リード・ソロモン誤り訂正

リードとソロモンの元の構成では、メッセージ${\displaystyle m=(m_{0},\dots ,m_{k-1})\in F^{k}}$多項式にマッピングされる${\displaystyle p_{m}}$と $${\displaystyle p_{m}(a)=\sum _{i=0}^{k-1}m_{i}a^{i}=m_{0}+m_{1}a+m_{2}a^{2}+\cdots +m_{k-1}a^{k-1}}$$ 合言葉${\displaystyle m}$評価によって得られる${\displaystyle p_{m}}$で${\displaystyle n}$異なるポイント${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n-1}}$その分野の${\displaystyle F}$^{[ 1 ]}したがって、古典的な符号化関数${\displaystyle C:F^{k}\to F^{n}}$リード・ソロモン符号は次のように定義されます。 $${\displaystyle C(m)={\begin{bmatrix}p_{m}(a_{0})&p_{m}(a_{1})&\cdots &p_{m}(a_{n-1})\end{bmatrix}}}$$

この関数${\displaystyle C}$は線形写像であり、すなわち、${\displaystyle C(m)=mA}$以下の${\displaystyle k\times n}$-マトリックス${\displaystyle A}$要素を含む${\displaystyle F}$。

$${\displaystyle C(m)=mA={\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{k-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\dots &1\\a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n-1}\\a_{0}^{2}&a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&\dots &a_{n-1}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}^{k-1}&a_{1}^{k-1}&a_{2}^{k-1}&\dots &a_{n-1}^{k-1}\end{bmatrix}}}$$

この行列は、上のヴァンデルモンド行列です。${\displaystyle F}$言い換えれば、リード・ソロモン符号は線形符号であり、古典的な符号化手順では、その生成行列は次のようになる。${\displaystyle A}$。

系統的なリード・ソロモン符号を生成する代替符号化手順があります。1つの方法は、ラグランジュ補間を使用して多項式を計算します。${\displaystyle p_{m}}$そのため$${\displaystyle p_{m}(a_{i})=m_{i}{\text{すべての }}i\in \{0,\dots ,k-1\}について}$$それから${\displaystyle p_{m}}$他のポイントで評価される${\displaystyle a_{k},\dots ,a_{n-1}}$。

$${\displaystyle C(m)={\begin{bmatrix}p_{m}(a_{0})&p_{m}(a_{1})&\cdots &p_{m}(a_{n-1})\end{bmatrix}}}$$

この関数${\displaystyle C}$これは線形写像です。対応する体系的符号化行列Gを生成するには、行列AにAの左正方部分行列の逆行列を乗算します。

$${\displaystyle G=(Aの左正方部分行列}})^{-1}\cdot A={\begin{bmatrix}1&0&0&\dots &0&g_{1,k+1}&\dots &g_{1,n}\\0&1&0&\dots &0&g_{2,k+1}&\dots &g_{2,n}\\0&0&1&\dots &0&g_{3,k+1}&\dots &g_{3,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\dots &0&\dots &1&g_{k,k+1}&\dots &g_{k,n}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle C(m)=mG}$以下の${\displaystyle k\times n}$-マトリックス${\displaystyle G}$要素を含む${\displaystyle F}$。 $${\displaystyle C(m)=mG={\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{k-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\dots &0&g_{1,k+1}&\dots &g_{1,n}\\0&1&0&\dots &0&g_{2,k+1}&\dots &g_{2,n}\\0&0&1&\dots &0&g_{3,k+1}&\dots &g_{3,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\dots &0&\dots &1&g_{k,k+1}&\dots &g_{k,n}\end{bmatrix}}}$$

離散フーリエ変換は、本質的には符号化手順と同じであり、生成多項式を使用します。${\displaystyle p_{m}}$上記のように、一連の評価ポイントをメッセージ値にマッピングします。 $${\displaystyle C(m)={\begin{bmatrix}p_{m}(a_{0})&p_{m}(a_{1})&\cdots &p_{m}(a_{n-1})\end{bmatrix}}}$$

逆フーリエ変換は、n < q 個のエラーのないメッセージ値のセットをk個の係数を持つ符号化多項式に変換するために使用できますが、この変換が機能するためには、メッセージを符号化するために使用される評価点のセットがαの増加べき乗のセットである必要があります。 $${\displaystyle a_{i}=\alpha ^{i}}$$$${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n-1}=\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots ,\alpha ^{n-1}\}}$$

しかし、ラグランジュ補間は、評価点の集合に対する制約や、エラーのないメッセージ値の集合の要件なしに同じ変換を実行し、体系的な符号化や、ガオ復号器のステップの1つに使用されます。

送信者は関連する多項式を計算する${\displaystyle c(x)}$学位${\displaystyle n-1}$どこ${\displaystyle n\leq q-1}$そして多項式を送信する${\displaystyle c(x)}$多項式${\displaystyle c(x)}$メッセージ多項式を乗算することによって構築されます${\displaystyle m(x)}$度を持つ${\displaystyle k-1}$生成多項式${\displaystyle g(x)}$学位${\displaystyle n-k}$それは送信者と受信者の両方に知られている。${\displaystyle c(x)=m(x)g(x)}$。

この関数${\displaystyle C}$は線形写像であり、すなわち、${\displaystyle C(m)=mA}$以下の${\displaystyle k\times n}$-マトリックス${\displaystyle A}$要素を含む${\displaystyle F}$。

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &0&1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0\\0&\cdots &\cdots &0&1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}\\\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle C(m)=mA}$以下の${\displaystyle k\times n}$マトリックス${\displaystyle G}$要素を含む${\displaystyle F}$。

$${\displaystyle c(x)=mA={\begin{bmatrix}m_{k-1}&\cdots &m_{1}&m_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &0&1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0\\0&\cdots &\cdots &0&1&g_{n-k-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}\\\end{bmatrix}}}$$

リード・ソロモン符号のBCHビューの符号化手順は、各符号語がメッセージを接頭辞として含み、誤り訂正記号を接尾辞として単純に付加する体系的な符号化手順となるように変更することができる。ここでは、送信する代わりに、${\displaystyle c(x)=m(x)g(x)}$エンコーダは送信多項式を構築する${\displaystyle c(x)}$係数が${\displaystyle k}$最大の単項式は、対応する係数に等しい。${\displaystyle m(x)}$、そして低次の係数${\displaystyle c(x)}$次のように選ばれる${\displaystyle c(x)}$で割り切れる${\displaystyle g(x)}$すると、係数は${\displaystyle m(x)}$は、係数の部分列である。${\displaystyle c(x)}$全体的に体系的なコードを得るために、メッセージ多項式を構築します。${\displaystyle c(x)}$メッセージをその係数のシーケンスとして解釈することによって。

形式的には、構築は乗算によって行われます。${\displaystyle c(x)}$による${\displaystyle x^{t}}$スペースを作るために${\displaystyle t=n-k}$チェックシンボル、その積を${\displaystyle g(x)}$余りを求め、その余りを差し引いて補正する。${\displaystyle t}$小切手記号は、剰余を計算することによって作成されます。${\displaystyle r(x)}$: $${\displaystyle r(x)=c(x)\cdot x^{t}\ {\bmod {\ }}g(x).}$$

残りの部分は最大で次の度数を持つ${\displaystyle t-1}$一方、係数は${\displaystyle x^{t-1},x^{t-2},\dots ,x^{1},x^{0}}$多項式において${\displaystyle c(x)\cdot x^{t}}$ゼロです。したがって、コードワードの次の定義は${\displaystyle c(x)}$最初の${\displaystyle k}$係数は、${\displaystyle c(x)}$: $${\displaystyle c(x)=m(x)\cdot x^{t}-r(x)\,.}$$

結果として、${\displaystyle c(x)}$はちょうど割り切れる${\displaystyle g(x)}$: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle c(x)\equiv m(x)\cdot x^{t}-r(x)\equiv r(x)-r(x)\equiv 0\mod g(x)\,.}$$

この関数${\displaystyle C}$これは線形写像です。対応する体系的符号化行列 G を生成するには、行列 A に A の左正方部分行列の逆行列を乗算します (または、G の左正方部分行列を単位行列に設定して各行を符号化します)。

$${\displaystyle G=(A{\text{'s left square submatrix}})^{-1}\cdot A={\begin{bmatrix}1&0&0&\dots &0&g_{1,k+1}&\dots &g_{1,n}\\0&1&0&\dots &0&g_{2,k+1}&\dots &g_{2,n}\\0&0&1&\dots &0&g_{3,k+1}&\dots &g_{3,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\dots &0&\dots &1&g_{k,k+1}&\dots &g_{k,n}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle C(m)=mG}$以下の${\displaystyle k\times n}$マトリックス${\displaystyle G}$要素を含む${\displaystyle F}$。

$${\displaystyle c(x)=mG={\begin{bmatrix}m_{k-1}&\ldots &m_{1}&m_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\dots &0&g_{1,k+1}&\dots &g_{1,n}\\0&1&0&\dots &0&g_{2,k+1}&\dots &g_{2,n}\\0&0&1&\dots &0&g_{3,k+1}&\dots &g_{3,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\dots &0&\dots &1&g_{k,k+1}&\dots &g_{k,n}\end{bmatrix}}}$$

送信されたメッセージ、${\displaystyle (c_{0},\ldots ,c_{i},\ldots ,c_{n-1})}$は、多項式の係数とみなされる。 $${\displaystyle s(x)=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}.}$$

リード・ソロモン符号化手順の結果、s ( x )は生成多項式で割り切れる。 $${\displaystyle g(x)=\prod _{j=1}^{n-k}(x-\alpha ^{j}),}$$ ここでαは原始要素である。

s ( x )は生成関数g ( x)の倍数であるため、s( x )は生成関数g (x )のすべての根を「継承」することになる。 $${\displaystyle s(x){\bmod {(}}x-\alpha ^{j})=g(x){\bmod {(}}x-\alpha ^{j})=0.}$$ したがって、 $${\displaystyle s(\alpha ^{j})=0,\ j=1,2,\ldots ,n-k.}$$

送信された多項式は、伝送中にエラー多項式によって破損する。 $${\displaystyle e(x)=\sum _{i=0}^{n-1}e_{i}x^{i}}$$ 受信した多項式を生成する $${\displaystyle r(x)=s(x)+e(x).}$$

係数e _{i は}、 xのそのべき乗にエラーがない場合はゼロになり、エラーがある場合はゼロ以外になります。xの異なるべき乗i _kにν個のエラーがある場合、 $${\displaystyle e(x)=\sum _{k=1}^{\nu }e_{i_{k}}x^{i_{k}}.}$$

デコーダの目的は、エラーの数 ( ν )、エラーの位置 ( ik )、およびそれらの位置におけるエラー値 ( eik )_を求めることです。これらから、e ( x )_を計算し、 r ( x )から差し引くことで_、元の送信メッセージs ( x ) を取得できます。

デコーダは、受信した多項式を各点で評価することから始める。${\displaystyle \alpha ^{1}\dots \alpha ^{n-k}}$その評価結果を「症候群」 S _jと呼ぶ。それらは次のように定義される 。$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{j}&=r(\alpha ^{j})=s(\alpha ^{j})+e(\alpha ^{j})=0+e(\alpha ^{j})\\&=e(\alpha ^{j})\\&=\sum _{k=1}^{\nu }e_{i_{k}}{(\alpha ^{j})}^{i_{k}},\quad j=1,2,\ldots ,n-k.\end{aligned}}}$$ ご了承ください${\displaystyle s(\alpha ^{j})=0}$なぜなら${\displaystyle s(x)}$ルーツは${\displaystyle \alpha ^{j}}$前述のセクションで示したとおりです。

シンドロームに着目する利点は、メッセージ多項式が不要になることです。つまり、シンドロームはエラーのみに関係し、送信されるメッセージの実際の内容には影響されません。シンドロームがすべてゼロの場合、アルゴリズムはここで停止し、メッセージが転送中に破損しなかったことを報告します。

便宜上、エラーロケータX _kとエラー値Y _kを次のように 定義する。$${\displaystyle X_{k}=\alpha ^{i_{k}},\quad Y_{k}=e_{i_{k}}.}$$

すると、これらのエラーロケーターとエラー値を用いて、症候群は次のように表すことができます。 $${\displaystyle S_{j}=\sum _{k=1}^{\nu }Y_{k}X_{k}^{j}.}$$

この症候群値の定義は、以前の定義と同等である。${\displaystyle {(\alpha ^{j})}^{i_{k}}=\alpha ^{j\cdot i_{k}}={(\alpha ^{i_{k}})}^{j}=X_{k}^{j}}$。

症候群は、2ν個の未知数に関するn − k ≥ 2ν個の方程式系を与えるが、その方程式系はX _kに関して非線形であり、明らかな解は存在しない。しかし、X _kが既知であれば（下記参照）、症候群方程式は線形方程式系を与える。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{1}^{1}&X_{2}^{1}&\cdots &X_{\nu }^{1}\\X_{1}^{2}&X_{2}^{2}&\cdots &X_{\nu }^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{1}^{n-k}&X_{2}^{n-k}&\cdots &X_{\nu }^{n-k}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\Y_{\nu }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}S_{1}\\S_{2}\\\vdots \\S_{n-k}\end{bmatrix}},}$$これは、 Y _{k の}誤差値 について容易に解くことができる。

したがって、問題はX _kを見つけることである。なぜなら、そうすれば左端の行列がわかり、等式の両辺にその逆行列を掛けることで Y _{kが得られるからである。}

エラーの位置が既にわかっているこのアルゴリズムのバリアント（消去コードとして使用される場合）では、これで終わりです。エラーの位置（X _k ）は、他の方法で既にわかっています（たとえば、FM伝送では、ビットストリームが不明瞭であったり干渉によって妨げられたりしたセクションは、周波数分析から確率的に決定できます）。このシナリオでは、${\displaystyle n-k}$エラーは修正可能です。

アルゴリズムの残りの部分はエラーの位置を特定するために使用され、最大で次のシンドローム値が必要になります。${\displaystyle 2\nu }$単に${\displaystyle \nu }$これまで使用されてきたものと同じです。これが、位置を知らなくても訂正できる数の2倍の誤り訂正記号を追加する必要がある理由です。

線形漸化式があり、それによって連立一次方程式が得られます。これらの方程式を解くことで、エラー発生箇所X _kを特定できます。

誤差位置特定多項式Λ( x )を次のように 定義する。$${\displaystyle \Lambda (x)=\prod _{k=1}^{\nu }(1-xX_{k})=1+\Lambda _{1}x^{1}+\Lambda _{2}x^{2}+\cdots +\Lambda _{\nu }x^{\nu }.}$$

Λ( x )の零点は逆数である${\displaystyle X_{k}^{-1}}$これは上記の積表記の構成から導かれる。なぜなら、${\displaystyle x=X_{k}^{-1}}$すると、乗算された項の 1 つがゼロになります。${\displaystyle (1-X_{k}^{-1}\cdot X_{k})=1-1=0}$多項式全体がゼロになるようにする。 $${\displaystyle \Lambda (X_{k}^{-1})=0.}$$

させて${\displaystyle j}$は、${\displaystyle 1\leq j\leq \nu }$両辺に を掛けます${\displaystyle Y_{k}X_{k}^{j+\nu }}$そして、それは依然としてゼロのままです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&Y_{k}X_{k}^{j+\nu }\Lambda (X_{k}^{-1})=0,\\&Y_{k}X_{k}^{j+\nu }(1+\Lambda _{1}X_{k}^{-1}+\Lambda _{2}X_{k}^{-2}+\cdots +\Lambda _{\nu }X_{k}^{-\nu })=0,\\&Y_{k}X_{k}^{j+\nu }+\Lambda _{1}Y_{k}X_{k}^{j+\nu }X_{k}^{-1}+\Lambda _{2}Y_{k}X_{k}^{j+\nu }X_{k}^{-2}+\cdots +\Lambda _{\nu }Y_{k}X_{k}^{j+\nu }X_{k}^{-\nu }=0,\\&Y_{k}X_{k}^{j+\nu }+\Lambda _{1}Y_{k}X_{k}^{j+\nu -1}+\Lambda _{2}Y_{k}X_{k}^{j+\nu -2}+\cdots +\Lambda _{\nu }Y_{k}X_{k}^{j}=0.\end{aligned}}}$$

k = 1 からνまで合計しても、やはりゼロになります。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\nu }(Y_{k}X_{k}^{j+\nu }+\Lambda _{1}Y_{k}X_{k}^{j+\nu -1}+\Lambda _{2}Y_{k}X_{k}^{j+\nu -2}+\cdots +\Lambda _{\nu }Y_{k}X_{k}^{j})=0.}$$

各項をそれぞれ独立した合計にまとめます。 $${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\nu }Y_{k}X_{k}^{j+\nu }\right)+\left(\sum _{k=1}^{\nu }\Lambda _{1}Y_{k}X_{k}^{j+\nu -1}\right)+\left(\sum _{k=1}^{\nu }\Lambda _{2}Y_{k}X_{k}^{j+\nu -2}\right)+\cdots +\left(\sum _{k=1}^{\nu }\Lambda _{\nu }Y_{k}X_{k}^{j}\right)=0.}$$

定数値を抽出します${\displaystyle \Lambda }$合計の影響を受けないもの： $${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\nu }Y_{k}X_{k}^{j+\nu }\right)+\Lambda _{1}\left(\sum _{k=1}^{\nu }Y_{k}X_{k}^{j+\nu -1}\right)+\Lambda _{2}\left(\sum _{k=1}^{\nu }Y_{k}X_{k}^{j+\nu -2}\right)+\cdots +\Lambda _{\nu }\left(\sum _{k=1}^{\nu }Y_{k}X_{k}^{j}\right)=0.}$$

これらの総和は、既知の値であり代入できるシンドローム値と等価になります。したがって、これは次のようになります。 $${\displaystyle S_{j+\nu }+\Lambda _{1}S_{j+\nu -1}+\cdots +\Lambda _{\nu -1}S_{j+1}+\Lambda _{\nu }S_{j}=0.}$$

引き算${\displaystyle S_{j+\nu }}$両側から得られる $${\displaystyle S_{j}\Lambda _{\nu }+S_{j+1}\Lambda _{\nu -1}+\cdots +S_{j+\nu -1}\Lambda _{1}=-S_{j+\nu }.}$$

jは 1 からvまでの任意の整数として選択され、この等価性はそのようなすべての値に対して成り立つことを思い出してください。したがって、線形方程式は 1 つだけでなくv個存在します。この線形方程式系は、誤差位置多項式の 係数 Λ _{iについて解くことができます。}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&S_{2}&\cdots &S_{\nu }\\S_{2}&S_{3}&\cdots &S_{\nu +1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\S_{\nu }&S_{\nu +1}&\cdots &S_{2\nu -1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Lambda _{\nu }\\\Lambda _{\nu -1}\\\vdots \\\Lambda _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-S_{\nu +1}\\-S_{\nu +2}\\\vdots \\-S_{\nu +\nu }\end{bmatrix}}.}$$ 上記では、デコーダがエラー数νを知っていると仮定していますが、その数はまだ決定されていません。PGZ デコーダはν を直接決定するのではなく、連続する値を試すことによってそれを探索します。デコーダはまず試行νに対して最大の値を想定し、その値に対して線形システムを設定します。方程式が解ける場合 (つまり、行列式がゼロでない場合)、その試行値がエラー数になります。線形システムが解けない場合は、試行ν を1 つ減らし、次のより小さなシステムを調べます。^{[ 16 ]}

前のステップで見つけた係数Λ _iを用いて、誤差位置多項式を構築します。誤差位置多項式の根は、網羅的探索によって見つけることができます。誤差ロケーターX _kは、これらの根の逆数です。誤差位置多項式の係数の順序を逆にすることもできます。その場合、逆順の多項式の根が誤差ロケーターになります。${\displaystyle X_{k}}$（それらの逆数ではない）${\displaystyle X_{k}^{-1}}$Chien検索はこのステップの効率的な実装です。

誤差位置X _kが分かれば、誤差値を決定できます。これは、上記の誤差方程式行列でY _kを直接解くか、 Forneyアルゴリズムを使用することで可能です。

対数を底としてi _kを計算する${\displaystyle \alpha }$X _kの。これは通常、事前に計算されたルックアップ テーブルを使用して行われます。

最後に、e ( x )はi _kとe _{i k}から生成され、 r ( x )から減算されて、エラーが訂正された元の送信メッセージs ( x )が得られます。

RS(7,3)コードの場合、 GF (929)でα =3、t =4 （ PDF417バーコードで使用される）で定義されたリード・ソロモン符号を考えます。生成多項式は次のようになります。 $${\displaystyle g(x)=(x-3)(x-3^{2})(x-3^{3})(x-3^{4})=x^{4}+809x^{3}+723x^{2}+568x+522.}$$ メッセージ多項式がp ( x ) = 3 x ² + 2 x + 1の場合、システマティック符号語は次のように符号化されます。 $${\displaystyle s_{r}(x)=p(x)\,x^{t}{\bmod {g}}(x)=547x^{3}+738x^{2}+442x+455,}$$$${\displaystyle s(x)=p(x)\,x^{t}-s_{r}(x)=3x^{6}+2x^{5}+1x^{4}+382x^{3}+191x^{2}+487x+474.}$$ 送信エラーにより、代わりに以下のメッセージが受信される場合があります。 $${\displaystyle r(x)=s(x)+e(x)=3x^{6}+2x^{5}+123x^{4}+456x^{3}+191x^{2}+487x+474.}$$ 症候群は、αのべき乗でrを評価することによって計算されます。 $${\displaystyle S_{1}=r(3^{1})=3\cdot 3^{6}+2\cdot 3^{5}+123\cdot 3^{4}+456\cdot 3^{3}+191\cdot 3^{2}+487\cdot 3+474=732,}$$$${\displaystyle S_{2}=r(3^{2})=637,\quad S_{3}=r(3^{3})=762,\quad S_{4}=r(3^{4})=925,}$$ システムを降伏させる $${\displaystyle {\begin{bmatrix}732&637\\637&762\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Lambda _{2}\\\Lambda _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-762\\-925\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}167\\004\end{bmatrix}}.}$$

ガウス消去法を用いて、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}001&000\\000&001\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Lambda _{2}\\\Lambda _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}329\\821\end{bmatrix}},}$$ それで $${\displaystyle \Lambda (x)=329x^{2}+821x+001,}$$ 根はx ₁ = 757 = 3 ⁻³およびx ₂ = 562 = 3 ⁻⁴である。係数は逆順にすることができる。 $${\displaystyle R(x)=001x^{2}+821x+329,}$$^{正の指数を持つ根 27 = 3 3}および 81 = 3 ⁴ を生成するが、通常はこれは使用されない。逆根の対数はエラー位置に対応する（右から左、位置 0 はコードワードの最後の項）。

誤差値を計算するには、フォーニーアルゴリズムを適用します。 $${\displaystyle \Omega (x)=S(x)\Lambda (x){\bmod {x}}^{4}=546x+732,}$$$${\displaystyle \Lambda '(x)=658x+821,}$$$${\displaystyle e_{1}=-\Omega (x_{1})/\Lambda '(x_{1})=074,}$$$${\displaystyle e_{2}=-\Omega (x_{2})/\Lambda '(x_{2})=122.}$$

引き算${\displaystyle e_{1}x^{3}+e_{2}x^{4}=74x^{3}+122x^{4}}$受信した多項式r ( x ) から元のコードワードsを再現します。

上記のピーターソン・ゴレンスタイン・ツィーラーの例と同じデータを使用します。

Cの最終値は誤差位置特定多項式 Λ( x ) です。