経済的発注量

経済的発注量（EOQ ）は、財務購買量または経済的購買量とも呼ばれ、^[要出典]在庫管理における総保有コストと発注コストを最小化する発注量です。これは最も古い古典的な生産スケジューリングモデルの1つです。このモデルは1786年にフォード・W・ハリスによって開発されましたが、コンサルタントのR・H・ウィルソンがこれを広範囲に適用し、彼とK・アンドラーは詳細な分析で評価されています。^[1]

EOQ は、製品の購入、配送、保管に関連する総コストを最小限に抑えるために注文する最適なユニット数を示します。

EOQ は、製品の需要が一定期間 (1 年など) にわたって一定であり、在庫がゼロになったときに新しい注文がすべて配送される場合にのみ適用されます。発注された品目の数量に関係なく、発注された各注文には固定コストがかかります。注文には 1 種類の在庫品目のみが含まれるものと想定されます。また、保管されている各ユニットにもコストがかかります。これは一般に保管コストと呼ばれ、品目の購入コストのパーセンテージで表されることもあります。EOQ の定式化は単純ですが、実際の適用では輸送料金や数量割引などの要素が考慮に入れられます。

ソリューションに必要なパラメータは、年間の総需要、各品目の購入コスト、単一品目の注文にかかる固定コスト、および各品目の年間保管コストです。注文回数も総コストに影響しますが、この回数は他のパラメータから決定できます。

• ${\displaystyle T}$= 年間総在庫コスト
• ${\displaystyle P}$= 購入単価、単位生産コスト
• ${\displaystyle Q}$= 注文数量
• ${\displaystyle Q^{*}}$= 最適な注文数量
• ${\displaystyle D}$= 年間需要量
• ${\displaystyle K}$= 注文ごとの固定費、セットアップ費用（ユニットごとではなく、通常は注文と配送および取り扱いにかかる費用。これは商品のコストではありません）
• ${\displaystyle h}$= ユニットあたりの年間保有コスト。保管コストまたは保管コストとも呼ばれます (資本コスト、倉庫スペース、冷蔵、保険、機会コスト(価格 x 利息) など。通常、ユニット生産コストとは関係ありません)

単一アイテム EOQ 式は、次のコスト関数の最小点を見つけます。

総コスト = 購入コストまたは生産コスト + 発注コスト + 保管コスト

どこ：

• 購入コスト：これは商品の変動コストです：購入単価×年間需要量。これは です。${\displaystyle P\times D}$
• 発注コスト：これは発注にかかるコストです。各発注には固定コストがかかり、年間に回発注する必要があります。これは${\displaystyle K}$${\displaystyle D/Q}$${\displaystyle KD/Q}$
• 保管コスト: 在庫の平均量（完全に補充された状態から空の状態まで）は なので、このコストは${\displaystyle Q/2}$${\displaystyle hQ/2}$

${\displaystyle T=PD+K{\frac {D}{Q}}+h{\frac {Q}{2}}}$。

総コスト曲線の最小点を決定するには、Q に関する総コストの 微分を計算し (他のすべての変数は一定であると仮定)、それを 0 に設定します。

${\displaystyle {0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}}$

Q を解くと Q* (最適な注文数量) が得られます。

${\displaystyle Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}}$

したがって：

Q* は P とは独立しており、K、D、h のみの関数です。

最適値Q*は、次のことを認識することでも見つけられる。

${\displaystyle T={\frac {DK}{Q}}+{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+PD,}$

ここで、非負の2次項は消え、コスト最小値を与える。${\textstyle Q={\sqrt {2DK/h}},}$${\displaystyle T_{min}={\sqrt {2hDK}}+PD.}$

• 年間必要量（D）＝10000個
• 注文あたりのコスト（K） = 40
• 単位当たりのコスト（P）= 50
• ユニットあたりの年間保管コスト = 4
• 市場金利 = 2%

経済的発注量 = = 400 個 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}}$

年間注文数（EOQに基づく）${\displaystyle ={\frac {10000}{400}}=25}$

総費用${\displaystyle =P\cdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)}$

総費用${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/400)+5\cdot (400/2)=502000}$

400(=EOQ)以外の注文数量の合計コストを確認すると、コストが高くなることがわかります。たとえば、注文ごとに500ユニットとすると、

総費用${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/500)+5\cdot (500/2)=502050}$

同様に、注文数量を300にすると、

総費用${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.33}$

これは、経済的発注量が常に企業にとって最善の利益となることを示しています。

EOQモデルの重要な拡張は、数量割引に対応することです。数量割引には主に2つのタイプがあります：（1）全単位割引と（2）増分割引です。^{[2] [3]}数値例を示します。

• 増分ユニット割引: ユニット 1 ～ 100 は 1 個あたり 30 ドル、ユニット 101 ～ 199 は 1 個あたり 28 ドル、ユニット 200 以上は 1 個あたり 26 ドルです。したがって、150 個注文した場合、合計コストは 30 ドル × 100 + 28 ドル × 50 になります。
• 全ユニット割引: 1～1000 ユニットの注文は 1 ユニットあたり 50 ドル、1001～5000 ユニットの注文は 1 ユニットあたり 45 ドル、5000 ユニットを超える注文は 1 ユニットあたり 40 ドルです。したがって、1500 ユニットを注文すると、合計コストは 45*1500 ドルになります。

異なる数量割引制度の下で最適な発注数量を見つけるためには、アルゴリズムを使用する必要があります。これらのアルゴリズムは、EOQポリシーが数量割引でも最適であるという仮定の下で開発されています。Perera et al. (2017) ^[4]はこの最適性を確立し、一般的なコスト構造の下でのEOQ設定内での(s,S)最適性を完全に特徴付けています。

割引スケジュールに最適に対応する戦略的顧客が存在する場合、サプライヤーによる最適な数量割引スキームの設計は複雑であり、慎重に行う必要があります。これは、顧客の需要自体が不確実な場合に特に当てはまります。消費者の需要の不確実性の増加がサプライヤーの注文数量の不確実性を実際に削減する場合、「逆ブルウィップ」と呼ばれる興味深い効果が発生します。^[5]

EOQモデルには、バックオーダーコスト^[6]や複数品目など、いくつかの拡張が可能である。バックオーダーが許可されている場合、サイクルあたりの在庫保有コストは次のようになる。^[7]

${\displaystyle IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Qs-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}(Qs)^{2},}$

ここで、s は注文数量 Q が配達されるときのバックオーダー数、は需要率です。サイクルあたりのバックオーダー コストは次のようになります。 ${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \pi s+{\hat {\pi }}\int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}\lambda T_{2}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat {\pi }}s^{2}}{2\lambda }},}$

ここで、およびはバックオーダー費用、Tはサイクルの長さ、です。平均年間変動費は、注文費用、在庫保管費用、バックオーダー費用の合計です。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\hat {\pi}}}$${\displaystyle T_{2}=T-T_{1}}$${\displaystyle T_{1}=(Qs)/\lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {\lambda }{Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Qs)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}]}$

最小化するには、偏微分をゼロにします。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Q-s)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{\hat {\pi }}s=0}$

2 番目の方程式を 1 番目の方程式に代入すると、次の二次方程式が得られます。

${\displaystyle [{\hat {\pi }}^{2}+{\hat {\pi }}IC]s^{2}+2\pi {\hat {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0}$

s=0 または が最適である場合。最初のケースでは、最適なロットは従来の EOQ 式で与えられ、2 番目のケースでは注文は行われず、最小年間コストは で与えられます。または が最適である場合、であれば在庫システムは不要です。前述の 2 次方程式を解くと、次のようになります。 ${\displaystyle {\hat {\pi }}=0}$${\displaystyle s=\infty }$${\displaystyle \pi \lambda }$${\displaystyle \pi >{\sqrt {\frac {2AIC}{\lambda }}}=\delta }$${\displaystyle \pi \lambda >K_{w}}$ ${\displaystyle s^{*}=0}$${\displaystyle \pi <\delta }$${\displaystyle {\hat {\pi }}\neq 0}$

${\displaystyle s^{*}=[{\hat {\pi }}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi }}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi }}}(\pi \lambda )^{2}\right]^{1/2}\right)}$

${\displaystyle Q^{*}=\left[{\frac {{\hat {\pi }}+IC}{\hat {\pi }}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A}{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi }}+IC)}}\right]^{1/2}}$

バックオーダーがある場合、再発注点は次のようになります。ここで、m は最大の整数、μ はリードタイム需要です。 ${\displaystyle r_{h}^{*}=\mu -mQ^{*}-s^{*}}$${\displaystyle m\leq {\frac {\tau }{T}}}$

さらに、 EOQから経済的発注間隔^{[8]を決定することができ、同様の方法で}経済的生産量モデル（最適生産量を決定する）を決定することができる。

このモデルの一種であるボーモル・トービンモデルは貨幣需要関数を決定するためにも使用されており、個人の貨幣残高の保有量を企業の在庫保有量と並行して見ることができる。^[9]

Malakooti (2013) ^[10]は、総コスト、発注量（在庫）、不足を最小化する基準となる多基準EOQモデルを導入しました。

貨幣の時間的価値を考慮したバージョンはトリッピとルーウィンによって開発された。^[11]

EOQモデルのもう一つの重要な拡張は、不完全な品質の品目を考慮に入れることである。SalamehとJaber (2000)は、EOQモデルにおける不完全な品目を非常に徹底的に研究した最初の人物である。彼らは、需要が決定論的で、ロット内に不完全な品目が一定量含まれ、買い手によって選別され、サイクルの最後に割引価格で販売される在庫問題を考察した。^[12]

EOQモデルとその姉妹モデルである経済生産量モデル（EPQ）は、「その制約的な一連の仮定」について批判されてきた。^[13] GugaとMusaは、アルバニアのビジネスケーススタディにこのモデルを使用し、「理論的には完璧だが、この会社の実用的観点からはあまり適していない」と結論付けている。^[14]しかし、James Cargalは、この式は、ビジネス計算が「手作業」または対数表や計算尺を使用して行われていたときに開発されたと指摘している。スプレッドシートや専門ソフトウェアを使用すると、式をより柔軟に使用でき、元のモデルよりも「より現実的な仮定」を採用できる。^{[15] [自費出版ソース]}

• 再注文ポイント
• 安全在庫
• 経済生産量
• ニュースベンダーモデル
• 動的ロットサイズモデル
• 経済ロットスケジューリング問題

• ハリス、フォード W.オペレーションコスト(工場管理シリーズ)、シカゴ: ショー (1915)
• ハリス、フォード W. (1913) 「一度に何個の部品を作るか」ファクトリー、経営雑誌10 : 135–136, 152。
• キャンプ、WE「生産オーダー数量の決定」、経営工学、1922年
• ウィルソン、RH (1934 )。「在庫管理のための科学的ルーチン」ハーバードビジネスレビュー。13 :116–28。
• プロッセル、ジョージ。オルリッキーの資材所要量計画。第 2 版。マグロウヒル。1984 年。(初版 1975 年)
• エルレンコッター、ドナルド (2014)。「フォード・ホイットマン・ハリスの経済的ロットサイズモデル」。国際生産経済ジャーナル。155 :12–15。doi :10.1016/ j.ijpe.2013.12.008。S2CID 153794306  。
• Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). 「一般的なコスト構造を持つEOQモデルにおける(s,S)ポリシーの最適性」。International Journal of Production Economics。187 : 216–228。doi : 10.1016 /j.ijpe.2016.09.017。
• Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2018). 「更新需要と一般的なコスト構造の下での (s, S) 在庫ポリシーの最適性」.生産およびオペレーション管理. 27 (2): 368–383. doi :10.1111/poms.12795. hdl : 2027.42/142450 .
• Tsan-Ming Choi (編)『EOQ在庫問題ハンドブック：確率的および決定論的モデルとアプリケーション』、Springer's International Series in Operations Research and Management Science、2014年。doi : 10.1007 /978-1-4614-7639-9。
• ベンチュラ、ロバート、サミュエル、スティーブン (2016)。「経済的発注量とランバート W 関数を使用した GDI エンジンの燃料噴射の最適化」。応用熱工学。101 : 112–20。doi :10.1016/ j.applthermaleng.2016.02.024。
• 更新需要と(s, S)最適性、Perera、Janakiraman、Niu著[1]

• EOQモデル
• ピアセツキ、Ｄ．、Ｖｏｌ． III、第 12 号、2015 年 12 月