Puの不等式

微分幾何学において、パオ・ミン・プーによって証明されたプーの不等式は、実射影平面に同相な任意のリーマン面の面積とそこに含まれる閉曲線の 長さを関連付けます。

チャールズ・ロウナーの弟子であったプーは、1950年の学位論文（Pu 1952）で、実射影平面に同相なすべてのリーマン面が不等式を満たすこと を証明した。${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {面積} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}\operatorname {収縮期} (M)^{2},}$

ここで、は の収縮です。この等式は、計量が一定のガウス曲率を持つときに正確に達成されます。 ${\displaystyle \operatorname {収縮期} (M)}$${\displaystyle M}$

言い換えると、 のすべての非収縮ループの長さが 未満の場合、 となり、等式が成立するのは、半径 のユークリッド球面から各点をその対蹠面と同一視することによって が得られる場合のみです。${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {エリア} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}L^{2},}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r=L/\pi }$

Pu の論文では、トーラス上のリーマン計量に対する同様の結果である、ロウナーの不等式も初めて述べられました。

Pu のオリジナルの証明は均一化定理に依存しており、次のように平均化の議論を採用しています。

均一化により、リーマン面は円形の射影平面と共形微分同相となる。これは、ユークリッド単位球面から対心点を特定することで表面が得られ、各点におけるリーマン長要素は ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {dLength} =f(x)\mathrm {dLength} _{\text{ユークリッド}},}$

ここで はユークリッド長さ要素であり、 は共形因子と呼ばれる関数であり、 を満たします。 ${\displaystyle \mathrm {dLength} _{\text{ユークリッド}}}$${\displaystyle f:S^{2}\to (0,+\infty )}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

より正確には、 の普遍被覆はであり、ループが非収縮性を持つのは、その揚力が1点からその反対点に向かう場合のみであり、各曲線の長さは ${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \gamma \subseteq M}$${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\subseteq S^{2}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{\widetilde {\gamma }}f\,\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}.}$

これらの長さがそれぞれ少なくとも であるという制約のもとで、を最小化する を 見つけたい。${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M,g)=\int _{S_{+}^{2}}f(x)^{2}\,\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x),}$

球体の上半分は どこですか。${\displaystyle S_{+}^{2}}$

重要な観察は、長さの制限を満たし、同じ面積を持ついくつかの異なるを平均すると、長さの制限も満たし、 ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f_{\text{new}}={\frac {1}{n}}\sum _{0\leq i<n}f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M,g_{\text{new}})=\int _{S_{+}^{2}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}f_{i}(x)\right)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\int _{S_{+}^{2}}f_{i}(x)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)\right)=A,}$

関数が等しくない限り、不等式は厳密です。 ${\displaystyle f_{i}}$

定数でない値を改善する方法は、 を定義して球の回転を使用してからさまざまな関数を取得することです。すべての可能な回転を平均すると、球全体にわたって定数であるが得られます。この定数をさらに、長さの制限で許可される最小値まで減らすことができます。すると、 が得られ、最小の面積を実現する一意のメトリックが得られます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R_{i}\in SO^{3}}$${\displaystyle f_{i}(x)=f(R_{i}(x))}$${\displaystyle f_{\text{new}}}$${\displaystyle r={\frac {L}{\pi }}}$${\displaystyle 2\pi r^{2}={\frac {2}{\pi }}L^{2}}$

あるいは、対蹠写像の下での球面不変量上のすべての計量は、リーマン距離で反対の点のペアを許容し、${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle p,q\in S^{2}}$${\displaystyle d=d(p,q)}$${\displaystyle d^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\operatorname {area} (S^{2}).}$

この観点のより詳細な説明については、 「シストリック幾何学の紹介」のページを参照してください。

Pu の不等式の別の定式化は次のとおりです。長さのリーマン円を、強等長特性を持つ次元円で埋めるすべての可能な方法のうち、円形の半球面が最小の面積を持ちます。 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2}$

この定式化を説明するために、まず単位球面の赤道円が長さ のリーマン円であるという観察から始めます。より正確には、 のリーマン距離関数は、球面上の周囲のリーマン距離から誘導されます。この特性は、単位円をユークリッド平面に標準的に埋め込むことでは満たされないことに注意してください。実際、円の反対側の点のペア間のユークリッド距離は だけですが、リーマン円では です。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \pi }$

次元円板によるのすべての充填について考えます。円板の境界として円を含めることによって誘導される計量は、長さ の円のリーマン計量です。円を境界として含めることは、円の強等長埋め込みと呼ばれます。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2\pi }$

グロモフは、充填面が正の種数を持つことが許される場合でも、円形の半球が円を充填する「最良」の方法を与えると 推測しました(Gromov 1983)。

Puの不等式は古典的な等周不等式と奇妙な類似性を持っている。

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A}$

平面上のジョルダン曲線の場合、 は曲線の長さ、は曲線が囲む領域の面積です。つまり、どちらの場合も、2 次元の量 (面積) は 1 次元の量 (長さ) (の 2 乗) によって囲まれます。ただし、不等式は逆方向になります。したがって、Pu の不等式は「反対の」等周不等式と考えることができます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle A}$

• 充填領域推測
• 本質的多様体に対するグロモフのシストリック不等式
• 複素射影空間におけるグロモフの不等式
• ローナーのトーラス不等式
• 収縮期幾何学
• 表面の収縮

• グロモフ、ミカエル (1983)。「リーマン多様体の充填」。J . 微分幾何学。18 ( 1): 1–147。doi : 10.4310/jdg/ 1214509283。MR  0697984 。
• グロモフ、ミカエル (1996)。 「収縮期と収縮期間の不平等」。 Besse 著、Arthur L. (編)。Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy、1992) [微分幾何学に関する円卓会議議事録]。セミネールとコングレ。 Vol. 1. パリ: Soc.数学。フランス。 291–362ページ。ISBN 2-85629-047-7. MR  1427752。
• グロモフ、ミシャ (1999) [1981]。リーマン空間と非リーマン空間の計量構造。数学の進歩。第 152 巻。M. カッツ、P. パンス、S. セムズの付録付き。フランス語からショーン マイケル ベイツによる翻訳。ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3898-9. MR  1699320。
• Katz, Mikhail G. (2007)。シストリック幾何学と位相幾何学。数学概論とモノグラフ。第 137 巻。J. Solomon による付録付き。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。doi :10.1090/surv/137。ISBN 978-0-8218-4177-8. MR  2292367. S2CID  118039315.
• Pu, Pao Ming (1952). 「特定の非方向性リーマン多様体におけるいくつかの不等式」. Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR  0048886.