古応力反転

古応力逆解析とは、過去の地殻変動による応力が岩石に痕跡を残しているはずだという原理に基づき、岩石に見つかった証拠から古応力の履歴を判定することです。 ^[1]このような関係は長年にわたる現地調査で発見されており、変形構造の定性的および定量的な分析は、一連の地殻変動によって制御される古応力場の分布と変容を理解するのに役立ちます。 ^{[2]変形は、岩石の}レオロジー、応力の方向と大きさなどに応じて、微視的規模から地域的規模まで、脆性挙動から延性挙動までさまざまです。したがって、露頭や薄片での詳細な観察は、古応力の軌跡を再構築する上で重要です。

逆解析では、複雑な地質学的プロセスを単純化するために仮定が必要である。断層のある岩盤の応力場は空間的に均一であり、その地域で断層が発生した期間にわたって時間的に安定していると仮定される。言い換えれば、小規模応力場の変動では、局所的な断層滑りの影響は無視される。さらに、既知の応力場から断層面に分解された最大せん断応力と各断層面の滑りは同じ方向と大きさである。^{[3] 1950年代にウォレス[4]}とボット^[5]によってこの方法が初めて導入されて以来、同様の仮定が数十年にわたって使用されてきた。

アンダーソン^{[6] [7]}は、古応力の解釈に共役断層系を初めて利用した人物であり、これにはあらゆる種類の共役断層（正断層、逆断層、横ずれ断層）が含まれます。広域共役断層は、よく知られている岩石力学実験、すなわち一軸圧縮強度（UCS）試験と比較することでよりよく理解できます。メカニズムの基本は似ていますが、適用される主応力方向が地面に対して垂直から平行に回転します。共役断層モデルは、上部脆性地殻にそのような構造が豊富にあるため、応力軸のおおよその方向を取得する簡単な方法です。そのため、さまざまな構造設定で、および他の変形構造との相関関係によって、他の研究者によって多くの研究が行われてきました。^[8]

しかしながら、さらに開発を進めると、このモデルには 欠陥があることが明らかになりました。

1. 実際の状況では欠けている重要な幾何学的特性

共役断層の幾何学的特性は応力の方向を示すものですが、実際の断層パターンには現れない場合があります。

• 断層面の交差に垂直なスリッケンサイドの線状構造
• 伸びる方向に鈍角を与える対称的な運動感覚
• 断層面の交差角度と力学特性の関係（実験室での岩石力学実験からの情報を参照）

2. 観測された断層パターンははるかに複雑である

共役断層群に属さない、断層すべりに対して斜めの既存の断層、弱点面、または条線が存在することがよくあります。この膨大な量のデータを無視すると、解析でエラーが発生します。

3. 応力比（Φ）を無視する

この比率は中間応力 (σ ₂ ) の相対的な大きさを示し、応力楕円体の形状を決定します。ただし、このモデルでは、特定のケースを除いて、比率については説明されていません。

この方法は、断層面上で発生するすべりの方向と方向が最大分解せん断応力の方向と方向と同じであるという仮定に基づいて、1959年にボット^{[5]によって確立されました。したがって、多数の断層上の既知の方向と動きの方向により、特定の解T（低減応力テンソル）が得られます。 [5]}これは、共役断層系よりも包括的で正確な結果をもたらし、古応力軸を再構築し、応力比（Φ）を決定します。テンソルは、断層の観測（断層の姿勢と断層面上の線構造、すべりの方向と方向、およびその他の張力破壊）の数学的計算を通じて、4つの独立した未知数（3つの主軸とΦ）を解くことによって機能します。

この方法は、次の 4 つの厳格な手順に従います。

1. データ分析
2. 低減応力テンソルの計算
3. 最小化
4. 結果の確認

古応力の再構築では、正確性を得るために大量のデータが必要となるため、分析の前にデータをわかりやすい形式で整理することが不可欠です。

1) 断層分布の形状

断層面と地表層の姿勢はローズ ダイアグラム上にプロットされ、形状が見えるようになっています。これはサンプル サイズが非常に大きい場合に特に役立ち、関心領域の全体像を提供します。

2) 断層の動き

断層の動きは、測定された傾斜と傾向との三角関係によって、垂直横断、水平横断、および横方向の 3 つの要素 (3D の場合と同様) に分解されます。正味の滑りがより明確に表示され、変形を理解するための道が開かれます。

3) 個々の断層形状

断層面はステレオネット（等面積下半球投影）の線で表され、断層面の傾斜は線上の点で示されます。これは、個々の断層の幾何学的分布と対称性を視覚化するのに役立ちます。

4) P （圧力）とT （張力）の二面体^[9]

これは、すべてのデータをコンパイルし、それらの機械的適合性を確認する最終ステップであり、主要な古応力方向を決定するための予備ステップとも見ることができます。これは、断層の形状 (二面体の境界) と滑り方向 (短縮方向は黒で示され、延長方向は灰色で示される) の単純なグラフィカル表現であり、主応力軸の方向に適切な制約を提供できます。

_{この近似は、最大主応力 (σ 1} )の方向が、最も多くの P 象限を通過する可能性が高いという仮定に基づいています。この方法では、断層面と条線に垂直な補助面は同じであると見なされるため、モデルを地震の震源メカニズムに直接適用できます。ただし、同じ理由により、この方法では、古応力や応力比を正確に決定することはできません。

応力テンソルは、点に作用する 9 つの応力ベクトルである 9 つの成分を持つ行列として考えることができます。対角線に沿った 3 つのベクトル (茶色で強調表示) は主軸を表します。

 ${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\begin{matrix}\color {Brown}{\sigma _{11}}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\color {Brown}{\sigma _{22}}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\color {Brown}{\sigma _{33}}\end{matrix}}\right)}$

縮小応力テンソルは、3 つの主軸と応力比を決定するための数学的計算手法であり、合計 4 つの独立した未知数はそれぞれ固有ベクトルと固有値として計算されるため、この方法は前述のグラフィカル手法よりも完全かつ正確です。

同じ最終結果に到達できるものの、独特の特徴を持つ処方がいくつかあります。

（１）、  ${\displaystyle T_{\phi }=\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\color {RubineRed}{1}&0&0\\0&\color {RubineRed}{\Phi }&0\\0&0&\color {RubineRed}{0}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right)}$

ここで、となる。^[10]このテンソルは、σ ₁、σ ₂、σ _{3 を}それぞれ 1、Φ、0（ピンク色で強調表示）に設定することによって定義される。これは、縮小モードとしておよびを選択することによって行われる。この定式化の利点は、応力の向き、つまり応力楕円体と応力比に直接対応していることである。 ${\displaystyle {\text{stress ratio: }}\Phi ={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{\sigma _{1}-\sigma _{3}}}}$${\displaystyle 0\leq \phi \leq 1}$${\displaystyle m=(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{-1}}$${\displaystyle n=-m\sigma _{3}}$

（２） ${\displaystyle T_{\psi }=\left({\begin{matrix}cos\psi &\alpha &\gamma \\\alpha &cos(\psi +{\frac {2\pi }{3}})&\beta \\\gamma &\beta &cos(\psi +{\frac {4\pi }{3}})\end{matrix}}\right)}$

この定式化は偏差値であり、数学的な文脈では対称性を維持しているにもかかわらず、応力楕円体の情報を得るためにより多くの計算を必要とする。^[11]

最小化は、最小二乗最小化を実行する関数を選択して、断層面の計算された滑り方向と観測された滑り方向の差を減らすことを目的としています。関数の例をいくつか示します。

（１） ${\displaystyle S_{1}=\sum ({\vec {s}}_{k},{\vec {\tau }}_{k})^{2}}$

断層すべり解析で使用される最初の関数は、個々のすべりの感覚を考慮していないため、単一のすべりの感覚を変更しても結果には影響しません。^[12]しかし、個々の動きの感覚は、実際の状況での応力軸の方向を効果的に反映しています。したがって、S _1は最も単純な関数ですが、個々のすべりの感覚の重要性を考慮しています。

（２） ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}S_{2}&=\sum \sin ^{2}{\frac {({\vec {s}}_{k},{\vec {\tau }}_{k})}{2}}\\&={\frac {1}{4}}\sum {\left|{\vec {s}}_{k}-{\frac {{\vec {\tau }}_{k}}{\left|{\vec {\tau }}_{k}\right\vert \quad }}\right\vert }^{2}\\\end{alignedat}}}$

S _{2 は}、計算プロセスの変化に基づいて S ₁から導出されます。

（３） ${\displaystyle S_{3}=\sum \min[\tan ^{2}({\vec {s}}_{k},{\vec {\tau }}_{k})^{2},1]}$

S _{3 は}、2 つの点で以前のモデルの改良版です。特にこのような長い反復プロセスで重要な計算効率に関しては、角度の正接が余弦よりも優先されます。さらに、異常なデータ (別のイベントによって開始された障害、データ収集のエラーなど) を処理するために、角度の関数の値の上限を設定して、逸脱したデータをフィルター処理できます。

（4） ${\displaystyle S_{4}=\sum {\left|{\vec {s}}_{k},{\vec {\tau }}_{k}\right\vert }^{2}}$

S _{4 は、}せん断応力に平行な単位ベクトルが予測せん断応力に置き換えられていることを除いて、 S ₂と似ています。したがって、その物理的な意味はあまり正当化されていませんが、他の方法と同様の結果が生成されます。

縮約応力テンソルは、岩盤内の多様な断層面における観測された方向と動きの方向を最もよく（完璧とは言えないが）説明するはずである。したがって、縮約応力テンソルから古応力を解釈する基本原理を再検討すると、岩盤内のすべての断層滑りが共通の応力テンソルによって均一に誘発されるという仮定が認識される。これは、岩盤内の応力方向と比率 Φ の変化が見落とされがちだが、実際のケースでは、あらゆる規模の不連続面間の相互作用により常に存在することを意味している。

したがって、この効果の重要性は、測定されたスリックサイドの線構造と理論的なせん断応力の差というパラメータを考慮して、この方法の妥当性をテストするために調べられなければならない。平均角度偏差は、ほとんどの場合、機器（測定ツール）と観測（断層面と条線の凹凸）の誤差の合計と比較すると重要ではない。^[11]

結論として、縮減応力テンソル法は、

1. サンプルサイズが大きく代表的である（断層の方向が一定範囲である均質なデータセット）
2. 動きの感覚が注目される、
3. 関数を選択する際には角度差の最小化が重視される（上記のセクションで述べたとおり）。
4. 厳密な計算が行われます。

定量分析は、慎重な定性的な現場観察なしには成り立ちません。上記の分析は、古応力システムの数、連続応力パターンの時系列など、全体的な地質学的枠組みを理解した上で実施する必要があります。また、結果を正当化するには、スタイロライトや張力断裂などの他の応力マーカーとの一貫性も必要です。

• スコットランド北西部、モイン断層帯西のカンブリア紀エリボル層砂岩^[13]
• バイカル湖地域、中央アジア^[14]
• アルプスの丘陵地帯、中央北部スイス^[15]

ピエゾメーターは、あらゆる規模の岩石のひずみから圧力 (無方向性) または応力 (方向性) を測定するのに使用される機器です。古応力反転原理を参照すると、応力を受けている岩石塊は、マクロスケールとミクロスケールの両方でひずみを示すはずですが、後者は粒界( 10 ² μm未満の結晶粒間の境界) に見られます。ひずみは、動的再結晶 (DRX) などのさまざまなメカニズムを通じて、粒度、粒の方向、または結晶欠陥の移動の変化から明らかになります。

これらのメカニズムは主に流動応力に依存し、その結果生じる変形は安定しているため、歪んだ粒径や粒界は、地殻剪断帯、造山帯、上部マントルなどの地殻活動が活発な地域では古応力の指標としてよく使用されます。^[16]

動的再結晶は、せん断設定における結晶粒度の減少に重要なメカニズムの1つである。^[17] DRXは核生成と成長のプロセスとして定義される。

• 局所粒界隆起（BLG） （核形成のメカニズム）
• 亜結晶粒回転（SGR） （核形成のメカニズム）
• 粒界移動（GBM） （粒成長 のメカニズム）、

変形には、これらがすべて存在します。この証拠は、延性せん断帯の典型的な圧電計である石英によく見られます。光学顕微鏡と透過型電子顕微鏡 (TEM) は、通常、サブグレイン回転と局所的な粒界の膨らみの連続的な発生を観察し、再結晶した粒子のサイズを測定するために使用されます。核形成プロセスは、材料が特定の臨界値まで変形された場合にのみ、既存の粒子の境界でトリガーされます。

粒界の膨らみは、既存の粒子を犠牲にして核が成長し、その後「ネックレス」構造が形成されるプロセスです。

サブグレイン回転は、大きな粒成長を伴わないその場再結晶としても知られています。このプロセスはひずみ履歴を通じて着実に発生するため、配向の変化は漸進的ではありますが、粒界の膨らみのように急激ではありません。

したがって、粒界の膨らみと亜結晶粒の回転は、それぞれ不連続な動的再結晶と連続的な動的再結晶として区別されます。

粒度ピエゾメトリーの理論的基礎は、1970年代後半にロバート・J・トウィスによって初めて確立されました。^[18]自由転位エネルギーと粒界エネルギーを比較することで、彼はサブグレインサイズに適用可能な静的エネルギーバランスモデルを導きました。この関係は、さまざまな材料に普遍的な、 粒度の正規化された値と流動応力の間の経験式によって表されています。

${\displaystyle {\frac {d}{b}}=K\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{-p}}$、

dは平均粒径である。

bはバーガースベクトルの長さです。

K は無次元の温度依存定数であり、通常は 10 のオーダーです。

μはせん断弾性係数である。

σ は流れ応力です。

このモデルは、動的再結晶で見られる微細構造の持続的に変化する性質を考慮していないため、再結晶した粒径を決定できないため、後者のモデルが採用されました。

以前のモデルとは異なり、これらのモデルでは個々の粒子のサイズが時間的および空間的に変化することを考慮し、核形成と粒子成長の平衡から平均粒子サイズを導き出します。粒子サイズのスケーリング関係は次のとおりです。

${\displaystyle {\hat {d}}=a\left({\frac {\dot {R}}{I}}\right)^{1/4}}$、

ここで、d は対数粒径のモード、I は単位体積あたりの核生成速度、a はスケーリング係数です。この基本理論に基づいて、詳細についてはまだ多くの議論があり、モデルの仮定に反映されているため、さまざまな修正が行われています。

ダービー・アシュビーモデル^[19]

ダービーとアシュビーは、核形成速度 (I _gb ) を決定する際に粒界での境界膨らみ核形成を考慮しましたが、これは以前のモデルで示唆された結晶内核形成とは反対です。したがって、このモデルは不連続 DRX (DDRX) の 微細構造を説明します。

${\displaystyle {\frac {d}{b}}=B\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{-p}\exp \left(-{\frac {\Delta Q}{mRT}}\right)}$。

清水モデル^[20]

連続 DRX (CDRX) におけるサブグレイン回転核形成が核形成速度に考慮されるべきであるという対照的な仮定のため、清水は別のモデルを考案し、これも実験室でテストされました。

${\displaystyle {\frac {d}{b}}={\tilde {B}}\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{-p}\left({\frac {wD_{gb}}{bD_{v}}}\right)^{\frac {1}{m}}}$。

フィールド境界モデル^[21]

上記のモデルでは、特に動的再結晶によって粒径が大幅に減少する場合の重要な要素の 1 つが無視されています。粒子が十分に小さい場合、表面エネルギーがより重要になり、クリープ機構が転位クリープから拡散クリープに変換され、粒子が成長し始めます。したがって、これら 2 つのクリープ機構のフィールド間の境界領域を決定することは、上記のモデルを補足するように、再結晶粒径が安定する傾向があることを知るために重要です。^{[21]このモデルと以前の}核生成および成長モデルとの違いは、仮定にあります。フィールド境界モデルでは、粒径は転位クリープフィールドで減少し、拡散クリープフィールドで拡大すると仮定しますが、以前のモデルではそうではありません。

石英は地殻に豊富に存在し、地殻深部の変形条件に敏感なクリープ微細構造を持っています。流動応力の大きさを推測する前に、鉱物を実験室で慎重に較正する必要があります。石英は、局所的な粒界移動（転位クリープ）、亜結晶粒回転（SGR）、およびこれら2つの組み合わせ、および異なる粒径など、さまざまな再結晶メカニズム中に、異なるピエゾメーター関係を示すことがわかっています。 ^[22]

粒度ピエゾメーターに使用される他の一般的な鉱物には方解石と岩塩があり、これらは構造形成時の変形や手動による高温クリープを経ており、異なる再結晶メカニズムに対するピエゾメーターの関係の違いも示しています。^[22]

• Angelier, J., 1994, 「断層滑り解析と古応力再構築」。Hancock, PL (ed.)、Continental Deformation。Pergamon、オックスフォード、p. 101–120。
• Célérier, B., Etchecopar, A., Bergerat, F., Vergely, P., Arthaud, F., Laurent, P., 2012.断層からの応力推定：初期の概念から逆解析法まで。テクトノフィジックス、地殻応力、断層破壊、断層帯：ジャック・アンジェリエの遺産581、206–219。
• パスカル、C.、2021年。『古応力逆解析技術：テクトニクスのための方法と応用』、エルゼビア、400ページ。https://www.elsevier.com/books/paleostress-inversion-techniques/pascal/978-0-12-811910-5
• Ramsay, JG, Lisle, RJ, 2000. 現代構造地質学の技術。第 3 巻:構造地質学における連続体力学の応用(セッション 32: 断層滑り解析と応力テンソル計算)、Academic Press、ロンドン。
• 山地 明、2007. テクトノフィジックス入門：構造地質学の理論的側面（第11章：断層からの応力の測定）、テラパブ、東京。http://www.terrapub.co.jp/e-library/yamaji/