光子統計

光子統計学とは、光検出器を用いて光源中の光子の本質的な統計的性質を分析する光子計数実験において生成される統計分布を理論的および実験的に研究する学問である。これらの実験では、光検出器に入射した光によって光電子が生成され、カウンターが電気パルスを記録することで光子数の統計分布が得られる。低強度の異なる光源であっても、検出過程で生成される対応する統計分布によって区別することができる。

光源の特性に応じて、統計分布の 3 つのレジームが得られます。ポアソン分布、スーパーポアソン分布、サブポアソン分布です。^{[ 1 ]} これらのレジームは、対応する分布の分散と平均光子カウント数の関係によって定義されます。ポアソン分布とスーパーポアソン分布の光は、光源を電磁波としてモデル化し、原子を量子力学に従ってモデル化する半古典理論で記述できます。対照的に、サブポアソン分布の光は、適切に記述するために電磁場の量子化を必要とするため、光の粒子性を直接測定します。

古典電磁気理論では、一定の強度を持つ理想的な光源は、空間的にも時間的にもコヒーレントな単一周波数の電磁波によってモデル化できます。このような光源は、^{[ 1 ]によってモデル化できます。}

${\displaystyle E(x,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t+\phi )}$

どこ${\displaystyle \omega }$は電界の周波数であり、${\displaystyle \phi }$これは時間に依存しない位相シフトである。

量子力学における類似物はコヒーレント状態である^{[ 1 ]}

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\alpha }^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{\frac {{-\left\vert {\alpha }\right\vert }^{2}}{2}}|n\rangle }$

コヒーレント状態をフォック状態に投影することで${\displaystyle |n\rangle }$確率を求めることができます${\displaystyle P_{n}}$発見すること${\displaystyle n}$ボルンの規則を用いた光子は、

${\displaystyle P_{n}={\frac {{\left\vert \alpha \right\vert }^{2n}}{n!}}e^{{-\left\vert \alpha \right\vert }^{2}}={\frac {{\langle n\rangle }^{n}}{n!}}e^{-\langle n\rangle }}$

上記の結果は分散を持つポアソン分布です。${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle }$これは、コヒーレント状態の明確な特徴である。

超ポアソン統計に従う光は、分散を持つ統計分布を示す。${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$超ポアソン統計を示す光の一例として、熱光が挙げられます。熱光の強度はランダムに変動し、その変動によって超ポアソン統計が生じます。これは、強度変動の分布を計算することで以下のように示されます。^{[ 2 ]}強度分布と、光検出器によって記録される光子カウント数の確率を表すマンデルの式^{[ 3 ]}を組み合わせることで、熱光中の光子の統計分布を得ることができます。

熱光は、${\displaystyle N}$調和振動子。${\displaystyle j}$第 1 番目の発振器は電磁場を放出する${\displaystyle E_{j}(t)=E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$フェーズ付き${\displaystyle \phi _{j}(t)}$場の重ね合わせの理論を用いると、${\displaystyle N}$発振器は

${\displaystyle E(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{j}(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$

合計インデックスとは無関係な変数をすべて抽出した後${\displaystyle j}$ランダムな複素振幅は次のように定義できます。

${\displaystyle \beta (t)=\sum _{j=1}^{N}e^{i\phi _{j}(t)}=b(t)e^{i\Phi (t)}}$

どこ${\displaystyle \beta (t)}$その規模の観​​点から書き直された${\displaystyle b(t)=\left\vert \beta \right\vert }$およびその段階${\displaystyle e^{i\Phi (t)}}$発振器は無相関であるため、重ね合わせた場の位相はランダムになります。したがって、複素振幅は${\displaystyle \beta (t)}$は確率変数です。これは、熱光の強度変動をモデル化した発振器の無相関位相の合計を表します。複素平面上では、 の2次元ランダムウォーカーを表します。${\displaystyle N}$実行された手順を表します。${\displaystyle N}$ランダムウォーカーはガウス確率分布を持つ。したがって、複素確率変数の実部と虚部の同時確率分布は次のようになる。${\displaystyle \beta (t)}$次のように表すことができます。

${\displaystyle p(\beta (t))=\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Re(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Im(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-\left({Re(\beta (t))}^{2}+{Im(\beta (t))}^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

後${\displaystyle N}$ステップごとに、半径の二乗の期待値は${\displaystyle \langle {\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =2\sigma ^{2}=N}$期待値${\displaystyle \langle \left\vert \beta (t)\right\vert \rangle =0}$これは、すべての方向が等しく起こりうると考えることができます。確率分布を次のように書き換えると、${\displaystyle N}$結果として

${\displaystyle p(\beta (t))={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}}$

上記の確率分布を用いることで、電場の平均強度を求めることができます（分かりやすさのためにいくつかの定数は省略しています）。

${\displaystyle \langle I(t)\rangle =\langle E^{*}(t)E(t)\rangle }$

${\displaystyle ={E_{0}}^{2}{\langle \left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =N{E_{0}}^{2}}$

電場の瞬間的な強度${\displaystyle I(t)}$は

${\displaystyle I(t)=E^{*}(t)E(t)=E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}$

電場、ひいてはその強度は確率的な複素変数に依存するため${\displaystyle \beta (t)}$強度が中間値になる確率${\displaystyle I}$そして${\displaystyle I+dI}$は

${\displaystyle p(I(t))dI=p(I(\beta (t)))d^{2}\beta }$

どこ$d^2\beta }$は複素平面上の微小要素です。この微小要素は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle d^{2}\beta =2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert d\left\vert \beta (t)\right\vert }$

上記の強度分布は次のように表すことができます。

${\displaystyle p(I(t))=p(\left\vert \beta (t)\right\vert )2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left({\frac {dI}{d\left\vert \beta (t)\right\vert }}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left(2E_{0}^{2}\left\vert \beta (t)\right\vert \right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{NE_{0}^{2}}}e^{\frac {-E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{NE_{0}^{2}}}={\frac {1}{\langle I(t)\rangle }}e^{\frac {-I(t)}{\langle I(t)\rangle }}}$

この最後の式は、熱光の強度分布を表しています。熱光が超ポアソン統計の分散条件を満たすことを示す最後のステップは、マンデルの公式を使用することです。^{[ 3 ]}この公式は、n個の光子数を観測する確率を表し、次のように与えられます。

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}P(I)dI}$

その要因${\displaystyle \epsilon ={\frac {\eta }{h\nu }}}$どこ${\displaystyle \eta }$量子効率は光子カウンターの効率を表します。理想的な検出器は${\displaystyle \eta =1}$。 ${\displaystyle I}$は光検出器の領域 A に入射する強度であり、^{[ 4 ]で与えられる。}

${\displaystyle I=\iint \limits _{A}\int _{t}^{t+\tau }\,I(x,y,t')dt'\,dx\,dy}$

P(I)に熱光の強度確率分布を代入すると、マンデルの式は次のようになる。

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}{\frac {e^{\frac {-I}{\langle I\rangle }}}{\langle I\rangle }}dI={\frac {{\epsilon }^{n}}{n!\langle I\rangle }}\int _{0}^{\infty }{I}^{n}e^{-\left(\epsilon +{\frac {1}{\langle I\rangle }}\right)I}dI}$

積分を評価するには、次の式を使用します。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\quad \left(n=0,1,2,..a>0\right)}$

熱光源からのn個の光子カウントの確率分布は次のとおりである。

${\displaystyle P(n)={\frac {1}{\left(\langle n\rangle +1\right)}}{\left({\frac {\langle n\rangle }{\langle n\rangle +1}}\right)}^{n}}$

どこ${\displaystyle \langle n\rangle =\epsilon I}$は平均カウント数です。この最後の分布はボーズ・アインシュタイン分布として知られています。この分布の分散は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle +{\langle n\rangle }^{2}}$

コヒーレント光源のポアソン分布とは対照的に、ボーズ・アインシュタイン分布は ${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$熱光の特性。

サブポアソン統計によって支配される光は、古典的な電磁気理論では記述できず、次のように定義される。 ${\displaystyle {\Delta n}^{2}<\langle n\rangle }$[ ^{1 ]超高速光検出器の登場により、}光のサブポアソン性を測定することが可能になった。サブポアソン統計を示す光の例として、スクイーズド光がある。最近、研究者らは、共鳴蛍光を示す量子ドットでサブポアソン光を誘起できることを示した。^{[ 5 ]}光のサブポアソン構造を測定するために使用される技術は、ホモダイン強度相関方式である。^{[ 6 ]}この方式では、局部発振器と信号場がビームスプリッターを介して重ね合わされる。重ね合わされた光は、別のビームスプリッターによって分割され、各信号は相関器に接続された個別の光検出器によって記録され、そこから強度相関を測定できる。 ^{[ 5 ]}で示されたように、負の強度相関を得ることで、光のサブポアソン性の証拠が示される。