階乗素数

階乗素数は階乗より1小さいか1大きい素数です（1より大きい階乗はすべて偶数です）。^[1]

最初の10個の階乗素数（n = 1、2、3、4、6、7、11、12、14）は次のとおりです（OEISのシーケンスA088054）。

2 (0! + 1 または 1! + 1)、3 (2! + 1)、5 (3! − 1)、7 (3! + 1)、23 (4! − 1)、719 (6! − 1)、5039 (7! − 1)、39916801 (11! + 1)、479001599 (12! − 1)、87178291199 (14! − 1)、...

n ! − 1 は素数である（OEISのシーケンスA002982）：

n = 3、4、6、7、12、14、30、32、33、38、94、166、324、379、469、546、974、1963、3507、3610、6917、21480、34790、94550、103040、147855、208003、... (27 個の階乗素数になります)

n ! + 1 は素数である（OEISのシーケンスA002981）：

n = 0、1、2、3、11、27、37、41、73、77、116、154、320、340、399、427、872、1477、6380、26951、110059、150209、288465、308084、422429、... (24 個の階乗素数になります - 素数 2 が繰り返されます)

2022 年 10 月現在、他の階乗素数は知られていません^{[アップデート]}。

n ! + 1 とn ! − 1 の両方が合成数である場合、 n ! ± 1 とn ! 自体に加えて、 n ! ±  kの形式の各数は2 ≤  k  ≤  nに対してkで割り切れるので、 n ! の周りには少なくとも2 n  + 1 個の連続する合成数が存在する必要があります。ただし、このギャップに必要な長さは、同様のサイズの整数の平均合成数よりも漸近的に小さくなります(素数ギャップを参照)。

• 原始プライム

• Weisstein、Eric W.「階乗素数」。MathWorld。
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