}}$${\displaystyle x^{T}Ax}$${\displaystyle x_{i}/x_{j}}$$${\displaystyle {d \over {dt}}\left({x_{i} \over {x_{j}}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]}$$

タイプ の個体数が で、個体の総数が であるとします。各タイプの割合を と定義します。各タイプの変化は幾何ブラウン運動によって支配されると仮定します。ここで、 はタイプ に関連付けられた適応度です。タイプ の平均適応度です。ウィーナー過程は無相関であると仮定します。 について、伊藤の補題により次のようになります。偏導関数は次のようになります。ここで、はクロネッカーのデルタ関数です。これらの関係から次のことが分かります。この方程式の各要素は、次のように計算できます。各タイプの確率的レプリケータダイナミクス方程式は、次のように表されます。項が常にゼロであると仮定すると、決定論的レプリケータダイナミクス方程式が復元されます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{i}=N_{i}/N}$$${\displaystyle dN_{i}=f_{i}N_{i}dt+\sigma _{i}N_{i}dW_{i}}$$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \phi =x^{T}f}$${\displaystyle x_{i}(N_{1},...,N_{m})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}dx_{i}(N_{1},...,N_{m})&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}\partial N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}&={1 \over {N}}\delta _{ij}-{x_{i} \over {N}}\\{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$$${\displaystyle dx_{i}={dN_{i} \over {N}}-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}+x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{dN_{i} \over {N}}&=f_{i}x_{i}dt+\sigma _{i}x_{i}dW_{i}\\-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}&=-x_{i}\left(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)\\-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2}dt\\x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}&=x_{i}\left(\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}}$$$${\displaystyle dx_{i}=x_{i}\left(f_{i}-\phi -\sigma _{i}^{2}x_{i}+\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt+x_{i}\left(\sigma _{i}dW_{i}-\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)}$$${\displaystyle \sigma _{i}}$

分析は連続の場合と離散の場合で異なります。前者では微分方程式の方法が利用されますが、後者では方法は確率的になる傾向があります。レプリケータ方程式は非線形であるため、正確な解を得るのは困難です (連続形式の単純なバージョンでも)。そのため、方程式は通常、安定性の観点から分析されます。レプリケータ方程式 (連続形式と離散形式の両方) は、方程式の均衡の安定性を特徴付ける進化ゲーム理論のフォーク定理を満たします。方程式の解は、多くの場合、集団の 進化的に安定した状態の集合によって与えられます。

一般的な非退化のケースでは、内部進化安定状態 (ESS) は最大で 1 つしか存在できませんが、単体の境界には多くの平衡状態が存在する可能性があります。単体のすべての面は前方不変であり、これはレプリケータ方程式における革新の欠如に対応します。つまり、戦略が絶滅すると、それを復活させる方法はありません。

連続線形適合度レプリケータ方程式の位相ポートレート解は、2 次元および 3 次元の場合に分類されています。高次元では、異なるポートレートの数が急速に増加するため、分類はより困難になります。

型に関する連続複製子方程式は、次元における一般化ロトカ・ヴォルテラ方程式と同等である。^{[2] [3]}変換は変数の変更によって行われる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}},}$

ここで はロトカ・ヴォルテラ変数である。連続複製子ダイナミクスはプライス方程式とも等価である。^[4]${\displaystyle y_{i}}$

世代が重複しない構造化されていない無限の集団を考える場合、複製方程式の離散形式を扱う必要があります。数学的には、2つの単純な現象論的バージョンがあります---

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}+x_{i}\left[\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}}$

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}\left[{\frac {\left(Ax\right)_{i}}{x^{T}Ax}}\right]\,({\rm {type~II),}}}$

---は、ダーウィンの自然淘汰の教義や、それに類似した進化現象と一致しています。ここで、プライムは次のタイムステップを表します。ただし、方程式の離散的な性質により、報酬行列の要素に制限が課されます。^[5]興味深いことに、2人プレイヤー2戦略ゲームの単純なケースでは、タイプIレプリケータマップは、カオスにつながる周期倍増分岐を示すことができ、マップの周期解に対応するために進化的安定状態の概念を一般化する方法のヒントも提供します^[6]。

突然変異を組み込んだ複製子方程式の一般化は複製子-突然変異子方程式によって与えられ、連続バージョンでは次の形を取る：^[7]

${\displaystyle {\dot {x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

ここで、行列はタイプからタイプ への突然変異の遷移確率を与え、は の適応度、は集団の平均適応度です。この方程式は、レプリケータ方程式と準種方程式を同時に一般化したものであり、言語の数学的分析で使用されます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle \phi }$

レプリケータ-ミューテータ方程式の離散バージョンには、上記の 2 つのレプリケータ マップに沿って 2 つの単純なタイプがあります。

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}+\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

そして

${\displaystyle x'_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},}$

それぞれ。

レプリケータ方程式またはレプリケータミューテータ方程式は、人口状態に関する遅延情報に対応する遅延効果、またはプレイヤー間の相互作用の効果を実現する遅延効果を含めるように拡張することができます^{[8] 。レプリケータ方程式は、}非対称ゲームに簡単に一般化することもできます。人口構造を組み込んだ最近の一般化は、進化グラフ理論で使用されています。^[9]

• Cressman, R. (2003)。『進化ダイナミクスと拡張形式ゲーム』 MIT 出版。
• Taylor, PD; Jonker, L. (1978). 「進化的安定戦略とゲームダイナミクス」.数理生物科学, 40 : 145–156.
• サンドホルム、ウィリアム H. (2010)。人口ゲームと進化ダイナミクス。経済的学習と社会進化、MIT 出版。