孤立した地平線

ブラックホールの地平線は、場の方程式の定常解、つまりブラックホールの小さな近傍だけでなく、あらゆる場所で時間並進キリング ベクトル場を許容する解によって表現するのが通例でした。この単純な理想化は出発点としては自然でしたが、制限が厳しすぎます。物理的には、ブラックホール自体が孤立していることだけを保証する境界条件を地平線に課すだけで十分なはずです。つまり、地平線の固有の形状が時間に依存しないことだけを要求すれば十分であり、その外側の形状は動的で、重力やその他の放射を許容してもよいはずです。

孤立地平線が事象の地平線よりも優れている点は、事象の地平線を見つけるには時空全体の履歴が必要であるのに対し、孤立地平線は局所的な時空構造のみを使用して定義されることです。ブラックホール力学の法則は、当初は事象の地平線に対して証明されましたが、孤立地平線にも一般化されています。

孤立地平線 とは、外部と平衡状態にあるブラックホールの準局所的定義^{[1]を指し、 [2] [3] [4]}、孤立地平線（IH）の固有構造と外部構造の両方がヌル同値類によって保存されます。IHの概念は、非膨張地平線（NEH）と弱孤立地平線（WIH）のアイデアに基づいて開発されています。NEHは、固有構造が保存され、WIHとIHの幾何学的プロトタイプを構成するヌル面であり、WIHは明確に定義された表面重力を持つNEHであり、これに基づいてブラックホール力学を準局所的に一般化できます。 ${\displaystyle (\Delta \,,[\ell ])}$ ${\displaystyle [\ell ]}$

同値類を備えた3次元部分多様体は 、以下の条件を満たす場合、IHとして定義される: ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle [\ell ]}$

(i)はヌルで、位相的には です。 (ii)に接する任意のヌル法線場 に沿って、外向きの膨張率はゼロです。 (iii) すべての場の方程式は 上で成り立ち、上の応力エネルギーテンソルは、任意の未来向きのヌル法線 に対して が未来向きの因果ベクトル( ) となるようなものです。 (iv) 交換子、ここで は地平線上の誘導接続を表します。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
${\displaystyle l}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \displaystyle \theta _{(l)}:={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}}$
${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T_{ab}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle V^{a}:=-T_{b}^{a}l^{b}}$${\displaystyle V^{a}V_{a}\leq 0}$${\displaystyle l^{a}}$
${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{\ell },{\mathcal {D}}_{a}]=0}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$

^{注: 文献[2] [3] [4]}で設定された慣例に従い、等号記号上の「ハット」はブラックホール地平線 (NEH) 上の等号を意味し、量と演算子 ( 、など)上の「ハット」は地平線上または地平線の葉脈上の量を表します (IH の場合は違いはありません)。 ${\displaystyle {\hat {=}}}$${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}}$${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$

一般的なIHの特性は、ニューマン・ペンローズ形式言語で表現される境界条件の集合として現れる。

${\displaystyle \kappa \,{\hat {=}}\,0}$(測地線)、 (ねじれなし、超曲面直交 )、(膨張なし )、 (せん断なし )、 ${\displaystyle {\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle {\text{Re}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0}$${\displaystyle \sigma \,{\hat {=}}\,0}$

${\displaystyle \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline {\Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0}$（地平線を横切る いかなる種類の物質電荷も流れない）、

${\displaystyle \Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\,{\hat {=}}\,0}$(地平線を越​​える 重力波はありません)。

さらに、電磁IHの場合、

${\displaystyle \phi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.}$

さらに、IH構造に適応した四分子では、[ ^{3] [4]}

${\displaystyle \pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\,{\bar {\varepsilon }}\,,\quad {\bar {\mu }}\,{\hat {=}}\,\mu \,.}$

注意: 実際、IH のこれらの境界条件はNEHの境界条件を継承するだけです。

IHの形状と力学の完全な解析は、地平線上の適応四面体に依存している。^{[3] [4]}しかし、IHをより包括的に見るには、地平線近くの近傍と地平線外の外部の調査が必要になることが多い。^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]} IH上の適応四面体は、地平線と地平線外の両方の領域をカバーする次の形式にスムーズに拡張できる。

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r}+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,,}$
${\displaystyle n^{a}\partial _{a}=-\partial _{r}\,,}$
${\displaystyle m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4}\partial _{z}\,,}$
${\displaystyle {\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,.}$

ここで、 {v=定数、r=定数}の断面積を表す実等温座標または複素立体座標であり、この四面体におけるゲージ条件は${\displaystyle \{y,z\}}$
${\displaystyle \nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\,,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\,.}$

孤立地平線の定義の局所的な性質により、数値研究にとってより便利になります。

局所的な性質によりハミルトニアン記述は実行可能となる。この枠組みは非摂動的な量子化とミクロな自由度からのブラックホールエントロピーの導出のための自然な出発点を提供する。^[11]

• 拡大しない地平線
• ニューマン・ペンローズ形式