べき乗の和

数学や統計学において、べき乗の和は様々な場面で現れる。

• 平方和は様々な場面で現れます。例えば、幾何学ではピタゴラスの定理が2つの平方数の和に関係しています。数論ではルジャンドルの3平方定理とヤコビの4平方定理があり、統計学では分散分析が量の平方和に関係しています。
• 異なる平方数の和ではない正の整数は有限個しか存在しない。最大のものは128である。異なる立方数の和（最大のものは12,758）、異なる4乗の和（最大のものは5,134,240）などについても同様である。多項式の和​​への一般化については^{[ 1 ]}を参照のこと。
• ファウルハーバーの公式は${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$nに関する多項式として、またはベルヌーイ多項式を用いて表す。
• 三角数は、最初のいくつかの正の整数の1乗の和です。三角数の2乗は、最初のいくつかの正の整数の3乗の和です。公式では、これらは

${\displaystyle 1^{1}+2^{1}+3^{1}+\cdots +n^{1}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

そして

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

• フェルマーの直角三角形の定理によれば、正の整数には解は存在しない。${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$そして${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$。
• フェルマーの最終定理は次のように述べている。${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$k > 2の正の整数では不可能です。
• 超楕円の方程式は${\displaystyle |x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1}$スクワークルは、k = 4、a = bの場合です 。
• オイラーのべき乗和予想（反証済み）は、 n個の整数の和が、それぞれある整数のk^{乗である場合、別の整数の}k乗に等しくなる状況に関するものです。
• フェルマー・カタラン予想とは、互いに素な2つの整数（それぞれが整数のべき乗であり、べき乗の値は必ずしも等しくない）の和が、別のべき乗である整数に等しくなり、かつ3つのべき乗の逆数の和が1未満になるような例が無限に存在するかどうかを問うものである。
• ビールの予想は、互いに素な2つの整数（それぞれが整数の2より大きいべき乗であり、べき乗は必ずしも等しくない）の和が、別の2より大きいべき乗である整数に等しくなるかどうかという問題に関するものである。
• ヤコビ・マッデン方程式は${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$整数で。
• Prouhet –Tarry–Escott 問題は、kの^べき乗の 2 つのセットの和が、 kの複数の値に対して等しい場合を扱います。
• タクシー番号とは、2つの正の3乗の和としてn通りの異なる方法で表すことができる最小の整数である。
• リーマンゼータ関数は、正の整数の逆数をそれぞれs乗したものの和であり、sは実部が1より大きい複素数である。
• ランダー、パーキン、セルフレッジ予想は、m + nの最小値に関するものである。${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$
• ワーリングの問題は、すべての自然数kに対して、すべての自然数が最大でsk^乗の自然数の和となるような、対応する正の整数s が存在するかどうかを問うものです。
• 黄金比φの次数はすべてフィボナッチ数列の漸化式に従う。$${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$$
• ニュートンの恒等式は、多項式のすべての根のk^乗の合計を、その多項式の係数を用いて表す。
• 等差数列をなす数の立方和は、場合によっては別の立方数になる。
• 3つの立方数の和が別の立方数に等しいフェルマー三次方程式には、一般解が存在する。
• べき乗和対称多項式は、対称多項式の構成要素である。
• 重複を含むすべての完全数の逆数の合計は1に等しい（ただし1は含まない）。
• エルデシュ・モーザー方程式、${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$ここで、mとkは正の整数であり、 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹以外の解は存在しないと推測されている。
• 3つの立方数の和は9を法として4または5にはならないが、残りのすべての整数がこの形で表せるかどうかは不明である。
• 等比級数の項の合計は${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}z^{i}={\frac {z^{k}-z^{n+1}}{1-z}}.}$
• べき乗の合計は次のように表すことができます 。${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{k}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}j^{ka}(i^{a}-(i-1)^{a})}$nが1より大きい場合、aが1より大きい場合、およびすべてのkについて。これは、既知の以前の電力の合計に基づいて、後続の電力の合計を決定するのに役立ちます。

• 二乗和
• 逆数の和
• ディオファントス方程式