製品数値範囲

テンソル積構造を持つヒルベルト空間が与えられた場合、積数値範囲は積ベクトルの部分集合に関する数値範囲として定義される。特に量子力学の文脈では、積数値範囲は局所数値範囲として知られている。

次元ヒルベルト空間に作用する演算子をとします。をその数値範囲、つまりを満たす正規化状態 が存在するようなすべての の集合とします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}}$${\displaystyle \mathrm {\Lambda } (X)}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle {|\psi \rangle }\in {\mathcal {H}}_{N}}$${\displaystyle ||\psi ||=1}$${\displaystyle {\langle \psi |}X{|\psi \rangle }=\lambda }$

テンソル積構造を持つ合成ヒルベルト空間に作用する演算子についても、同様の概念を定義できます。まず、合成次元 の二部ヒルベルト空間を考えます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}={\mathcal {H}}_{K}\otimes {\mathcal {H}}_{M},}$${\displaystyle N=KM}$

を合成ヒルベルト空間に作用する演算子とします。のテンソル積構造に対するの積数値範囲を と定義します。ここで、 および は正規化されています。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(X\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}}$${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(X\right)=\left\{{\langle \psi _{A}\otimes \psi _{B}|}X{|\psi _{A}\otimes \psi _{B}\rangle }:{|\psi _{A}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{K},{|\psi _{B}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{M}\right\},}$${\displaystyle {|\psi _{A}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{K}}$${\displaystyle {|\psi _{B}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{M}}$

をテンソル積ヒルベルト空間とする。このテンソル積構造に関して、の積数値半径を次のように定義する。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}={\mathcal {H}}_{K}\otimes {\mathcal {H}}_{M}}$ ${\displaystyle r^{\otimes }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r^{\otimes }(X)=\max\{|z|:z\in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(X\right)\}.}$

与えられた演算子の数値範囲の概念は「値の体」とも呼ばれ、過去数十年間に広く研究され、量子論におけるその有用性が強調されてきました。数値範囲の一般化はいくつか知られています。特に、マーカスは「分解可能な数値範囲」という概念を導入しましたが、その特性は非常に興味深いものです。

積の数値範囲は、テンソル積ヒルベルト空間に作用する演算子に対して定義される分解可能な数値範囲の特殊なケースとして考えることができます。この概念は、完全なユニタリ群の適切な部分群に対する数値範囲として考えることもできます。 ${\displaystyle U(K)\times U(M)}$${\displaystyle U(KM)}$

ヒルベルト空間の分割や演算子の構造に依存しない積数値範囲の基本的な特性を確立することは難しくありません。以下にそれらをリストしますが、いくつかの簡単な項目については証明は省略します。

一般演算子の積の数値範囲に関する位相的な事実。

1. 積の数値範囲は、複素平面上で連結集合を形成します。これは、積の数値範囲が連結集合の連続像であるためです。
2. 積の数値範囲は加法性が低い。${\displaystyle A,B\in \mathbb {M} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(A+B\right)\subset \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(A\right)+\mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(B\right).}$
3. 全ての人々のために${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A+\alpha \mathbf {I} }\right)=\mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(A\right)+\alpha .}$
4. 全ての人々のために${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({\alpha A}\right)=\alpha \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right).}$
5. すべて に対してユニタリおよびに対して。${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{m\times n}}$ ${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({(U\otimes V)A(U\otimes V)^{\dagger }}\right)=\mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right),}$${\displaystyle U\in \mathbb {M} _{m}}$${\displaystyle V\in \mathbb {M} _{n}}$
6. させて、${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{m}}$${\displaystyle B\in \mathbb {M} _{n}}$

• そのうちの1つが正規分布である場合、それらのテンソル積の数値範囲は積の数値範囲の凸包と一致する。${\displaystyle \mathrm {\Lambda } (A\otimes B)=\mathrm {Co} (\mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A\otimes B}\right)).}$
• が何らかの に対して半正定値である場合、${\displaystyle e^{i\theta }A}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$${\displaystyle \mathrm {\Lambda } (A\otimes B)=\mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A\otimes B}\right).}$
• とします。${\displaystyle H(A)={\frac {1}{2}}(A+A^{\dagger })}$${\displaystyle S(A)={\frac {1}{2}}(A-A^{\dagger })}$

1. すべての について、および${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({H(A)}\right)=\mathrm {Re} \ \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)}$${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({S(A)}\right)=i\,\mathrm {Im} \ \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right).}$

積の数値範囲は凸である必要はありません。次の簡単な例を考えてみましょう。

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)+i\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}}\right).}$

上で定義した行列は、固有値を持つ行列です。と であることは簡単にわかりますが、 です。実際、直接計算すると、${\displaystyle A}$${\displaystyle 0,1,i}$${\displaystyle 1\in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)}$${\displaystyle i\in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)}$${\displaystyle (1+i)/2\not \in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)}$${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)=\left\{x+yi:0\leq x,0\leq y,{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}\leq 1\right\}.}$

マトリックスの積数値範囲を以下に示します。 ${\displaystyle A}$

積の数値範囲は、一般演算子の空でない集合を形成します。特に、スペクトルの重心が含まれます。

の積の数値範囲にはスペクトルの重心が含まれる。${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{K\times M}}$${\displaystyle {\frac {1}{KM}}\;{\mathrm {tr} }A\ \in \ \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right).}$

積数値半径は行列上のベクトルノルムですが、行列ノルムではありません。積数値半径は、テンソル積構造を持つローカルユニタリに対して不変です。

• Z.プチャワ、P.ガウロン、JAミシュチャク、Ł.スコウォロネク、M.-。 Choi、K. Życzkowski、「テンソル積構造を持つ空間の積数値範囲」、Linear Algebra Appl.、434 (2011) 327–342。土井：10.1016/j.laa.2010.08.026 arXiv：1008.3482。
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