量子非局所性

理論物理学において、量子非局所性とは、多元量子系の測定統計が局所的実在性による解釈を許さない現象を指す。量子非局所性は、さまざまな物理的仮定の下で実験的に検証されている。^{[1] [2] [3] [4] [5]}

量子非局所性は光より速い通信を可能にしないため、^[6]特殊相対性理論とその物体の普遍的な速度制限と互換性があります。したがって、量子理論は特殊相対性理論によって定義された厳密な意味で局所的であり、そのため、「量子非局所性」という用語は誤った名称であると考えられることがあります。^[7]それでも、量子理論に関する多くの基礎的な議論を引き起こしています。^[7]

1935 年のEPR 論文^[8] で、アルバートアインシュタイン、ボリス ポドルスキー、ネイサン ローゼンは、量子論の直接的な結果として「位置と運動量が完全に相関している 2 つの空間的に離れた粒子」^{[9]について説明しました。彼らは、古典的な}局所性原理を使用して、量子波動関数が現実の完全な記述であるという考えに異議を唱えるつもりでしたが、現実の性質に関する議論を引き起こしました。^{[10]その後、アインシュタインは、}エルヴィン シュレーディンガー への手紙^[11]でこれらのアイデアのバリエーションを提示しました。ここで提示されているバージョンは、このバージョンです。ここで使用されている状態と表記法はより現代的で、デビッド ボームの EPR の解釈に似ています。^[12]測定前の 2 つの粒子の量子状態は、 と書くことができます 。[ ^13]$${\displaystyle \left|\psi _{AB}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle _{A}\left|1\right\rangle _{B}-\left|1\right\rangle _{A}\left|0\right\rangle _{B}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|-\right\rangle _{A}\left|+\right\rangle _{B}-\left|+\right\rangle _{A}\left|-\right\rangle _{B}\right)}$$${\textstyle \left|\pm \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle \pm \left|1\right\rangle \right)}$

ここで、添え字「A」と「B」は 2 つの粒子を区別しますが、これらの粒子をアリスとボブという 2 人の実験者が所有していると呼ぶ方が便利で一般的です。量子論のルールは、実験者が行った測定の結果を予測します。たとえば、アリスは、平均 50 パーセントの測定で自分の粒子が上向きスピンであると測定します。しかし、コペンハーゲン解釈によれば、アリスの測定により 2 つの粒子の状態が崩壊するため、アリスが z 方向、つまり基底 に関してスピンの測定を実行すると、ボブのシステムはいずれかの状態 のままになります。同様に、アリスが x 方向、つまり基底 に関してスピンの測定を実行すると、ボブのシステムはいずれかの状態 のままになります。シュレーディンガーはこの現象を「ステアリング」と呼びました。^[14]このステアリングは、このような状態の更新を実行しても信号が送信されないような方法で発生します。量子非局所性はメッセージを瞬時に送信するために使用することはできないため、特殊相対性理論における因果関係の懸念と直接矛盾するものではない。^[13]${\displaystyle \{\left|0\right\rangle _{A},\left|1\right\rangle _{A}\}}$${\displaystyle \{\left|0\right\rangle _{B},\left|1\right\rangle _{B}\}}$${\displaystyle \{\left|+\right\rangle _{A},\left|-\right\rangle _{A}\}}$${\displaystyle \{\left|+\right\rangle _{B},\left|-\right\rangle _{B}\}}$

この実験のコペンハーゲン解釈では、アリスの測定、特に測定の選択はボブの状態に直接影響を及ぼします。しかし、局所性の仮定の下では、アリスのシステムに対するアクションはボブのシステムの「真の」、つまり「オンティック」な状態には影響しません。アリスは、それらの状態の 1 つが彼のシステムの量子記述であると結論付ける測定を行うことができるため、ボブのシステムのオンティック状態は、量子状態またはのいずれかと互換性がある必要があることがわかります。同時に、同じ理由で、量子状態またはのいずれかとも互換性がある必要があります。したがって、ボブのシステムのオンティック状態は、少なくとも 2 つの量子状態と互換性がある必要があります。したがって、量子状態は彼のシステムの完全な記述子ではありません。アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンは、この局所性の仮定の下では波動関数が量子システムの完全な記述ではないため、これを量子理論のコペンハーゲン解釈の不完全性の証拠と見なしました。彼らの論文は次のように結論付けています。^[8]${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle _{B}}$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle _{B}}$${\displaystyle \left|\leftarrow \right\rangle _{B}}$${\displaystyle \left|\rightarrow \right\rangle _{B}}$

このように、波動関数は物理的現実の完全な記述を提供しないことを示しましたが、そのような記述が存在するかどうかという疑問は残りました。しかし、私たちはそのような理論は可能であると信じています。

さまざまな著者（特にニールス・ボーア）がEPR論文のあいまいな用語を批判したが^{[15] [16]} 、それでもこの思考実験は大きな関心を集めた。彼らの「完全な記述」という概念は、後に、測定結果の統計を決定するが観察者はアクセスできない隠れた変数の提案によって形式化された。 ^[17] ボーム力学は、隠れた変数の導入によって量子力学のそのような完成を提供するが、理論は明らかに非局所的である。^[18]したがって、この解釈は、量子力学の完全な記述が「局所作用の原理」に従って局所的な隠れた変数の観点から与えられるかどうかというアインシュタインの疑問に答えを与えない。^[19]

1964年、ジョン・ベルは、そのような局所隠れ変数は量子論によって予測される統計的結果の全範囲を再現できないことを示して、アインシュタインの疑問に答えました。^{[20]ベルは、局所隠れ変数仮説が測定結果の相関の強さに制限をもたらすことを示し、ベル不等式が量子力学によって予測されるように実験的に破られる場合、現実は局所隠れ変数によって記述できず、量子非局所因果関係の謎は残ると示しました。しかし、ベルは}ボームの非局所隠れ変数モデルは異なると指摘しています。^[20]

この[極めて非局所的な構造]は、量子力学の予測を正確に再現するあらゆる理論の特徴です。

クラウザー、ホーン、シモニー、ホルト（CHSH）は、これらの不等式を実験的検証に適した形で再定式化した（CHSH不等式を参照）。^[21]

ベルが提案したシナリオ（ベルシナリオ）では、2人の実験者、アリスとボブが別々の研究室で実験を行う。実験ごとに、アリス（ボブ）は自分の研究室で実験を行い、結果を得る。アリスとボブが実験を数回繰り返すと、確率、つまりアリスとボブがそれぞれ実験x、yを行ったときに結果を観察する確率を推定できる。以下では、このような確率の集合をそれぞれ と表記する。量子非局所性スラングでは、はボックスと呼ばれる。^[22]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (y)}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (b)}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \{P(a,b|x,y):a,b,x,y\}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

ベルは、各システムの測定結果を局所的に特徴付けるパラメータを導入することで、隠れた変数の概念を形式化した。 ^[20]「λ が単一の変数を表すか集合を表すか、また変数が離散的か連続的かは関係ない」。しかし、アリスとボブが実験装置を再起動したときに、ある確率で発生する局所的な「戦略」または「メッセージ」と考えるのと同等（かつより直感的）である。ベルの局所的因果関係の仮定は、アリスが実験 x を実施し、ボブが実験 を実施した場合に、各局所的戦略が独立した結果の分布を定義することを規定している。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho (\lambda )}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle P(a,b|x,y,\lambda _{A},\lambda _{B})=P_{A}(a|x,\lambda _{A})P_{B}(b|y,\lambda _{B})}$$

ここで、( ) は、アリス (ボブ) が実験を実施し、アリス (ボブ) の実験を表すローカル変数の値が( ) であるときに、アリス (ボブ) が結果を得る確率を表します。 ${\displaystyle P_{A}(a|x,\lambda _{A})}$${\displaystyle P_{B}(b|y,\lambda _{B})}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (b)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (y)}$${\displaystyle \lambda _{A}}$${\displaystyle \lambda _{B}}$

が何らかの集合 から値を取ることができるとします 。各値のペアに選択される確率が関連付けられている場合（共有ランダム性が許容される、つまり相関関係がある）、この分布を平均化することで、各測定結果の結合確率の式を取得できます。 ${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}\in \Lambda }$${\displaystyle \rho (\lambda _{A},\lambda _{B})}$${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}}$

$${\displaystyle P(a,b|x,y)=\sum _{\lambda _{A},\lambda _{B}\in \Lambda }\rho (\lambda _{A},\lambda _{B})P_{A}(a|x,\lambda _{A})P_{B}(b|y,\lambda _{B})}$$

このような分解が可能なボックスは、ベル局所ボックスまたは古典ボックスと呼ばれます。各ボックスが取り得る値の数を固定すると、各ボックスを の要素を持つ有限ベクトルとして表すことができます。この表現では、すべての古典ボックスの集合は凸多面体を形成します。CHSH で研究されているベルのシナリオでは、 が の範囲内の値をとることができるため、任意のベル局所ボックスはCHSH 不等式を満たす必要があります。 ${\displaystyle a,b,x,y}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle \left(P(a,b|x,y)\right)_{a,b,x,y}}$${\displaystyle a,b,x,y}$${\displaystyle {0,1}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

$${\displaystyle S_{\rm {CHSH}}\equiv E(0,0)+E(1,0)+E(0,1)-E(1,1)\leq 2,}$$

どこ $${\displaystyle E(x,y)\equiv \sum _{a,b=0,1}(-1)^{a+b}P(a,b|x,y).}$$

上記の考慮事項は、量子実験のモデル化に適用されます。2 つの当事者が二部構成の光子状態に対して局所的な偏光測定を行っている場合を考えてみましょう。光子の偏光の測定結果は、2 つの値 (非公式には、光子がその方向に偏光しているか、直交方向に偏光しているか) のいずれかになります。各当事者が 2 つの異なる偏光方向のいずれかを選択できる場合、実験は CHSH シナリオに適合します。CHSH で指摘されているように、に等しいボックスを生成する量子状態と偏光方向が存在します。これは、存在論的状態が局所的で、局所的な測定と局所的なアクションのみを伴う理論が量子理論の確率的予測に一致できないことを明示的に示しており、アインシュタインの仮説を反証しています。アラン・アスペクトなどの実験家は、 CHSH 不等式^[1]の量子的違反やベルの不等式の他の定式化を検証して、局所的な隠れた変数仮説を無効にし、現実が EPR の意味で確かに非局所的であることを確認しています。 ${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle S_{\rm {CHSH}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.828}$

ベルの証明は、量子力学によって予測されるいくつかのエンタングルメントのシナリオの正確な確率が、局所隠れ変数理論では満たされないことを示すという意味で確率的である。（簡単に言えば、以下では「局所理論」は「局所隠れ変数理論」を意味する。）しかし、量子力学は、局所理論に対するさらに強い違反、すなわち、エンタングルメントのシナリオでどのイベントが可能でどのイベントが不可能であるかに関して、局所理論が量子力学とさえ一致しない可能性論的違反を許容する。この種の最初の証明は、1993年にダニエル・グリーンバーガー、マイケル・ホーン、アントン・ツァイリンガーによってなされた^[23]。関係する状態は、しばしばGHZ状態と呼ばれる。

1993年、ルシアン・ハーディは、GHZ証明と同様に可能性論的証明である量子非局所性の論理的証明を示した。^{[24] [25] [26]}それは、以下に定義される状態がいくつかの示唆的な方法で記述できるという 観察から始まります。 ここで、上記のように、。 ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left|00\right\rangle +\left|01\right\rangle +\left|10\right\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\sqrt {2}}\left|+0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+1\right\rangle +\left|-1\right\rangle \right)\right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\sqrt {2}}\left|0+\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|1+\right\rangle +\left|1-\right\rangle \right)\right)}$$${\displaystyle |\pm \rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|0\right\rangle \pm \left|1\right\rangle )}$

この実験は、このエンタングルメント状態を2人の実験者間で共有することで構成されます。2人の実験者はそれぞれ、基底またはに関して測定する能力を持っています。2人がそれぞれ に関して測定した場合、結果 を見ることはできません。一方が に関して測定し、もう一方が に関して測定した場合、結果を見ることはできません。ただし、に関して測定すると、結果が見える場合があります。${\displaystyle \{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}}$${\displaystyle \{\left|+\right\rangle ,\left|-\right\rangle \}}$${\displaystyle \{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}}$${\displaystyle \left|11\right\rangle }$${\displaystyle \{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}}$${\displaystyle \{\left|+\right\rangle ,\left|-\right\rangle \}}$${\displaystyle \left|-0\right\rangle ,}$ ${\displaystyle \left|0-\right\rangle .}$${\displaystyle \left|--\right\rangle }$${\displaystyle \{\left|+\right\rangle ,\left|-\right\rangle \}}$${\displaystyle \langle --|\psi \rangle =-{\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}\neq 0.}$

これはパラドックスにつながります。つまり、結果が であることから、実験者の 1 人が代わりに基底について測定していた場合、結果はまたはであったに違いないという結論が導き出されます。これは、とが不可能であるためです。しかし、2 人とも基底について測定していた場合、局所性により結果は であったに違いありませんが、これも不可能です。 ${\displaystyle |--\rangle }$${\displaystyle \{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}}$${\displaystyle |{-}1\rangle }$${\displaystyle |1-\rangle }$${\displaystyle |{-}0\rangle }$${\displaystyle |0-\rangle }$${\displaystyle \{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}}$${\displaystyle \left|11\right\rangle }$

Bancal らの研究^[27]は、量子論で達成可能な相関関係が、超光速隠れ変数モデルの大きなクラスとも互換性がないことを証明することで、ベルの結果を一般化しています。このフレームワークでは、光速を超える信号は排除されます。ただし、超光速の影響 (有限ですが、それ以外の速度は不明) が 1 つのポイントから別のポイントに伝播するのに十分な時間がある場合、一方の当事者の設定の選択は、もう一方の当事者の離れた場所にある隠れ変数に影響を与える可能性があります。このシナリオでは、ベルの非局所性を明らかにする任意の 2 部実験は、隠れた影響の伝播速度の下限を提供するだけです。それでも、3 つ以上の当事者による量子実験は、このような非局所隠れ変数モデルをすべて反証できます。^[27]

一般的な実験で測定されるランダム変数は、複雑な方法で相互に依存する可能性があります。因果推論の分野では、このような依存関係はベイジアン ネットワークによって表現されます。ベイジアン ネットワークとは、各ノードが変数を表し、ある変数から別の変数へのエッジは、前者が後者に影響を与え、そうでない場合ではないことを表す有向非巡回グラフです (図を参照)。標準的な 2 部ベル実験では、アリス (ボブ) の設定( ) が、彼女 (ボブ) のローカル変数( ) とともに、彼女 (ボブ) のローカル結果( ) に影響を与えます。したがって、ベルの定理は、隠れノードが 1 つだけのタイプの因果構造における量子予測と古典予測の分離として解釈できます。同様の分離は、他のタイプの因果構造でも確立されています。^[28]このような拡張ベル シナリオにおける古典相関の境界の特性評価は困難ですが、それを達成するための完全な実用的な計算方法があります。^{[29] [30]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \lambda _{A}}$${\displaystyle \lambda _{B}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (\lambda _{A},\lambda _{B})}$

量子非局所性は、エンタングルメントと同等であると理解されることがあります。しかし、これは事実ではありません。量子エンタングルメントは量子力学の形式論の範囲内でのみ定義できます。つまり、モデルに依存する特性です。対照的に、非局所性は、観測された統計をローカルな隠れた変数モデルで記述することが不可能であることを指すため、実験を記述するために使用される物理モデルとは無関係です。

純粋なエンタングルメント状態であれば、ベル非局所相関を生成する測定方法の選択が存在するのは事実だが、混合状態の場合は状況はより複雑である。ベル非局所状態は必ずエンタングルメントされるが、ベル非局所相関を生成しない（混合）エンタングルメント状態が存在する^[31]（ただし、そのような状態のいくつかのコピーを複数操作する^[32]か、局所事後選択を実行する^[33]と、非局所効果を観察することは可能である）。さらに、エンタングルメントの触媒は存在するが^[34] 、非局所性の触媒は存在しない^[35] 。最後に、ベル不等式のかなり単純な例が見つかっており、それらの例において、最大の違反を与える量子状態は最大エンタングルメント状態になることは決してなく、エンタングルメントはある意味では非局所性に比例しないことがわかる。^{[36] [37] [38]}

示されているように、古典システムで実験を行う2人以上のグループによって達成可能な統計は、自明ではない方法で制約されています。同様に、量子理論で別々の観測者によって達成可能な統計も制限されています。B. Tsirelson による量子相関の集合に対する自明ではない統計的限界の最初の導出は^、Tsirelsonの境界として知られています。前に詳述したCHSHベルシナリオを考えてみましょう。ただし、今回は、実験でアリスとボブが量子システムを準備して測定していると仮定します。その場合、CHSHパラメータは次の式で制限されることがわかります。

${\displaystyle -2{\sqrt {2}}\leq \mathrm {CHSH} \leq 2{\sqrt {2}}.}$

数学的には、箱が量子実現を許容するのは、ヒルベルト空間のペア、正規化されたベクトル、射影演算子が存在し、 ${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}$${\displaystyle E_{a}^{x}:H_{A}\to H_{A},F_{b}^{y}:H_{B}\to H_{B}}$

1. すべての に対して、集合は完全な測定値を表します。つまり、です。${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \{E_{a}^{x}\}_{a},\{F_{b}^{y}\}_{b}}$${\displaystyle \sum _{a}E_{a}^{x}={\mathbb {I} }_{A},\sum _{b}F_{b}^{y}={\mathbb {I} }_{B}}$
2. ${\displaystyle P(a,b|x,y)=\left\langle \psi \right|E_{a}^{x}\otimes F_{b}^{y}\left|\psi \right\rangle }$、すべての。${\displaystyle a,b,x,y}$

以下では、そのようなボックスの集合を と呼ぶ。古典的な相関関係の集合とは異なり、確率空間で見ると は多面体ではない。それどころか、直線境界と曲線境界の両方が含まれている。^[40]さらに、は閉じていない: ^[41]これは、量子システムによって任意に近似できるが、それ自体は量子ではない ボックスが存在することを意味する。${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

上記の定義では、ベル実験を実施する 2 つの当事者の空間的な分離は、関連する作用素代数が実験を記述する全体的なヒルベルト空間の異なる要素に作用することを課すことによってモデル化されました。あるいは、これら 2 つの代数が可換であることを課すことによって空間的な分離をモデル化することもできます。これにより、異なる定義が導かれます。 ${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle H=H_{A}\otimes H_{B}}$

${\displaystyle P(a,b|x,y)}$場の量子実現が許されるのは、ヒルベルト空間、正規化されたベクトル、射影演算子が存在し、 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle \in H}$${\displaystyle E_{a}^{x}:H\to H,F_{b}^{y}:H\to H}$

1. すべての に対して、集合は完全な測定値を表します。つまり、です。${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \{E_{a}^{x}\}_{a},\{F_{b}^{y}\}_{b}}$${\displaystyle \sum _{a}E_{a}^{x}={\mathbb {I} },\sum _{b}F_{b}^{y}={\mathbb {I} }}$
2. ${\displaystyle P(a,b|x,y)=\left\langle \psi \right|E_{a}^{x}F_{b}^{y}\left|\psi \right\rangle }$、すべての。${\displaystyle a,b,x,y}$
3. ${\displaystyle [E_{a}^{x},F_{b}^{y}]=0}$、すべての。${\displaystyle a,b,x,y}$

そのような相関関係すべての集合をと呼びます。 ${\displaystyle Q_{c}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

この新しい集合は、上で定義されたより一般的な集合とどのような関係があるでしょうか。が閉じていることは証明できます。 さらに、、ここで はの閉包を表します。 Tsirelson の問題^[42]は、包含関係が厳密であるかどうか、つまり であるかどうかを決定することです。この問題は無限次元でのみ現れます。の定義におけるヒルベルト空間が有限次元に制限されている場合、対応する集合の閉包は に等しくなります。^[42]${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q_{c}}$${\displaystyle {\bar {Q}}\subseteq Q_{c}}$${\displaystyle {\bar {Q}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\bar {Q}}\subseteq Q_{c}}$${\displaystyle {\bar {Q}}=Q_{c}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle Q_{c}}$${\displaystyle {\bar {Q}}}$

2020年1月、ジ、ナタラジャン、ヴィディック、ライト、ユエンは量子複雑性理論^[43]において、 を意味し、ツィレルソンの問題を解決した結果を主張した。 ^{[44] [45] [46] [47] [48] [49] [50]}${\displaystyle {\bar {Q}}\neq Q_{c}}$

ツィレルソンの問題は、作用素環論における有名な予想である コヌの埋め込み問題^{[51] [52] [53]}と同等であることが示されます。

との次元は原理的に無制限であるため、与えられた箱が量子実現を許容するかどうかを決定することは複雑な問題である。実際、量子箱が非局所ゲームで完全なスコアを持つことができるかどうかを立証する双対問題は決定不可能であることが知られている。^[41]さらに、を量子システムで精度よく近似できるかどうかを決定する問題はNP 困難である。^[54]量子箱を特徴付けることは、一連の線形制約の下で完全に正の半正定値行列の円錐を特徴付けることに等しい。^[55]${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle H_{B}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle 1/\operatorname {poly} (|X||Y|)}$

小さな固定次元 に対して、変分法を使用して、 、の条件で が二部量子システム で実現できるかどうかを調べることができます。ただし、その方法は の実現可能性を証明するためだけに使用でき、量子システムでの の実現不可能性を証明することはできません。 ${\displaystyle d_{A},d_{B}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$${\displaystyle \dim(H_{A})=d_{A}}$${\displaystyle \dim(H_{B})=d_{B}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

実現不可能性を証明する最もよく知られた方法は、ナバスクエス・ピロニオ・アシン（NPA）階層である。^[56]これは、以下の特性を持つ 相関関係の集合の無限減少列である。${\displaystyle Q^{1}\supset Q^{2}\supset Q^{3}\supset ...}$

1. ならば、すべての に対して となります。${\displaystyle P(a,b|x,y)\in Q_{c}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)\in Q^{k}}$${\displaystyle k}$
2. ならば、 となるようなが存在する。${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in Q_{c}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in Q^{k}}$
3. 任意の に対して、 かどうかを決定することは半正定値プログラムとして表現できます。${\displaystyle k}$${\displaystyle P(a,b|x,y)\in Q^{k}}$

したがって、NPA 階層はではなく の計算特性を提供します。 の場合(Ji、Natarajan、Vidick、Wright、および Yuen が主張するように)、 の相関の実現不可能性を検出する新しい方法が必要です。 Tsirelson の問題が肯定的に解決された場合、つまり の場合、上記の 2 つの方法は の実用的な特性を提供します。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q_{c}}$${\displaystyle {\bar {Q}}\not =Q_{c}}$${\displaystyle Q_{c}-{\bar {Q}}}$${\displaystyle {\bar {Q}}=Q_{c}}$${\displaystyle {\bar {Q}}}$

上記の研究は、量子相関の集合がどのようなものか説明していますが、その理由については説明していません。量子相関は、量子以降の物理理論でも避けられないものなのでしょうか、それとも逆に、非物理的な動作につながらない相関が外部に存在する可能性はあるのでしょうか。 ${\displaystyle {\bar {Q}}}$

1994 年の独創的な論文で、ポペスクとローリッヒは、相対論的因果関係のみで量子相関を説明できるかどうかを検討しました。^[57]つまり、仮想的な箱であれば、光速よりも速く情報を伝送できるデバイスを構築できるかどうかです。2 者間の相関関係のレベルでは、アインシュタインの因果関係は、アリスの測定選択がボブの統計に影響を与えてはならないという要件に変換され、その逆も同様です。そうでなければ、アリス (ボブ) は、測定設定を適切に選択することで、ボブ (アリス) に瞬時に信号を送ることができます。数学的には、ポペスクとローリッヒの信号なし条件は次のとおりです。 ${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in {\bar {Q}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (y)}$$${\displaystyle \sum _{a}P(a,b|x,y)=\sum _{a}P(a,b|x^{\prime },y)=:P_{B}(b|y),}$$ $${\displaystyle \sum _{b}P(a,b|x,y)=\sum _{b}P(a,b|x,y^{\prime })=:P_{A}(a|x).}$$

古典的な箱の集合と同様に、確率空間で表現すると、無信号箱の集合は多面体を形成します。Popescu と Rohrlich は、無信号条件に準拠しながらも Tsirelson の境界に違反し、量子物理学では実現不可能な箱を特定しました。PR ボックスと呼ばれるこの箱は、次のように記述できます。 ${\displaystyle P(a,b|x,y)}$$${\displaystyle P(a,b|x,y)={\frac {1}{2}}\delta _{xy,a\oplus b}.}$$

ここでの値を取り、 は2を法とする和を表します。このボックスのCHSH値は4であることが確認できます（ のTsirelson境界とは対照的です）。このボックスは、Rastall ^[58]とKhalfinとTsirelsonによって以前に特定されていました。^[59]${\displaystyle a,b,x,y}$${\displaystyle {0,1}}$${\displaystyle a\oplus b}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.828}$

この不一致を考慮して、ポペスクとローリッヒは、無信号条件よりも強力で量子相関のセットを導き出すことを可能にする物理原理を特定するという問題を提起しました。その後、いくつかの提案が行われました。

1. 非自明な通信複雑性（NTCC）。^[60]この原理は、非局所的な相関が、2者が1ビットの通信だけですべての1方向通信問題をある程度の確率で解決できるほど強くあってはならないことを規定している。Tsirelsonの境界をそれ以上破るボックスは、NTCCと互換性がないことが証明されている。${\displaystyle p>1/2}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}-1\right)\approx 0.4377}$
2. 非局所計算の利点なし (NANLC)。^[61]次のシナリオが考えられます。関数 が与えられた場合、2 つのパーティにビットの文字列が配布され、 がの良い推測となるようにビットを出力するように求められます。NANLC の原理は、非局所的なボックスは、このゲームをプレイする 2 つのパーティに利点を与えてはならないと述べています。Tsirelson の境界に違反するボックスはどれも、そのような利点をもたらすことが証明されています。${\displaystyle f_{0,1}^{n}\to 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a\oplus b}$${\displaystyle f(x\oplus y)}$
3. 情報因果律（IC）。^[62]出発点は、2者間通信のシナリオであり、一方の当事者（アリス）にランダムなビット列が渡される。もう一方の当事者であるボブは、ランダムな数 を受け取る。彼らの目標は、ボブにビット を送信することであり、そのためにアリスはボブにビットを送信することができる。ICの原理は、アリスのビットとボブの推測との間の相互情報量の合計が、アリスが送信したビット数を超えることはできないと述べている。ツィレルソンの境界に違反するボックスはどれも、2つの当事者がICに違反することを可能にすることが示されている。${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k\in \{1,...,n\}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$
4. マクロ的局所性（ML）。^[63]検討中の設定では、2つの別々のグループが、独立して準備された多数の相関粒子のペアに対して広範囲にわたる低解像度の測定を実施します。MLは、そのような「マクロ的」な実験は、局所的な隠れた変数モデルを許容する必要があると述べています。Tsirelsonの境界に違反する可能性のあるミクロな実験は、マクロスケールに持ち込まれたときに標準的なベル非局所性にも違反することが証明されています。Tsirelsonの境界に加えて、MLの原理は、すべての2点量子相関子のセットを完全に回復します。
5. 局所直交性（LO）。^[64]この原理は、当事者がそれぞれ地元の研究室で実験を行う多部構成のベルシナリオに適用されます。彼らはそれぞれ結果 を取得します。ベクトルのペアはイベントと呼ばれます。 および となるような が存在する場合、2 つのイベント、は局所直交していると言われます。LO の原理は、任意の多部構成ボックスについて、任意のペアワイズ局所直交イベントの集合の確率の合計は 1 を超えることができないと述べています。 の量によって Tsirelson の境界に違反する任意の二部構成ボックスはLO に違反することが証明されています。${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$${\displaystyle ({\bar {a}}|{\bar {x}})}$${\displaystyle ({\bar {a}}|{\bar {x}})}$${\displaystyle ({\bar {a}}^{\prime }|{\bar {x}}^{\prime })}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}=x_{k}^{\prime }}$${\displaystyle a_{k}\not =a_{k}^{\prime }}$${\displaystyle 0.052}$

これらすべての原理は、2 つ以上のイベントが空間的に分離されているかどうかを判断できるという仮定の下で、実験的に反証できます。この点が、この研究プログラムを、一般化確率理論による量子力学の公理的再構築とは一線を画しています。

上記の研究は、相関の物理的な集合は配線の下で閉じていなければならないという暗黙の仮定に依存している。^[65]これは、検討対象の集合内の多数のボックスの入力と出力を組み合わせて構築された有効なボックスも、その集合に属している必要があることを意味する。配線の下での閉包は、CHSHの最大値に何らかの制限を強制するものではないと思われる。しかし、それは無効な原理ではない。それどころか、^[65]では、確率空間における相関の集合の多くの単純で直感的な族が、たまたまそれを破っていることが示される。

当初、これらの原理（またはそのサブセット）のどれかが、 を定義するすべての制約を導き出すのに十分強力であるかどうかは不明でした。この状況は、ほぼ量子集合 の構築まで数年間続きました。^{[66] は、}配線の下で閉じており、半正定値計画法によって特徴付けることができる相関の集合です。 内のすべての相関が含まれますが、一部の非量子ボックスも含まれています。驚くべきことに、ほぼ量子集合内のすべてのボックスは、NTCC、NANLC、ML、および LO の原理と互換性があることが示されています。ほぼ量子ボックスが IC にも準拠していることを示す数値的証拠もあります。したがって、上記の原理をまとめても、2 つのパーティ、2 つの入力、2 つの出力の最も単純なベルシナリオの量子集合を特定するには不十分であると思われます。^[66]${\displaystyle {\bar {Q}}}$${\displaystyle {\tilde {Q}}}$ ${\displaystyle {\tilde {Q}}}$${\displaystyle Q_{c}\supset {\bar {Q}}}$${\displaystyle P(a,b|x,y)\not \in Q_{c}}$

非局所性は、実験に関係する準備および測定装置の内部動作に関する知識に依存しない量子情報タスクを実行するために利用できます。このようなプロトコルのセキュリティまたは信頼性は、実験的に測定された相関の強さにのみ依存します。これらのプロトコルは、デバイスに依存しないプロトコルと呼ばれます。 ${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

最初に提案されたデバイスに依存しないプロトコルは、デバイスに依存しない量子鍵配送 (QKD) でした。^[67]この基本プロトコルでは、遠く離れた 2 人の当事者である Alice と Bob に量子もつれ状態が配布され、それを調べて統計を取得します。ボックスがたまたま非局所的であるかどうかに基づいて、Alice と Bob は、外部の量子敵対者である Eve (盗聴者) が Alice と Bob の出力の値についてどの程度の知識を持っているかを推定します。この推定により、彼らは和解プロトコルを考案することができ、そのプロトコルの最後には、Eve がまったく情報を持たない完全に相関したワンタイム パッドを Alice と Bob が共有します。その後、ワンタイム パッドを使用して、公開チャネルを介して秘密メッセージを送信できます。デバイスに依存しない QKD の最初のセキュリティ分析では、Eve が特定の攻撃ファミリーを実行することを前提としていましたが、^[68]このようなプロトコルはすべて最近無条件に安全であることが証明されました。^[69]${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

非局所性は、ベル実験の参加者の一方が得た結果が外部の敵対者にとって部分的に未知であることを証明するために使用できる。部分的にランダムなシードを複数の非局所的なボックスに入力し、出力を処理した後に、同等のランダム性を持つより長い（潜在的に無制限の）文字列^[70]またはより短いがよりランダムな文字列^[71]を得ることができる。この最後のプリミティブは、古典的な設定では不可能であることが証明できる。^[72]

デバイス非依存 (DI) のランダム性認証、拡張、増幅は、乱数生成に使用される基盤デバイスへの潜在的な攻撃に対して安全な高品質の乱数を生成するために使用される手法です。これらの手法は、高品質の乱数が暗号化プロトコルのセキュリティの確保に不可欠である暗号化において重要な用途があります。ランダム性認証は、乱数ジェネレータの出力が真にランダムであり、敵対者によって改ざんされていないことを確認するプロセスです。DI ランダム性認証では、乱数を生成する基盤デバイスについて想定することなくこの検証を行います。代わりに、同じ物理プロセスを使用して生成される異なるデバイスの出力間の相関関係を観察することで、ランダム性が認証されます。最近の研究では、光子や電子などのエンタングルされた量子システムを使用した DI ランダム性認証の実現可能性が実証されています。ランダム性拡張は、少量の初期ランダム シードを取り、それをはるかに大きな乱数シーケンスに拡張することです。DI ランダム性拡張では、高度にエンタングルされた状態で準備された量子システムの測定を使用して拡張が行われます。拡張の安全性は量子力学の法則によって保証されており、敵対者が拡張出力を予測することは不可能である。最近の研究では、DI ランダムネス拡張は、エンタングルメントされた光子対とベル不等式に違反する測定装置を使用して実現できることが示されている。^[73] ランダムネス増幅は、少量の初期ランダムシードを取り、暗号化アルゴリズムを使用してそのランダム性を高めるプロセスである。DI ランダムネス増幅では、このプロセスはエンタングルメント特性と量子力学を使用して行われる。増幅の安全性は、敵対者がアルゴリズムの出力を操作しようとすると、必然的に検出および修正可能なエラーが発生するという事実によって保証される。最近の研究では、量子エンタングルメントとベル不等式の違反を使用した DI ランダムネス増幅の実現可能性が実証されている。^[74]

DI乱数認証、拡張、増幅は、乱数生成に使用される基礎デバイスへの潜在的な攻撃に対して安全な高品質の乱数を生成するための強力な技術です。これらの技術は暗号化において重要な用途があり、量子コンピューティング技術の進歩に伴いますます重要になるでしょう。さらに、セミDIと呼ばれるより穏やかなアプローチがあり、デバイスの動作原理、環境、寸法、エネルギーなどについていくつかの仮定を置いて乱数を生成でき、実装の容易さと高い生成率のメリットがあります。^[75]

時々、アリスとボブが共有する箱は、唯一の量子実現のみを許容するようなものである。これは、の他の物理的実現 が ローカルユニタリ変換を介してに接続されるような を生じる測定演算子と量子状態が存在することを意味する。デバイスに依存しない量子トモグラフィーの例として解釈できるこの現象は、最初にTsirelson ^[40]によって指摘され、Mayers と Yao によって自己テストと名付けられました。^[67]自己テストは系統的ノイズに対して堅牢であることが知られています。つまり、実験的に測定された統計が に十分近い場合、エラーバーまで基礎となる状態と測定演算子を決定できます。^[67]${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle E_{a}^{x},F_{b}^{y}}$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{a}^{x},{\tilde {F}}_{b}^{y},\left|{\tilde {\psi }}\right\rangle }$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$${\displaystyle E_{a}^{x},F_{b}^{y},\left|\psi \right\rangle }$${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

量子箱の非局所性の度合いは、アリスとボブがアクセスできるローカルシステムのヒルベルト空間次元の下限も提供できる。^[76]この問題は、低い完全正半定位ランクを持つ行列の存在を決定することと同等である。^[77]統計に基づいてヒルベルト空間次元の下限を見つけることは困難な作業であり、現在の一般的な方法では非常に低い推定値しか提供できない。^[78]しかし、5つの入力と3つの出力を持つベルシナリオは、基礎となるヒルベルト空間次元の任意の高い下限を提供するのに十分である。^{[79]アリスとボブのシステムのローカル次元の知識を前提とするが、それ以外は関連する準備と測定デバイスの数学的記述を要求しない量子通信プロトコルは、半デバイス独立プロトコルと呼ばれる。現在、量子鍵配布[80]}とランダム性拡張のための半デバイス独立プロトコルが存在する。^[81]${\displaystyle P(a,b|x,y)}$

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