一対比較（心理学）

一対比較とは、一般的に、エンティティを一対で比較して、各エンティティのどちらが好まれるか、または何らかの定量的特性がより多くあるか、あるいは 2 つのエンティティが同一であるかどうかを決定するプロセスです。一対比較の方法は、選好、態度、投票システム、社会的選択、公共選択、要件エンジニアリング、マルチエージェント AI システムなどの科学的研究で使用されます。心理学の文献では、一対比較と呼ばれることがよくあります。

著名な心理測定学者 L. L. サーストンは、 1927 年に初めて、測定に一対比較を使用する科学的アプローチを導入しました。彼はこれを比較判断の法則と呼びました。サーストンは、このアプローチをエルンスト ハインリヒ ウェーバーとグスタフ フェヒナーが開発した心理物理学理論に結び付けました。サーストンは、この方法を使用して、間隔型スケールを使用して、好みや重要性などの次元に沿って項目を順序付けできることを実証しました。

数学者エルンスト・ツェルメロ(1929) は、不完全なトーナメントにおけるチェスのランキングのペア比較モデルを初めて説明しました。このモデルは、 Elo レーティング システムなどの方法の基礎 (しばらくは認められませんでしたが) となり、 1952 年に提案された ブラッドリー・テリー モデルと同等です。

個人または組織が 2 つの相互に異なる選択肢の間で好みを表明する場合、この好みは一対比較として表現できます。2 つの選択肢がxとyの場合、次のような一対比較が可能です。

エージェントはyよりもxを優先します: " x  >  y " または " xPy "

エージェントはxよりもy を優先します: " y  >  x " または " yPx "

エージェントは両方の選択肢に無関心です: 「x  =  y」または「xIy」

現代の心理測定理論の確率モデルでは、サーストンのアプローチ（比較判断の法則とも呼ばれる）やブラッドリー・テリー・ルース（BTL）モデル、一般確率推移モデル^[1]などの方が測定モデルとしてより適切にみなされています。ブラッドリー・テリー・ルース（BTL）モデルは、選好を尺度とする一対比較データによく適用されます。単純ロジスティック関数が使用される場合、BTLモデルはサーストンのモデルと同一です。サーストンは、モデルの適用に正規分布を使用しました。任意のスケール係数が与えられた場合、単純ロジスティック関数は、範囲全体にわたって 累積正規分布からの変動が0.01未満です。

BTL モデルでは、オブジェクトj がオブジェクトiよりも多くの属性を持つと判断される確率は次のようになります。

${\displaystyle \Pr\{X_{ji}=1\}={\frac {e^{{\delta _{j}}-{\delta _{i}}}}{1+e^{{\デルタ _{j}}-{\デルタ _{i}}}}}=\シグマ (\デルタ _{j}-\デルタ _{i}),}$

ここで、 はオブジェクト のスケール位置、はロジスティック関数(ロジットの逆関数)です。たとえば、スケール位置は、製品の知覚品質やオブジェクトの知覚重量を表す場合があります。 ${\displaystyle \delta_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \sigma}$

BTL モデル、サーストン モデル、および測定のためのラッシュ モデルはすべて密接に関連しており、同じ確率的推移性のクラスに属します。

サーストンは、物理的刺激、態度、好み、選択、価値観の知覚強度を測定する方法として、一対比較法を使用しました。また、世論調査や政治投票のために開発した理論の影響についても研究しました (Thurstone、1959)。

特定の意思決定エージェントの場合、エージェントが使用する情報、目的、および選択肢が一定であれば、意思決定エージェントによるそれらの選択肢のペア比較は推移的であると一般に想定されます。推移性が何であるかについてはほとんどの人が同意していますが、無関心の推移性については議論があります。特定の意思決定エージェントに対する推移性のルールは次のとおりです。

• xPyとyPzならxPz
• xPyとyIzならxPz
• xIyとyPzならxPz
• xIyとyIzならxIz

これは、(xPyまたはxIy)が全前順序、Pが対応する厳密な弱順序、Iが対応する同値関係であることに対応します。

確率モデルは、推移性の確率的変種も生み出します。これらはすべて、エンティティのスケール位置の推定値の誤差の範囲内で (非確率的) 推移性を満たすことが検証できます。したがって、確率モデルを適用するために、決定が決定論的に推移的である必要はありません。ただし、BTL などのモデルを効果的に適用できる場合、推移性は一般に多数の比較に当てはまります。

推移性検定^[2]を使用すると、一対比較のデータ セットに偶然に予想されるよりも高い推移性が含まれているかどうかを調べることができます。

無関心は推移的ではないと主張する人もいます。次の例を考えてみましょう。リンゴが好きで、大きいリンゴのほうが好きだとします。次に、次の点を除いて同一の本質的特徴を持つリンゴ A、リンゴ B、リンゴ C があるとします。B は A より大きいが、非常に敏感なスケールがなければ識別できないとします。さらに、C は B より大きいが、これも非常に敏感なスケールがなければ識別できないとします。ただし、リンゴ A と C のサイズの違いは十分に大きいため、敏感なスケールがなくても C が A より大きいことが識別できます。心理物理学的には、A と C のサイズの違いは適正差('jnd') を超えていますが、A と B および B と C のサイズの違いは jnd を下回っています。

あなたは、感覚的な尺度を利用せずに、3 つのリンゴをペアで提示されます。したがって、A と B だけを提示された場合、リンゴ A とリンゴ B のどちらにも無関心になります。また、B と C だけを提示された場合、リンゴ B とリンゴ C のどちらにも無関心になります。しかし、A と C のペアが提示された場合、あなたは A よりも C を好みます。

ペアワイズ比較が実際に前述の 4 つのルールに関して推移的である場合、選択肢のリスト ( A ₁、  A ₂、  A ₃、...、  A _{n −1}、およびA _n ) のペアワイズ比較は次の形式を取ることができます。

A ₁ (> XOR =) A ₂ (> XOR =) A ₃ (> XOR =) ... (> XOR =) A _{n −1} (> XOR =) A _n

たとえば、a、b、c の3 つの選択肢がある場合、可能な優先順位は次のようになります。

• ${\displaystyle a>b>c}$
• ${\displaystyle a>c>b}$
• ${\displaystyle b>a>c}$
• ${\displaystyle b>c>a}$
• ${\displaystyle c>a>b}$
• ${\displaystyle c>b>a}$
• ${\displaystyle a>b=c}$
• ${\displaystyle b=c>a}$
• ${\displaystyle b>a=c}$
• ${\displaystyle a=c>b}$
• ${\displaystyle c>a=b}$
• ${\displaystyle a=b>c}$
• ${\displaystyle a=b=c}$

選択肢の数が n で、無差別が許可されていない場合、任意のn値 に対して可能な優先順序の数はnです。無差別が許可されている場合、可能な優先順序の数は合計事前順序の数です。これは n の関数として表すことができます。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k!S_{2}(n,k),}$

ここでS2 ( n ,  k )は_第2種スターリング数である。

ペア比較の重要な応用例の1つは、広く使用されている階層分析プロセスです。これは、複雑な意思決定を支援するための構造化された手法です。有形および無形の要因のペア比較を使用して、重要な意思決定に役立つ比率スケールを構築します。^{[3] [4]}

もう一つの重要な応用は、すべての可能な代替案の潜在的すべてのペアワイズランキング（PAPRIKA）法です。^[5]この方法では、意思決定者が、トレードオフを含む2つの基準または属性で定義された代替案を、ペアワイズで繰り返し比較してランク付けし、その後、意思決定者が続行することを選択した場合は、連続してより多くの基準で定義された代替案のペアワイズ比較を行います。ペアワイズランキングから、重みとして表される、意思決定者にとっての基準の相対的な重要性が決定されます。

• 階層分析法（AHP）
• 比較判断の法則
• あらゆる可能性のある選択肢のペアワイズランキング（PAPRIKA）法
• PROMETHEEペアワイズ比較法
• 好み（経済）
• 確率的推移性
• コンドルセ法

• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A000142 (階乗数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A000670 (n 個のラベル付き要素の優先配置数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS財団。
• Y. Chevaleyre、PE Dunne、U. Endriss、J. Lang、M. Lemaître、N. Maudet、J. Padget、S. Phelps、JA Rodríguez-Aguilar、P. Sousa。マルチエージェントのリソース割り当ての問題。インフォマティカ、30:3–31、2006 年。

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• サーストン、LL（1959）。『価値の測定』シカゴ：シカゴ大学出版局。
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