ピンチ（プラズマ物理学）

高電圧電子機器愛好家の多くは、独自の粗雑な電磁成形装置を製作している。^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}彼らはパルス電力技術を用いて、一次コイルの強い磁場によって缶に大きな電流が誘導されたときに発生するローレンツ力を利用して、アルミ製の清涼飲料水缶を押しつぶすことができるシータピンチを生成する。^{[ 35 ] [ 36 ]}

電磁式アルミ缶破砕機は、主に4つの構成要素から成ります。電気エネルギー源となる高電圧直流電源、電気エネルギーを蓄積する大型放電コンデンサ、高電圧スイッチまたはスパークギャップ、そして蓄積された電気エネルギーを素早く放電して強力なピンチ磁場を生成する頑丈なコイル（高磁気圧力に耐えられるもの）です（下図参照）。

実際には、このような装置は回路図が示唆するよりもやや複雑で、結果として生じる挟み込みを最大化し、装置が安全に動作することを保証する電流制御用の電気部品が含まれています。詳細については、注記を参照してください。^{[ 37 ]}

In plasma physics three pinch geometries are commonly studied: the θ-pinch, the Z-pinch, and the screw pinch. These are cylindrically shaped. The cylinder is symmetric in the axial (z) direction and the azimuthal (θ) directions. The one-dimensional pinches are named for the direction the current travels.

The θ-pinch

The θ-pinch has a magnetic field directed in the z direction and a large diamagnetic current directed in the θ direction. Using Ampère's circuital law (discarding the displacement term)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {B}}&=B_{z}(r){\hat {z}}\\\mu _{0}{\vec {J}}&=\nabla \times {\vec {B}}\\&={\frac {1}{r}}{\frac {d}{d\theta }}B_{z}(r){\hat {r}}-{\frac {d}{dr}}B_{z}(r){\hat {\theta }}\end{aligned}}}$

Since B is only a function of r we can simplify this to

${\displaystyle \mu _{0}{\vec {J}}=-{\frac {d}{dr}}B_{z}(r){\hat {\theta }}}$

So J points in the θ direction.

Thus, the equilibrium condition (${\displaystyle \nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} }$) for the θ-pinch reads:

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(p+{\frac {B_{z}^{2}}{2\mu _{0}}}\right)=0}$

θ-pinches tend to be resistant to plasma instabilities; This is due in part to Alfvén's theorem (also known as the frozen-in flux theorem).

The Z-pinch

Zピンチはθ方向に磁場を持ち、z方向に電流Jが流れています。ここでも、静電アンペールの法則により、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {B}}&=B_{\theta }(r){\hat {\theta }}\\\mu _{0}{\vec {J}}&=\nabla \times {\vec {B}}\\&={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\left(rB_{\theta }(r)\right){\hat {z}}-{\frac {d}{dz}}B_{\theta }(r){\hat {r}}\\&={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\left(rB_{\theta }(r)\right){\hat {z}}\end{aligned}}}$

したがって、平衡条件は、${\displaystyle \nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} }$Zピンチ操作の場合、読み方は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(p+{\frac {B_{\theta }^{2}}{2\mu _{0}}}\right)+{\frac {B_{\theta }^{2}}{\mu _{0}r}}=0}$

ZピンチはMHD平衡条件を満たすものの、これは不安定な平衡状態であり、m = 0不安定性（「ソーセージ」）、m = 1不安定性（「キンク」）、その他さまざまな高次不安定性などの不安定性を引き起こす。^{[ 52 ]}

一次元ピンチでよくある問題は、端部損失です。粒子の運動の大部分は磁場に沿っています。θピンチとスクリューピンチでは、これにより粒子が装置の端から非常に速く飛び出し、質量とエネルギーの損失につながります。この問題に加えて、Zピンチには大きな安定性の問題があります。磁気ミラーで粒子をある程度反射することはできますが、それでも多くの粒子が通過してしまいます。これらの端部損失を克服する一般的な方法は、円筒をトーラス状に曲げることです。残念ながら、これはθ対称性を破ります。トーラスの内側部分（内側側）の経路は、外側部分（外側側）の同様の経路よりも短くなるためです。したがって、新しい理論が必要になります。これが有名なGrad–Shafranov方程式を生み出します。Grad–Shafranov方程式の数値解は、いくつかの平衡状態も生み出しており、最も注目すべきは逆磁場ピンチの平衡状態です。

2015年現在3次元平衡に関する首尾一貫した解析理論は存在しない。このような平衡を見つける一般的なアプローチは、真空理想MHD方程式を解くことである。数値解はステラレータの設計を生み出してきた。一部の装置は、らせん対称性などの単純化技術を利用している（例えば、ウィスコンシン大学のHelically Symmetric eXperiment）。しかし、任意の3次元構成に対して、1次元構成と同様の平衡関係が存在する：^{[ 55 ]}

$\displaystyle \nabla _{\perp }\left(p+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)-{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}{\vec {\kappa }}=0}$

ここでκは曲率ベクトルであり、次のように定義される。

${\displaystyle {\vec {\kappa }}=\left({\vec {b}}\cdot \nabla \right){\vec {b}}}$

bはBに接する単位ベクトルである。

軸方向の電場を持つ、完全に電離した準中性プラズマの円筒柱を考えます。この電場は、軸方向の電流密度jと、それに伴う方位角方向の磁場Bを生成します。電流が自身の磁場を通過すると、内向きの半径方向の力密度jx Bを持つピンチが発生します。力が釣り合っている定常状態では、次のようになります。

${\displaystyle \nabla p=\nabla (p_{e}+p_{i})=\mathbf {j} \times \mathbf {B} }$

ここで、∇pは磁気圧力勾配、p _eとp _iはそれぞれ電子圧力とイオン圧力である。次に、マクスウェル方程式を用いると、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$理想気体の法則${\displaystyle p=nkT}$我々は以下を導き出す：

${\displaystyle 2Nk(Z_{i}T_{e}+T_{i})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I^{2}}$、

ここで、Nは軸に沿った単位長さあたりのイオン数、Z _iはイオンの電荷状態、T _eとT _iは電子とイオンの温度、Iは全ビーム電流、kはボルツマン定数である。

一般化されたベネット関係は、角周波数 ω で回転する電流を流す磁場に沿った円筒形プラズマピンチを考慮します。プラズマ円筒の軸に沿って電流密度 j _zが流れ、方位角磁場 Β _φが生じます。元々は Witalis によって導出された^{[ 58 ]}一般化されたベネット関係は次のようになります。^{[ 59 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\frac {\partial ^{2}J_{0}}{\partial t^{2}}}={}&W_{\perp {\text{kin}}}+\Delta W_{E_{z}}+\Delta W_{B_{z}}+\Delta W_{k}-{\frac {\mu _{0}}{8\pi }}I^{2}(a)\\[8pt]&{}-{\frac {1}{2}}G{\overline {m}}^{2}N^{2}(a)+{\frac {1}{2}}\pi a^{2}\epsilon _{0}\left(E_{r}^{2}(a)-E_{\phi }^{2}(a)\right)\\\end{aligned}}}$

• ここで、電流が流れ、磁場に沿って配置された円筒形プラズマの半径はa である。
• J ₀は z 軸に関する全慣性モーメントであり、
• W⊥kin_は、ビーム軸に垂直な方向のビーム運動による単位長さあたりの運動エネルギーである。
• W _{B z}は、単位長さあたりの自己無撞着な B _{zエネルギーである。}
• W _{E z}は、単位長さあたりの自己無撞着な E _{zエネルギーである。}
• Wk_は単位長さあたりの熱運動エネルギーである。
• I ( a )は半径a (図中のr )内の軸方向電流である。
• N ( a )は単位長さあたりの粒子の総数である。
• E _rは半径方向の電場である
• Eφ_は回転電場である

この式における正の項は膨張力を表し、負の項は梁の圧縮力を表す。

1988年にペル・カールクヴィストによって発表されたカールクヴィスト関係式^{[ 12 ]}は、運動圧力がピンチ部の境界で内部よりもかなり小さい場合の、一般化されたベネット関係式（上記）の特殊化である。その形式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{8\pi }}I^{2}(a)+{\frac {1}{2}}G{\overline {m}}^{2}N^{2}(a)=\Delta W_{B_{z}}+\Delta W_{k}}$

そして、多くの宇宙プラズマに適用可能である。

カールクヴィストの関係は、ベネットピンチにおける全電流 ( I ) と単位長さあたりの粒子数 ( N ) の関係として図示できます (右図参照)。この図は、物理的に異なる 4 つの領域を示しています。プラズマ温度は非常に低く ( T _i = T _e = T _n = 20 K)、主に水素を含み、平均粒子質量は 3×10 ⁻²⁷ kg です。熱運動エネルギーW _k >> πa ² p _k (a)。曲線 ΔW _{Bz は}、軸方向磁場 B _zによる単位長さあたりの過剰磁気エネルギーの異なる量を示しています。プラズマは非回転であると仮定され、端部での運動圧力は内部よりもはるかに小さいです。

図の領域: (a) 左上の領域では、挟み込み力が支配的です。(b) 下に向かうにつれて、外向きの運動圧力と内向きの磁気圧力が釣り合い、全体の圧力は一定になります。(c) 垂直線 Δ W _{B z}  = 0 の右側では、磁気圧力が重力圧力と釣り合い、挟み込み力は無視できます。(d) 傾斜曲線 Δ W _{B z} = 0 の左側では、重力は無視できます。この図はカールクヴィスト関係の特殊なケースを示しており、より一般的なベネット関係に置き換えると、図の指定された領域は有効ではなくなることに注意してください。  

Carlqvistはさらに、上記の関係と導関数を用いることで、ベネットピンチ、ジーンズ基準（重力不安定性^{[ 60 ]} 、 1次元および2次元）、力のない磁場、重力的に平衡した磁気圧力、およびこれらの状態間の連続的な遷移を記述できることを指摘している。