対称ゲーム

ゲーム理論 では、対称ゲームとは、特定の戦略を実行した場合の報酬が、誰が実行しているかではなく、採用されている他の戦略のみに依存するゲームです。戦略に対する報酬を変えずにプレイヤーのアイデンティティを変更できる場合、ゲームは対称的です。対称性にはさまざまな種類があります。 順序対称ゲームとは、報酬の順序構造に関して対称なゲームのことです。ゲームが量的に対称なのは、正確な報酬に関して対称である場合のみです。パートナーシップゲームは、両方のプレイヤーがどの戦略セットに対しても同じ報酬を受け取る対称ゲームです。つまり、戦略aを戦略bに対して実行した場合の報酬は、戦略b を戦略aに対して実行した場合と同じ報酬を受け取ります。

順序が異なっている 2x2 ゲーム 144 個のうち、対称なのは 12 個だけです。ただし、よく研究されている 2x2 ゲームの多くは、少なくとも順序が対称です。チキン、囚人のジレンマ、鹿狩りの標準的な表現はすべて対称ゲームです。正式には、2x2 ゲームが対称であるためには、その報酬マトリックスが右に示す図式に準拠している必要があります。

ゲームが順序的に対称であるための要件はより弱く、報酬の順序付けが右側の図式に準拠している必要があるだけです。

ナッシュ (1951) は、すべての有限対称ゲームには対称混合戦略 ナッシュ均衡があることを示している。チェンら (2004) は、すべての 2 戦略対称ゲームには (対称である必要はないが)純粋戦略 ナッシュ均衡があることを示している。エモンズら (2022) は、すべての共通報酬ゲーム (チーム ゲームともいう) (つまり、すべてのプレーヤーが同じ報酬を受け取るすべてのゲーム) において、すべての最適戦略プロファイルもナッシュ均衡であることを示しています。

ここでの対称性は、報酬の対称性を指します。生物学者は、ゲーム内のプレイヤー間の報酬の非対称性を、相関非対称性と呼ぶことがよくあります。これは、純粋に情報的なものであり、報酬に影響を与えない無相関非対称性(例:タカとハトのゲームを参照) とは対照的です。

プレイヤー の利得が であるゲーム（ はプレイヤーの戦略セット、 ）は、任意の順列に対して、 ${\displaystyle U_{i}\colon A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{N}}$ ${\displaystyle \pi}$

${\displaystyle U_{\pi (i)}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{i}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$^[1]

パルタ・ダスグプタとエリック・マスキンは次のような定義を与えており、これは経済学の文献で繰り返し述べられている。

${\displaystyle U_{i}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{\pi (i)}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$

しかし、これはより強い条件であり、ゲームが上記の意味で対称的であるだけでなく、すべてのプレイヤーの報酬が同一であるという意味で共通利益ゲームであることを意味します。^[1]

• Shih-Fen Cheng、Daniel M. Reeves、Yevgeniy Vorobeychik、Michael P. Wellman。対称ゲームにおける均衡に関するノート、自律エージェントとマルチエージェントシステムに関する国際合同会議、第6回ゲーム理論および意思決定理論エージェントワークショップ、ニューヨーク市、ニューヨーク州、2004年8月。[1]
• Gametheory.net の対称ゲーム
• Dasgupta, Partha ; Maskin, Eric (1986). 「不連続経済ゲームにおける均衡の存在、I: 理論」。Review of Economic Studies . 53 (1): 1–26. doi :10.2307/2297588. JSTOR  2297588.
• ナッシュ、ジョン(1951年9 月) 。「非協力ゲーム」。Annals of Mathematics。第 2 期。54 ( 2): 286–295。doi :10.2307/1969529。JSTOR  1969529。
• Emmons, Scott; Oesterheld, Caspar; Critch, Andrew; Conitzer, Vincent; Russell, Stuart (2022). 「共通ペイオフゲームにおける対称性、均衡、堅牢性」(PDF)。国際機械学習会議 (ICML) の議事録。PMLR 162。2024年4 月 21 日に閲覧。

• デイビッド・ロビンソン、デイビッド・ゴフォース（2005年）。2x2ゲームのトポロジー：新しい周期表。Routledge。ISBN 978-0-415-33609-3。
• 対称ゲームにおける均衡に関するノート