極性符号（符号理論）

情報理論において、極性符号は線形ブロック誤り訂正符号である。符号の構成は、物理チャネルを仮想外部チャネルに変換する短いカーネル符号の多重再帰的連結に基づいている。再帰の回数が大きくなると、仮想チャネルは高い信頼性または低い信頼性を持つ傾向があり（言い換えれば、極性化または疎になる）、データビットは最も信頼性の高いチャネルに割り当てられる。これは、容量ギャップに多項式依存する対称バイナリ入力離散メモリレスチャネル（B-DMC）のチャネル容量を証明可能な形で達成する明示的な構成を持つ最初の符号である。^{[ 1 ]}極性符号は、ビルケント大学の電気工学教授であるエルダル・アリカンによって開発された。

特に、極性符号は符号化と復号の複雑さが控えめなO ( n log n )であるため、多くのアプリケーションにとって魅力的です。さらに、一般化された極性符号の符号化と復号のエネルギー複雑度は、任意のε > 0に対して、2次元回路のエネルギー消費の基本的な下限をO ( n ^ε polylog n )の係数以内に達成できます。^{[ 2 ]}

ブロック長とチャネルが固定されている場合、極性符号の構築には、情報シンボルに使用される合成ビットチャネルの選択が含まれます。極性符号の再帰的定義は明示的ですが、一般的なバイナリ入力メモリレスチャネルでは、すべての合成チャネルの信頼性を計算することは困難です。森と田中は、対称バイナリ入力メモリレスチャネルに対して密度進化を用いた構成を提案し、構築を簡素化できるビットチャネル間の部分順序関係を特定しました。^{[ 3 ]}後続の方法には、ビットチャネル構築のためのタルとヴァーディの劣化近似とアップグレード近似が含まれます。^{[ 4 ]}

極性符号は、産業用途で使用する際にいくつかの制限があります。主に、極性符号の元の設計では、逐次キャンセル復号器を使用した場合、ブロックサイズが漸近的に大きくなると容量が達成されます。しかし、産業界で使用されるブロックサイズでは、逐次キャンセルの性能は、低密度パリティ検査符号（LDPC）やターボ符号などの明確に定義され実装された符号化方式と比較して劣ります。逐次キャンセルリスト復号により極性符号の性能を向上させることはできますが、反復アプローチによる実装効率の悪さから、実際のアプリケーションでの実用性は依然として疑問視されています。^{[ 5 ]}

2016年10月、ファーウェイは、チャネル符号化に極性符号を使用して5Gフィールドトライアル テストで27 Gbit/sを達成したと発表した。この改善により、チャネル性能は、特定の帯域幅と特定のノイズレベルにおける最大レートの基準となるシャノン限界との差をほぼ埋めることができた。 ^{[ 6 ]}

2016年11月、3GPPは5G NR（New Radio）インターフェースのeMBB（Enhanced Mobile Broadband）制御チャネルに極性符号を採用することに合意した。同じ会議で、3GPPは対応するデータチャネルにLDPCを使用することに合意した。^{[ 7 ] [ 8 ]}

2019年、Arıkanは極性符号化の前に畳み込み事前変換を採用することを提案した。この事前変換された極性符号の変種は、偏極調整畳み込み（PAC）符号と呼ばれた。^{[ 9 ]}事前変換は、最小重みおよび一般的には小さな重みの符号語の数を減らすことにより、極性符号の距離特性を効果的に改善できることが示されており、^{[ 10 ]}その結果、Fano復号やリスト復号などの最尤（ML）復号アルゴリズムに近いブロック誤り率が改善される。^{[ 11 ]} Fano復号は、最適なメトリック関数を利用して効率的に検索プロセスを誘導することにより、送信された符号語を決定するツリー検索アルゴリズムである。 ^{[ 12 ]} PAC符号は、特定の巡回符号で後変換された極性符号とも同等である。^{[ 13 ]}短いブロック長では、このような符号は、従来の極性符号の畳み込み符号とCRC支援リスト復号の両方を上回る。 ^{[ 14 ] [ 15 ]}

ニューラルポーラーデコーダ（NPD）^{[ 16 ]}は、ニューラルネットワーク（NN）とポーラーコードを組み合わせたチャネル符号化の進歩であり、明示的なチャネルモデルを必要とせずに、メモリの有無にかかわらずチャネルの統一的な復号を提供します。NPDは、埋め込み（E）NN、チェックノード（F）NN、ビットノード（G）NN、埋め込みからLLRへの（H）NNの4つのニューラルネットワークを使用して、ポーラー復号の機能を近似します。これらのNNの重みは、合成チャネルの相互情報を推定することによって決定されます。トレーニングの終了時には、NPDの重みが固定され、復号に使用できます。

NPDの計算複雑性は、ニューラルネットワークのパラメータ化によって決定されます。これは、チャネルモデルによって複雑性が決定され、通常は有限状態チャネル（FSC）に使用される逐次キャンセル（SC）トレリスデコーダ^{[ 17 ]}とは異なります。NPDの計算複雑性は、${\textstyle O(kdN\log _{2}N)}$、 どこ${\displaystyle k}$ニューラルネットワークの隠れユニット数、${\displaystyle d}$は埋め込みの次元であり、${\displaystyle N}$はブロック長です。対照的に、SCトレリスデコーダの計算複雑度は${\displaystyle O(|{\mathcal {S}}|^{3}N\log _{2}N)}$、 どこ$\displaystyle {\mathcal {S}}}$これはチャネルモデルの状態空間です。

NPDは、SCリスト復号やCRC支援SC復号などのSC復号^{[ 1 ]}方式に統合できます。 ^{[ 18 ]}また、Honda-Yamamoto方式に統合することで、非一様およびiidの入力分布にも対応できます。^{[ 19 ]}この柔軟性により、NPDはさまざまな復号シナリオで使用でき、計算複雑性を管理可能な範囲に維持しながら、誤り訂正性能を向上させることができます。

• 極性符号：理論から実践へ（Wiley-IEEE Press、2025年、384ページ）Mohammad RowshanおよびEmanuele Viterbo著。^{[ 20 ]} 本書は、14 章 (はじめに、線形コード、ソフト決定復号の基本、極性コード、極性コードの特性、極性コードの構成、単項式コードと順列、極性コードのリスト復号、高速 SC ベース復号、代替復号アルゴリズム、レート互換極性コード、極性符号化変調、パフォーマンス比較、MATLAB® を使用した 5G New Radio (NR) 極性符号化) と 3 つの付録 ( 5G New Radio の概念的チャネル、2G から 5G までのチャネル符号化、スクリプト) から構成され、古典的なチャネル符号化の概念から 5G/6G 指向の極性コードの設計と実装までを統一的に扱っています。

• Orhan Gazi 著『Polar Codes: A Non-Trivial Approach to Channel Coding』（Springer、2019 年、170 ページ）^{[ 21 ]} は、5 つの章（Polar Codes と Polar Encoding の情報理論的観点、Polar Codes の復号、バイナリ消去チャネルの偏極、Polar Codes の数学的モデリング、チャネル結合と分割、Polar Codes の偏極率とパフォーマンス）から構成され、Polar Encoding、Decode、チャネル偏極について、入門的でありながら数学的に詳細な説明を提供しています。

• パスカル・ジャール、クロード・ティボー、ウォーレン・J・グロス著『極符号用高速デコーダ』（シュプリンガー、2017年、約180ページ）^{[ 22 ]} 本書は6つの章（極符号に関する導入章、低レート極符号用の高速低複雑度ハードウェアデコーダ、低遅延ソフトウェアデコーダ、展開ハードウェアデコーダ、マルチモード展開アーキテクチャ、および今後の研究に関する結論の章）で構成され、付録はなく、高スループット極符号デコーダのアーキテクチャと実装面に焦点を当てています。

• Eren Şaşoğlu 著『偏極と極性符号』（Now Publishers、2011 年、約 130 ページ）^{[ 23 ]} この概説モノグラフは、7 つの章（序論、偏極と極性符号化、複雑性、任意のアルファベットによるプロセス、一般化された構成、複数のプロセスの共同偏極、結論と関連研究）と、セクション 2.A、4.A–4.C、6.A として埋め込まれた 5 つのアルファベット付き付録で構成されており、偏極法とその非バイナリおよびマルチターミナル設定への一般化について統一的な説明を提供します。

• AFF3CTホームページ：ソフトウェアによる高速極座標コードシミュレーションのための高速前方誤り訂正ツールボックス