拡大しない地平線

非膨張地平線( NEH )は、固有の構造が保存されている閉じたヌル面です。NEH は、準局所的な観点から外部と平衡状態にあるブラックホールを表す孤立地平線の幾何学的プロトタイプです。NEH の概念と幾何学に基づいて、ブラックホールの 2 つの準局所的な定義、弱孤立地平線と孤立地平線が開発されました。

3次元部分多様体∆は、以下の条件を満たす場合、一般的な（回転し歪んだ）NEHとして定義されます。 ^{[1] [2] [3]}

(i) ∆ はヌルであり、位相的にはである。 (ii) ∆ に接する任意のヌル法線場に沿って、外向きの膨張率はゼロになる。 (iii) すべての場の方程式は ∆ 上で成り立ち、∆ 上の応力エネルギーテンソルは、任意の未来向きのヌル法線 に対して が未来向きの因果ベクトル( )となるようなものである。 ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
${\displaystyle l}$${\displaystyle \displaystyle \theta _{(l)}:={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}}$
${\displaystyle T_{ab}}$${\displaystyle V^{a}:=-T_{b}^{a}l^{b}}$${\displaystyle V^{a}V_{a}\leq 0}$${\displaystyle l^{a}}$

条件 (i) はかなり自明であり、 3+1 の観点 から^[4] NEH ∆ は空間的 2 次元球面 ∆'=S ²によって葉状構造になっているという一般的な事実を述べているだけです。ここで、S ^{2 は}∆' が位相的にコンパクトで種数ゼロ ( ) であることを強調しています。∆のシグネチャは (0,+,+) で時間座標は退化しており、葉状構造の葉 ∆'=S ²の固有の形状は非進化的です。条件 (ii) の特性は、NEH を定義する上で極めて重要な役割を果たしており、そこに含まれる豊富な含意については以下で詳しく説明します。条件 (iii) は、アインシュタイン-マクスウェル場の方程式のニューマン-ペンローズ (NP) 形式論^{[5] [6]}を地平線とその地平線付近の近傍に自由に適用できるようにします。さらに、エネルギー不等式そのものは支配的なエネルギー条件^[7]から導かれ、NEHの多くの境界条件を導くための十分条件である。 ${\displaystyle g=0}$${\displaystyle \theta _{(l)}=0}$

注: この記事では、文献^{[1] [2] [3]}で設定された慣例に従い、等号の上の「ハット」はブラックホール地平線 (NEH) 上の等号を意味し、量と演算子 (、など) の上の「ハット」は地平線の葉脈上の量と演算子を表します。また、∆ はNP 形式でNEH と方向微分 ∆ の両方の標準記号であり、これにより曖昧さは生じないと考えています。 ${\displaystyle {\hat {=}}}$${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}}$${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$${\displaystyle :=n^{a}\nabla_{a}}$

さて、NEH の定義の意味を考えてみましょう。これらの結果は、慣例^{[5] [6]} に従って NP 形式の言語で表現されます(注: 元の慣例^{[8] [9]とは異なり、これは、ブラックホールのトラップされたヌル面と準局所定義[10]}の研究で通常使用されるものです)。 は ∆ に垂直なヌルであるため、自動的に測地線、、およびねじれなし になります。NEH の場合、に沿った外向きの膨張率は 0 であり、 であるため、 です。さらに、Raychaudhuri-NP膨張ねじれ方程式^{[11]によれば、}${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$${\displaystyle l^{a}}$${\displaystyle \kappa :=-m^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}\,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle {\text{Im}}(\rho )={\text{Im}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a})\,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle \theta _{(l)}}$${\displaystyle l^{a}}$${\displaystyle \theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle {\text{Re}}(\rho )={\text{Re}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a})=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (1)\qquad D\rho =\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

∆では

${\displaystyle (2)\qquad \sigma {\bar {\sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

ここで はNP せん断係数です。仮定されたエネルギー条件 (iii) により、( ) となり、したがって∆ 上では非負になります。積も当然非負になります。したがって、と は同時に ∆ 上でゼロ、つまりと でなければなりません。まとめると、 ${\displaystyle \sigma :=-m^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}}$${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}=R_{ab}l^{a}l^{b}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \,T_{ab}l^{a}l^{b}}$${\displaystyle c=G=1}$${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}}$${\displaystyle \sigma {\bar {\sigma }}}$${\displaystyle \sigma {\bar {\sigma }}}$${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}}$${\displaystyle \sigma \,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (3)\qquad \kappa \,{\hat {=}}\,0\,,\quad {\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad {\text{Re}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \sigma \,{\hat {=}}\,0\,,\quad R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0.}$

したがって、孤立した地平線 ∆ は非進化的であり、すべての葉脈 ∆'=S ^{2 は}互いに同一に見えます。この関係は、条件 (iii) の因果ベクトルが地平線 ∆ 上でに比例し、に比例することを意味しています。つまり、および、です。この結果を関連する Ricci-NP スカラーに適用すると、、およびが得られるので、 ${\displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \cdot T_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \cdot T_{b}^{a}l^{b}\cdot l_{a}\,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle -T_{b}^{a}l^{b}}$${\displaystyle l^{a}}$${\displaystyle R_{ab}l^{b}}$${\displaystyle l_{a}}$${\displaystyle -T_{b}^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl^{a}}$${\displaystyle R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}l^{b}\,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle \Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,{\hat {=}}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}m^{b}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (4)\qquad R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}\,,\quad \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline {\Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

リッチNPスカラーが消失するということは、電磁波、ヤン・ミルズ流、ディラトン流など、地平線を横切るいかなる種類の電荷のエネルギー運動量流も存在しないことを意味する。また、地平線を横切る重力波もないはずである。しかし、重力波は電荷の流れではなく時空連続体の摂動の伝播であるため、リッチNP量ではなく4つのワイルNPスカラー（ を除く）によって表される。^[5]レイチャウドゥリNPせん断方程式^{[11]によれば、}${\displaystyle \{\Phi _{00}\,,\Phi _{01}\,,\Phi _{10}\}}$${\displaystyle \Psi _{i}\;(i=0,1,3,4)}$${\displaystyle \Psi _{2}}$${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle (5)\qquad D\sigma =\sigma (\rho +{\bar {\rho }})+\Psi _{0}=-2\sigma \theta _{(l)}+\Psi _{0}\,,}$

あるいは地平線上のNP場方程式

${\displaystyle (6)\qquad D\sigma -\delta \kappa =(\rho +{\bar {\rho }})\sigma +(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma -(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa +\Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

となる。さらに、NP方程式 ${\displaystyle \Psi _{0}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}l^{c}m^{d}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (7)\qquad \delta \rho -{\bar {\delta }}\sigma =\rho ({\bar {\alpha }}+\beta )-\sigma (3\alpha -{\bar {\beta }})+(\rho -{\bar {\rho }})\tau +(\mu -{\bar {\mu }})\kappa -\Psi _{1}+\Phi _{01}\,{\hat {=}}\,0}$

は、次のことを意味します。まとめると、 ${\displaystyle \Psi _{1}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}l^{c}m^{d}\,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (8)\qquad \Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

これは、^[5]幾何学的には、ワイルテンソルの主ヌル方向が2回繰り返され、主方向と一致していることを意味します。物理的には、重力波（横方向成分と縦方向成分）はブラックホールに侵入しません。この結果は、NEHを定義する物理的なシナリオと一致しています。 ${\displaystyle l^{a}}$${\displaystyle \Psi _{0}}$${\displaystyle \Psi _{1}}$

前のセクションをよりよく理解するために、ヌル合同を表すNPスピン係数の意味を簡単に確認します。^[7]ヌルフローを支配する Raychaudhuri方程式^[12]のテンソル形式は、

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(l)}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l)}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(l)}\theta _{(l)}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,}$

ここで はと定義される。レイチャウドゥリ方程式の量は、スピン係数と^{[5] [13] [14]によって関連付けられる。}${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(l)}}$${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(l)}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}}$

${\displaystyle (10)\qquad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

${\displaystyle (11)\qquad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,}$

${\displaystyle (12)\qquad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,}$

ここで式(10)は、${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}}$

${\displaystyle (13)\qquad \theta _{(l)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,}$

${\displaystyle (14)\qquad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.}$

さらに、ヌル合同は超曲面直交となる。^[5]${\displaystyle {\text{Im}}(\rho )=0}$

真空NEHはNEHの最も単純なタイプですが、一般的にNEHの周囲には物理的に意味のあるさまざまな場があり、その中でも私たちが最も興味を持っているのは の電気真空場です。これは真空NEHの最も単純な拡張であり、電磁場の非ゼロエネルギー応力テンソルは次のように表されます。 ${\displaystyle \{\Phi _{ij}{\hat {=}}0\,,\Lambda _{}{\hat {=}}0\}}$${\displaystyle \Lambda {\hat {=}}0}$

${\displaystyle (15)\qquad T_{ab}={\frac {1}{4\pi }}\,{\Big (}\,F_{ac}F_{b}^{c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}{\Big )}\,,}$

ここで、 は反対称( 、)電磁場強度を指し、定義によりトレースフリー ( ) であり、支配的なエネルギー条件を尊重します。 (マクスウェルNPスカラー を定義する際にはの反対称性に注意する必要があります)。 ${\displaystyle F_{ab}}$${\displaystyle F_{ab}=-F_{ba}}$${\displaystyle F_{a}^{a}=0}$${\displaystyle T_{ab}}$${\displaystyle T_{a}^{a}=0}$${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

前節で導出した境界条件は、一般的なNEHに適用できる。電磁気学の場合、より具体的な方法で指定することができる。アインシュタイン-マクスウェル方程式のNP形式によれば、^[5]${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle (16)\qquad \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}\,,\quad i,j\in \{0,1,2\}\,,}$

ここで、 3つのマクスウェルNPスカラーを表す。Eq()の代わりに、この条件はNP方程式からも得られること がわかる。${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle \Phi _{00}=0}$

${\displaystyle (17)\qquad D\rho -{\bar {\delta }}\kappa =(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho -{\bar {\kappa }}\tau -(3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,\kappa +\Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,}$

として、したがって${\displaystyle \kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\,\sigma =0}$

${\displaystyle (18)\qquad \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Leftrightarrow \;\;2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{0}}}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Rightarrow \;\;\phi _{0}={\overline {\phi _{0}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

当然の帰結として、

${\displaystyle (19)\qquad \Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{1}}}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

これらの結果は、地平線を生成するヌル測地線を除いて、NEHを横切る（ 、 ）またはNEHに沿って（\Phi_{02}）電磁波は存在しないことを示しています。また、 Eq()の補足方程式は電磁場に対してのみ有効であることも指摘しておく価値があります。たとえば、ヤン・ミルズ場の場合、ヤン・ミルズNPスカラーであるとなります。 ^[15]${\displaystyle \Phi _{00}}$${\displaystyle \Phi _{01}}$${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}}$${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,{\big (}\,\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j}\,{\big )}}$${\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\}}$

通常、最も簡潔な NP 記述を実現するために、時空特性に適応したヌルテトラドが採用されます。たとえば、ペトロフ型がわかれば、ヌルテトラドを主ヌル方向に適応させることができます。また、ヌル無限大、時間的無限大、空間的無限大、ブラックホール地平線、宇宙的地平線などのいくつかの典型的な境界領域では、テトラドを境界構造に適応させることができます。同様に、地平線上の幾何学的動作に適応した優先テトラド^{[1] [2] [3]}が、NEH をさらに調査するために文献で採用されています。

定義の条件 (i) の 3+1 の観点から示されるように、NEH ∆ は、入ってくるヌル座標 に沿ったヌル法線を横切る空間的超曲面 ∆'=S ^{2によって葉状構造にされます。ここで、入ってくる}エディントン–フィンケルシュタイン ヌル座標の標準表記に従い、 を使用してにおける2 次元の葉にラベルを付けます。つまり、 です。は未来指向に設定され、最初の四元共ベクトルを として選択します。^{[2] [3]}とすると、相互正規化とアフィンパラメータ化 を満たすヌル法線 として一意のベクトル場が生成されます。 のこのような選択により、実際に ∆ の好ましい葉状構造が得られます。は外在的特性とヌル生成子（つまり、∆ 上のヌルフロー/測地線合同）に関連していますが、残りの 2 つの複素ヌルベクトルは、∆ に接し、 を横切る葉の固有の幾何学を張るものです。つまり、 です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle S_{v}^{2}}$${\displaystyle v={\text{constant}}}$${\displaystyle {}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}]=S^{2}[v_{o},v_{1}]}$${\displaystyle v}$${\displaystyle n_{a}}$${\displaystyle n_{a}=-dv}$${\displaystyle l^{a}}$${\displaystyle S_{v}^{2}}$${\displaystyle l^{a}n_{a}=-1}$${\displaystyle Dv=1}$${\displaystyle \{l^{a},n^{a}\}}$${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$${\displaystyle \{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$${\displaystyle S_{v}^{2}}$${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\ell }m\,{\hat {=}}\,{\mathcal {L}}_{\ell }{\bar {m}}{\hat {=}}0}$

さて、このような適応した四分子の結果を確認してみましょう。

${\displaystyle (20)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }m=[\ell ,m]\,{\hat {=}}\,0\;\Rightarrow \;\delta D-D\delta =({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})D+\kappa _{}\Delta -({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\delta -\sigma {\bar {\delta }}\,{\hat {=}}\,0\,,}$

とすると、 ${\displaystyle \kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\,\sigma \,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle (21)\qquad \pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\,{\bar {\varepsilon }}\,.}$

また、このような適応フレームでは、の微分は純粋に固有であるはずである。したがって、交換子では ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m}$${\displaystyle {}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}]=S^{2}[v_{o},v_{1}]}$

${\displaystyle (22)\qquad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m=[{\bar {m}},m]={\bar {\delta }}\delta -\delta {\bar {\delta }}=({\bar {\mu }}-\mu )D+({\bar {\rho }}-\rho )\Delta -({\bar {\beta }}-\alpha )\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,}$

方向微分と∆の係数はゼロでなければならない。つまり、 ${\displaystyle D}$

${\displaystyle (23)\qquad {\bar {\mu }}\,{\hat {=}}\,\mu \,,\quad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m\,{\hat {=}}\,(\alpha -{\bar {\beta }})\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,}$

したがって、入力されるヌル法線場はによってねじれがなく、入力される膨張率 に等しくなります。 ${\displaystyle n^{a}}$${\displaystyle {\text{Im}}(\mu )={\text{Im}}({\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}n_{a})=0}$${\displaystyle 2\mu =2{\text{Re}}(\mu )}$${\displaystyle \theta _{(n)}}$

これまで、NEH の定義と境界条件を紹介してきました。境界条件には、任意の NEH の境界条件、アインシュタイン-マクスウェル (電磁) NEH の特定の特性、および適応四面体におけるその他の特性が含まれます。NEH に基づいて、有効な表面重力を持つ WIH を定義して、ブラックホールの力学を一般化することができます。WIH は地平線上の物理を研究するのに十分ですが、幾何学的な目的のために、^[2] WIH に強い制限を課して IH を導入することができます。IH では、ヌル法線の同値類が地平線上の 誘導接続を完全に保持します。${\displaystyle [\ell ]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$