リード・ミュラー符号

リード・ミュラー符号 RM(r,m)
名前の由来	アーヴィング・S・リードとデイヴィッド・E・ミュラー
分類
タイプ	線形ブロックコード
ブロック長	${\displaystyle 2^{m}}$
メッセージの長さ	${\displaystyle k=\sum _{i=0}^{r}{\binom {m}{i}}}$
レート	${\displaystyle k/2^{m}}$
距離	${\displaystyle 2^{mr}}$
アルファベットのサイズ	${\displaystyle 2}$
表記	${\displaystyle [2^{m},k,2^{mr}]_{2}}$-コード
ヴ t e

リード・ミュラー符号は、無線通信アプリケーション、特に深宇宙通信で使用される誤り訂正符号です。 ^[1]さらに、提案されている5G標準^{[2]は、制御チャネルの誤り訂正に密接に関連する}極性符号^[3]に依存しています。リード・ミュラー符号は、その優れた理論的および数学的特性のため、理論計算機科学でも広く研究されてきました。

リード・マラー符号は、リード・ソロモン符号とウォルシュ・アダマール符号を一般化したものです。リード・マラー符号は、局所的にテスト可能、局所的にデコード可能、リスト的にデコード可能な線形ブロック符号です。これらの特性により、確率的に検証可能な証明の設計に特に役立ちます。

従来のリード・ミュラー符号はバイナリ符号であり、メッセージとコードワードはバイナリ文字列です。rとmが0 ≤ r ≤ mの整数である場合、パラメータrとmを持つリード・ミュラー符号 は RM( r ,  m )と表されます。 が成り立つkビット で構成されるメッセージをエンコードするように要求された場合、 RM( r ,  m ) 符号は 2 ^mビット で構成されるコードワードを生成します。${\displaystyle \textstyle k=\sum _{i=0}^{r}{\binom {m}{i}}}$

リード・ミュラー符号は、1954年にこの符号を発見したデイビッド・E・ミュラー^[4]と、最初の効率的な復号アルゴリズムを提案したアーヴィング・S・リード^[5]にちなんで名付けられました。

リード・ミュラー符号はいくつかの異なる（しかし最終的には同等の）方法で記述することができる。低次多項式に基づく記述は非常に簡潔であり、局所的にテスト可能な符号や局所的にデコード可能な符号としての応用に特に適している。^[6]

ブロックコードには、メッセージをコードワードにマップする1 つ以上のエンコード関数を含めることができます。リード ミュラー コードRM( r , m )は、メッセージ長とブロック長を持ちます。このコードのエンコードを定義する 1 つの方法は、m個の変数と最大でr の総次数を持つ多重線形多項式の評価に基づいています。2 つの要素を持つ有限体上のすべての多重線形多項式は、次のように記述できます。 は多項式の変数であり、値は多項式の係数です。係数はちょうど 個あることに注意してください。これを念頭に置いて、入力メッセージはこれらの係数として使用される値で構成されます。このようにして、各メッセージはm 個の変数で一意の多項式を生み出します。コードワード を構築するために、エンコーダはすべての点で多項式を評価します。ここで、多項式は 2 を法として乗算と加算が行われます。つまり、エンコード関数は次のように定義されます。${\textstyle C:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}^{n}}$${\textstyle x\in \{0,1\}^{k}}$${\textstyle C(x)\in \{0,1\}^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle k=\sum _{i=0}^{r}{\binom {m}{i}}}$ ${\displaystyle \textstyle n=2^{m}}$$${\displaystyle p_{c}(Z_{1},\dots ,Z_{m})=\sum _{\underset {|S|\leq r}{S\subseteq \{1,\dots ,m\}}}c_{S}\cdot \prod _{i\in S}Z_{i}\,.}$$${\textstyle Z_{1},\dots ,Z_{m}}$${\textstyle c_{S}\in \{0,1\}}$${\textstyle k=\sum _{i=0}^{r}{\binom {m}{i}}}$${\textstyle k}$${\textstyle x\in \{0,1\}^{k}}$${\textstyle x}$${\textstyle p_{x}}$${\textstyle C(x)}$${\textstyle p_{x}}$${\textstyle Z=(Z_{1},\ldots ,Z_{n})\in \{0,1\}^{m}}$${\textstyle (p_{x}(Z){\bmod {2}})\in \{0,1\}}$$${\displaystyle C(x)=\left(p_{x}(Z){\bmod {2}}\right)_{Z\in \{0,1\}^{m}}\,.}$$

コードワードが一意に再構築するのに十分であるという事実は、十分な数の評価点が与えられた場合に多項式の係数が一意に決定されるというラグランジュ補間から得られます。すべてのメッセージに対しておよびが成り立つため、関数は線形マップです。したがって、リード・ミュラー符号は線形符号です。 ${\displaystyle C(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C(0)=0}$${\displaystyle C(x+y)=C(x)+C(y){\bmod {2}}}$${\displaystyle x,y\in \{0,1\}^{k}}$${\displaystyle C}$

コードRM( 2,4 )の場合、パラメータは次のとおり です。

${\textstyle {\begin{aligned}r&=2\\m&=4\\k&=\textstyle {\binom {4}{2}}+{\binom {4}{1}}+{\binom {4 {0}}=6+4+1=11\\n&=2^{m}=16\\\end{整列}}}$

を先ほど定義したエンコード関数とします。長さ11の文字列x = 1 1010 010101をエンコードするために、エンコーダはまず4つの変数で多項式を構築します。次に、この多項式を16の評価ポイントすべてで評価します（0101は次のことを意味します。 ${\textstyle C:\{0,1\}^{11}\to \{0,1\}^{16}}$${\textstyle p_{x}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(Z_{1},Z_{2},Z_{3},Z_{4})&=1+(1\cdot Z_{1}+0\cdot Z_{2}+1\cdot Z_{3}+0\cdot Z_{4})+(0\cdot Z_{1}Z_{2}+1\cdot Z_{1}Z_{3}+0\cdot Z_{1}Z_{4}+1\cdot Z_{2}Z_{3}+0\cdot Z_{2}Z_{4}+1\cdot Z_{3}Z_{4})\\&=1+Z_{1}+Z_{3}+Z_{1}Z_{3}+Z_{2}Z_{3}+Z_{3}Z_{4 }\end{整列}}}$$${\displaystyle Z_{1}=0,Z_{2}=1,Z_{3}=0,Z_{4}=1)}$$${\displaystyle p_{x}(0000)=1,\;p_{x}(0001)=1,\;p_{x}(0010)=0,\;p_{x}(0011)=1,\;}$$

$${\displaystyle p_{x}(0100)=1,\;p_{x}(0101)=1,\;p_{x}(0110)=1,\;p_{x}(0111)=0,\;}$$

$${\displaystyle p_{x}(1000)=0,\;p_{x}(1001)=0,\;p_{x}(1010)=0,\;p_{x}(1011)=1,\;}$$

$${\displaystyle p_{x}(1100)=0,\;p_{x}(1101)=0,\;p_{x}(1110)=1,\;p_{x}(1111)=0\,.}$$その結果、C(1 1010 010101) = 1101 1110 0001 0010が成立します。

すでに述べたように、ラグランジュ補間を使用すると、コードワードからメッセージを効率的に取得できます。ただし、コードワードがいくつかの位置で破損している場合でも、つまり、受信したワードがどのコードワードとも異なる場合でも、デコーダーは機能する必要があります。この場合、ローカル デコード手順が役立ちます。

Reed のアルゴリズムは、次の特性に基づいています。コード ワード、つまり、最大で次数の未知の多項式から得られる、検索したい評価ポイントのシーケンスから開始します。シーケンスには、最大で までのエラーが含まれる場合があります。 ${\textstyle p_{x}}$${\textstyle {\mathbb {F} }_{2}[X_{1},X_{2},...,X_{m}]}$${\textstyle r}$${\textstyle 2^{m-r-1}-1}$

の最高次数の単項式を考え、 のすべての変数の値が 0 または 1 で、他のすべての変数の値が 0 である多項式の評価点をすべて合計すると、 の係数の値 (0 または 1) が得られます(そのような点があります)。 これは、 のすべての下側の単項式約数が合計に偶数回出現し、1 回しか出現しないという事実によるものです。 ${\textstyle \mu }$${\textstyle d}$${\textstyle p_{x}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \mu }$${\textstyle p_{x}}$${\textstyle 2^{d}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \mu }$

エラーの可能性を考慮すると、他の変数の値を任意の値に固定できることにも留意してください。したがって、0 値ではない他の変数の合計を 1 回だけ行うのではなく、他の変数の固定値ごとに合計を 1 回ずつ行います。エラーがない場合、これらの合計はすべて、検索した係数の値に等しくなります。ここでのアルゴリズムは、回答の過半数を検索した値として取得します。少数派が最大エラー数よりも大きい場合、入力コードにエラーが多すぎると認識され、デコード手順は失敗します。 ${\textstyle \mu }$${\textstyle 2^{m-d}}$

係数が計算され、それが 1 の場合、コードを更新して入力コードから単項式を削除し、次数の逆順で次の単項式に進みます。 ${\textstyle \mu }$

前の例を考えて、コードから始めましょう。 では、コード内の最大 1 つのエラーを修正できます。入力コードを 1101 1110 0001 0110 とします (これは、エラーが 1 つある前のコードです)。 ${\textstyle r=2,m=4}$

多項式の次数は最大 であることがわかっているので、次数 2 の単項式を検索することから始めます。 ${\textstyle p_{x}}$${\textstyle r=2}$

• ${\textstyle \mu =X_{3}X_{4}}$
  • まず、 の評価ポイントを探します。コードでは、これは1101 1110 0001 0110 です。最初の合計は 1 (1 の奇数) です。${\textstyle X_{1}=0,X_{2}=0,X_{3}\in \{0,1\},X_{4}\in \{0,1\}}$
  • で評価ポイントを探します。コードでは、これは 1101 1110 0001 0110 です。2 番目の合計は 1 です。${\textstyle X_{1}=0,X_{2}=1,X_{3}\in \{0,1\},X_{4}\in \{0,1\}}$
  • で評価ポイントを探します。コードでは、これは 1101 1110 0001 0110 です。3 番目の合計は 1 です。${\textstyle X_{1}=1,X_{2}=0,X_{3}\in \{0,1\},X_{4}\in \{0,1\}}$
  • で評価ポイントを探します。コードでは、これは 1101 1110 0001 0110です。3 番目の合計は 0 (1 の偶数) です。${\textstyle X_{1}=1,X_{2}=1,X_{3}\in \{0,1\},X_{4}\in \{0,1\}}$

4 つの合計は一致しません (したがって、エラーがあることがわかります) が、少数意見は許容される最大エラー数 (1) よりも大きくないため、多数派を採用し、係数は1 になります。 ${\textstyle \mu }$

続行する前にコードから削除します: コード: 1101 1110 0001 0110、評価値は 0001000100010001、新しいコードは 1100 1111 0000 0111 です。 ${\textstyle \mu }$${\textstyle \mu }$

• ${\textstyle \mu =X_{2}X_{4}}$
  • 11 00 11 11 0000 0111。合計は0
  • 11 00 11 11 0000 0111。合計は0
  • 1100 1111 00 00 01 11. 合計は1
  • 1100 1111 00 00 01 11。合計は0

1 つのエラーが検出されました。係数は 0 で、現在のコードに変更はありません。

• ${\textstyle \mu =X_{1}X_{4}}$
  • 11 00 1111 00 00 0111。合計は0
  • 11 00 1111 00 00 0111。合計は0
  • 1100 11 11 0000 01 11。合計は1
  • 1100 11 11 0000 01 11。合計は0

1 つのエラーが検出されました。係数は 0 で、現在のコードに変更はありません。

• ${\textstyle \mu =X_{2}X_{3}}$
  • 1 1 0 0 1 1 1 1 0000 0111。合計は1
  • 1 1 0 0 1 1 1 1 0000 0111。合計は1
  • 1100 1111 0 0 0 0 0 1 1 1. 合計は1
  • 1100 1111 0 0 0 0 0 1 1 1。合計は0

1 つのエラーが検出されました。係数は 1、評価値は0000 0011 0000 0011、現在のコードは 1100 1100 0000 0100 です。 ${\textstyle \mu }$

• ${\textstyle \mu =X_{1}X_{3}}$
  • 1 1 0 0 1100 0 0 0 0 0100。合計は1
  • 1 1 0 0 1100 0 0 0 0 0100。合計は1
  • 1100 1 1 0 0 0000 0 1 0 0. 合計は1
  • 1100 1 1 0 0 0000 0 1 0 0。合計は0

1 つのエラーが検出されました。係数は 1、評価値は0000 0000 0011 0011、現在のコードは 1100 1100 0011 0111 です。 ${\textstyle \mu }$

• ${\textstyle \mu =X_{1}X_{2}}$
  • 1 100 1 100 0 011 0 111。合計は0
  • 1 1 00 1 1 00 0 0 11 0 1 11。合計は1
  • 11 0 0 11 0 0 00 1 1 01 1 1. 合計は0
  • 110 0 110 0 001 1 011 1。合計は0

1 つのエラーが検出されました。係数は 0 で、現在のコードに変更はありません。多項式の 2 次係数がすべてわかっているので、1 次単項式を開始できます。次の次数ごとに合計が 2 倍になり、各合計が半分ずつ小さくなることに注意してください。

• ${\textstyle \mu =X_{4}}$
  • 11 00 1100 0011 0111。合計は0
  • 11 00 1100 0011 0111。合計は0
  • 1100 11 00 0011 0111。合計は0
  • 1100 11 00 0011 0111。合計は0
  • 1100 1100 00 11 0111。合計は0
  • 1100 1100 00 11 0111。合計は0
  • 1100 1100 0011 01 11. 合計は1
  • 1100 1100 0011 01 11。合計は0

1 つのエラーが検出されました。係数は 0 で、現在のコードに変更はありません。

• ${\textstyle \mu =X_{3}}$
  • 1 1 0 0 1100 0011 0111。合計は1
  • 1 1 0 0 1100 0011 0111。合計は1
  • 1100 1 1 0 0 0011 0111。合計は1
  • 1100 1 1 0 0 0011 0111。合計は1
  • 1100 1100 0 0 1 1 0111。合計は1
  • 1100 1100 0 0 1 1 0111。合計は1
  • 1100 1100 0011 0 1 1 1. 合計は1
  • 1100 1100 0011 0 1 1 1。合計は0

1 つのエラーが検出されました。係数は 1、評価は0011 0011 0011 0011、現在のコードは 1111 1111 0000 0100 です。 ${\textstyle \mu }$

すると、 には 0 、 には 1 が見つかり、現在のコードは 1111 1111 1111 1011 になります。 ${\textstyle \mu =X_{2}}$${\textstyle \mu =X_{1}}$

次数0の場合、1ビットのみの合計が16個あります。少数派は依然としてサイズ1であり、対応する初期ワード1 1010 010101が 見つかりました。${\textstyle p_{x}=1+X_{1}+X_{3}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}+X_{3}X_{4}}$

サイズ の有限体上の低次多項式を使用すると、リード・マラー符号の定義をサイズ のアルファベットに拡張することができます。および を正の整数とし、 はより大きいと考えます。幅 のメッセージをエンコードするには、メッセージは再び、総次数が最大で から係数が までの- 変量多項式として解釈されます。このような多項式には実際に係数があります。 のリード・マラー符号化は、全体にわたるのすべての評価のリストです。したがって、ブロック長は です。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d}$${\textstyle x\in \mathbb {F} ^{k}}$${\displaystyle k=\textstyle {\binom {m+d}{m}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \textstyle {\binom {m+d}{m}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{x}(a)}$${\displaystyle a\in \mathbb {F} ^{m}}$${\displaystyle n=q^{m}}$

長さN = 2 ^mのリード・ミュラー符号RM( r , m )の生成行列は次のように構築できます。すべてのm次元バイナリベクトルの集合を次のように書きます。

${\displaystyle X=\mathbb {F} _{2}^{m}=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}.}$

N次元空間において、指示ベクトルを定義する。${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{N}}$

${\displaystyle \mathbb {I} _{A}\in \mathbb {F} _{2}^{N}}$

サブセットについて: ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle \left(\mathbb {I} _{A}\right)_{i}={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}x_{i}\in A\\0&{\mbox{ otherwise}}\\\end{cases}}}$

とともに、また、二項演算 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{N}}$

${\displaystyle w\wedge z=(w_{1}\cdot z_{1},\ldots ,w_{N}\cdot z_{N}),}$

ウェッジ積と呼ばれる（外積代数で定義されるウェッジ積と混同しないように）。ここで、およびは（N次元の2値ベクトル）内の点であり、演算は体 における通常の乗算​​です。 ${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{N})}$${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{N})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{N}}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{m}}$は体上のm次元ベクトル空間なので、次のように書くことができる。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle (\mathbb {F} _{2})^{m}=\{(y_{m},\ldots ,y_{1})\mid y_{i}\in \mathbb {F} _{2}\}.}$

N次元空間において、長さと ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{N}}$${\displaystyle N:v_{0}=(1,1,\ldots ,1)}$

${\displaystyle v_{i}=\mathbb {I} _{H_{i}},}$

ここで 1 ≤ i ≤ mであり、H _{i は}（次元m − 1 ）の超平面である。 ${\displaystyle (\mathbb {F} _{2})^{m}}$

${\displaystyle H_{i}=\{y\in (\mathbb {F} _{2})^{m}\mid y_{i}=0\}.}$

次数r、長さN  = 2 ^mのリード・ミュラーRM( r , m )コードは、 v _0と、 v _i , 1 ≤ i ≤ mの最大rのウェッジ積によって生成されるコードです (慣例により、1 個未満のベクトルのウェッジ積は、演算の恒等式です)。言い換えると、生成行列の行として、一度に最大r 個のベクトルとそのウェッジ積の順列を使用して、 RM( r , m )コードの生成行列を構築できます ( 1 ≤ i _k ≤ m )。 ${\displaystyle {v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n},\ldots ,(v_{i_{1}}\wedge v_{i_{2}}),\ldots (v_{i_{1}}\wedge v_{i_{2}}\ldots \wedge v_{i_{r}})}}$

m = 3とすると、 N = 8となり、

${\displaystyle X=\mathbb {F} _{2}^{3}=\{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0)\ldots ,(1,1,1)\},}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{0}&=(1,1,1,1,1,1,1,1)\\[2pt]v_{1}&=(1,0,1,0,1,0,1,0)\\[2pt]v_{2}&=(1,1,0,0,1,1,0,0)\\[2pt]v_{3}&=(1,1,1,1,0,0,0,0).\end{aligned}}}$

RM(1,3)コードは、集合

${\displaystyle \{v_{0},v_{1},v_{2},v_{3}\},\,}$

または、より明示的に行列の行で表すと次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

RM(2,3)コードは次のセットによって生成されます:

${\displaystyle \{v_{0},v_{1},v_{2},v_{3},v_{1}\wedge v_{2},v_{1}\wedge v_{3},v_{2}\wedge v_{3}\}}$

または、より明示的に行列の行で表すと次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

次のプロパティが保持されます。

1. v _iのmまでのすべての可能なウェッジ積の集合は の基底を形成します。${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{N}}$
2. RM ( r , m ) コードのランクは

   ${\displaystyle \sum _{s=0}^{r}{m \choose s}.}$

3. RM ( r , m ) = RM ( r , m − 1) | RM ( r − 1, m − 1)ここで '|' は2 つのコードのバー積を表します。
4. RM( r , m )の^最小ハミング重みは2m ^{− r}である。

RM( r , m ) コードは、多数決論理復号法を使用して復号できます。多数決論理復号法の基本的な考え方は、受信したコードワード要素ごとに複数のチェックサムを作成することです。異なるチェックサムはすべて同じ値 (つまり、メッセージワード要素の重みの値) を持つ必要があるため、多数決論理復号法を使用してメッセージワード要素の値を復号できます。多項式の各次数が復号されると、現在の段階までの復号されたメッセージの寄与によって重み付けされた対応するコードワードを削除することにより、受信ワードがそれに応じて変更されます。したがって、r次の RM コードの場合、最終的な受信コードワードに到達するまでに、r+1 回繰り返し復号する必要があります。また、メッセージビットの値もこの方式で計算されます。最後に、メッセージワード (復号されたばかり) を生成行列に乗算することでコードワードを計算できます。

復号が成功したかどうかの手がかりの 1 つは、多数決論理復号による ( r  + 1) 段階復号の最後に、受信ワードがすべてゼロに変更されているかどうかです。この手法は Irving S. Reed によって提案され、他の有限幾何学コードに適用するとより一般的になります。

任意の整数とに対してリード・ミュラー符号RM( r,m )が存在する。RM( m , m )はユニバース( )符号として定義される。RM(−1,m)は自明符号( )として定義される。残りのRM符号は、長さ倍増構成を使用してこれらの基本符号から構築することができる。 ${\displaystyle m\geq 0}$${\displaystyle 0\leq r\leq m}$${\displaystyle 2^{m},2^{m},1}$${\displaystyle 2^{m},0,\infty }$

${\displaystyle \mathrm {RM} (r,m)=\{(\mathbf {u} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} )\mid \mathbf {u} \in \mathrm {RM} (r,m-1),\mathbf {v} \in \mathrm {RM} (r-1,m-1)\}.}$

この構成から、RM( r,m ) は、長さn  = 2 ^m、次元、最小距離がであるバイナリ線形ブロック コード( n、k、d ) です。RM ( r,m ) のデュアル コードはRM( m - r -1, m ) です。これは、繰り返しコードと SPC コードがデュアルであること、双直交コードと拡張ハミング コードがデュアルであること、k  =  n /2のコードが自己デュアルであることを示しています。 ${\displaystyle k(r,m)=k(r,m-1)+k(r-1,m-1)}$${\displaystyle d=2^{m-r}}$${\displaystyle r\geq 0}$

およびアルファベットサイズ 2 のすべてのRM( r ,  m )コードが、ブロックコードの 標準 [n,k,d]コーディング理論表記法で注釈付けされてここに表示されます。コードRM( r ,  m )は-コード、つまりバイナリアルファベット上の線形コードであり、ブロック長、メッセージ長(または次元) k、および最小距離 を持ちます。 ${\displaystyle 0\leq m\leq 5}$${\displaystyle \textstyle [2^{m},k,2^{m-r}]_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle 2^{m}}$ ${\displaystyle \textstyle 2^{m-r}}$

• RM(0,  m )コードは、長さN  = 2 ^m、レート、最小距離の繰り返しコードです。 ${\displaystyle {R={\tfrac {1}{N}}}}$${\displaystyle d_{\min }=N}$
• RM(1,  m )コードは長さN  = 2 ^m、レートおよび最小距離のパリティチェックコードです。${\displaystyle R={\tfrac {m+1}{N}}}$${\displaystyle d_{\min }={\tfrac {N}{2}}}$
• RM( m  −1,  m )コードは長さN  =2m ^、レートおよび最小距離の単一パリティチェックコードです。${\displaystyle R={\tfrac {N-1}{N}}}$${\displaystyle d_{\min }=2}$
• RM( m  −2,  m )符号は長さN  = ^2mで最小距離を持つ拡張ハミング符号の族である。^[7]${\displaystyle d_{\min }=4}$

• シュ・リン、ダニエル・コステロ（2005年）。エラー制御コーディング（第2版）。ピアソン。ISBN 978-0-13-017973-9。第4章。
• JH van Lint (1992).コーディング理論入門. GTM . 第86巻 (第2版). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54894-2。第4.5章。

• MIT OpenCourseWare、6.451 デジタルコミュニケーションの原則 II、講義ノートセクション 6.4
• RM コードの GPL Matlab 実装
• ソース GPL Matlab 実装 RM コード
• ワイス、E .（1962年9月）。「一般化リード・ミュラー符号」。情報と制御。5 （3）：213-222。doi ： 10.1016/s0019-9958（62）90555-7。ISSN 0019-9958  。