生産性の高いマトリックス

線型代数では、 のような非負の列行列が存在する場合、次正方 非負行列は生成的である、またはレオンチェフ行列であると言われます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P-AP}$

生産マトリックスの概念は、経済のさまざまな部門間の関係をモデル化し分析するために、経済学者ワシリー・レオンチェフ（ 1973年ノーベル経済学賞受賞）によって開発されました。 ^{[1]後者間の相互依存関係は、経験的データを使用した}投入産出モデルによって調べることができます。

行列が生成的となるのは、およびなどのときのみです。 ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle A\geqslant 0}$${\displaystyle \exists P\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0}$${\displaystyle P-AP>0}$

ここで、 は実数のr × c行列の集合を表し、 およびはそれぞれ正の行列と非負の行列を表します。 ${\displaystyle \mathrm {M} _{r,c}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle >0}$${\displaystyle \geqslant 0}$

以下の性質は例えば教科書（Michel 1984）で証明されている。^[2]

定理 非負行列が生成的であるためには、 は非負の逆行列で逆行列可能であることが必要である。ここで、 は単位行列を表す。 ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle I_{n}-A}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$

証拠

"もし" ：

を非負の逆関数で可逆であるとする。${\displaystyle I_{n}-A}$

を の任意の列行列とします。${\displaystyle U\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle U>0}$

この場合、行列は2 つの非負行列の積であるため、非負になります。${\displaystyle P=(I_{n}-A)^{-1}U}$

さらに、。${\displaystyle P-AP=(I_{n}-A)P=(I_{n}-A)(I_{n}-A)^{-1}U=U>0}$

したがって生産的です。${\displaystyle A}$

「次の場合のみ」:

を生産的にし、となるようにします。${\displaystyle A}$${\displaystyle P>0}$${\displaystyle V=P-AP>0}$

証明は背理法によって進められる。

まず、矛盾が特異であると仮定します。 ${\displaystyle I_{n}-A}$

に正準的に関連付けられた自己準同型は、行列の特異性によって単射になることはできません。${\displaystyle I_{n}-A}$

したがって、 となる非ゼロの列行列が存在します。${\displaystyle Z\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle (I_{n}-A)Z=0}$

行列はと同じ特性を持つため、少なくとも 1 つの正の要素を持つカーネルの要素として を選択できます。${\displaystyle -Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

したがって、は非負であり、少なくとも 1 つの値で到達されます。${\displaystyle c=\sup _{i\in [|1,n|]}{\frac {z_{i}}{p_{i}}}}$${\displaystyle k\in [|1,n|]}$

との定義により、次のことが推論できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=cp_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}$

${\displaystyle cp_{k}=z_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}z_{i}}$、それを構造的に使用します。${\displaystyle Z=AZ}$

したがって、の定義により、 を使用します。${\displaystyle cv_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(z_{i}-cp_{i})\leq \ 0}$${\displaystyle z_{i}\leq cp_{i}}$${\displaystyle c}$

これは およびと矛盾するため、必然的に逆変換可能です。${\displaystyle c>0}$${\displaystyle v_{k}>0}$${\displaystyle I_{n}-A}$

次に、矛盾は可逆であるが、その逆関数には少なくとも 1 つの負の要素があると仮定します。 ${\displaystyle I_{n}-A}$

したがって、 には少なくとも 1 つの負のエントリが存在します。${\displaystyle \exists X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),X\geqslant 0}$${\displaystyle Y=(I_{n}-A)^{-1}X}$

すると は正となり、少なくとも 1 つの値に到達します。${\displaystyle c=\sup _{i\in [|1,n|]}-{\frac {y_{i}}{p_{i}}}}$${\displaystyle k\in [|1,n|]}$

との定義により、次のことが推論できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=-y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}$

${\displaystyle x_{k}=y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}y_{i}}$それを構造的に利用して${\displaystyle X=(I_{n}-A)Y}$

${\displaystyle cv_{k}+x_{k}=-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(cp_{i}+y_{i})\geqslant 0}$の定義によりそれを使用します。${\displaystyle -y_{i}\leqslant cp_{i}}$${\displaystyle c}$

したがって、矛盾しています。${\displaystyle x_{k}\leq -cv_{k}}}0}$${\displaystyle X\geqslant 0}$

したがって、 は必ず非負になります。${\displaystyle (I_{n}-A)^{-1}}$

命題生産的行列の転置は生産的で ある。

証拠

生産性の高いマトリックスを作りましょう。${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )}$

したがって、存在し、非負です。${\displaystyle (I_{n}-A)^{-1}}$

まだ${\displaystyle (I_{n}-A^{T})^{-1}=((I_{n}-A)^{T})^{-1}=((I_{n}-A)^{-1})^{T}}$

したがって、非負の逆関数によって逆関数が可能である。${\displaystyle (I_{n}-A^{T})}$

したがって生産的です。${\displaystyle A^{T}}$

投入産出モデルの行列アプローチでは、消費行列が経済的に実行可能であり、後者と需要ベクトルが非負である場合、消費行列は生産的です。