経済ロットスケジューリング問題

経済的ロットスケジューリング問題（ELSP ）は、オペレーションズマネジメントと在庫理論における問題であり、50年以上にわたって多くの研究者によって研究されてきました。この用語は、1958年にバークレー校のジャック・D・ロジャース教授によって初めて使用されました。 ^[1]彼は経済的発注量モデルを、同じ機械で生産する製品が複数ある場合にまで拡張し、各製品のロットサイズと各ロットの生産時期の両方を決定するようにしました。ジャック・D・ロジャースが示した方法は、ウェルチ、W・エバートによる1956年の論文に基づいています。^[2] ELSPは、ほとんどすべての企業や業界に共通する問題、つまり、何を製造するか、いつ製造するか、どれだけ製造するかを計画するという数学モデルです。

従来の ELSP は、発生する総コスト (セットアップ コストと在庫保有コストを含む) を最小限に抑えるために、1 台のマシンで複数の製品の生産をスケジュールすることに関係しています。

m 個の製品に対する需要は既知で変動しないと仮定します(たとえば、m = 3 個の製品があり、顧客は製品 1 を 1 日あたり 7 個、製品 2 を 1 日あたり 5 個、製品 3 を 1 日あたり 2 個必要とします)。顧客の需要は在庫で満たされ、在庫は当社の生産施設によって補充されます。 ${\displaystyle d_{j},j=1,\cdots ,m}$

すべての製品を製造できる単一の機械がありますが、完全に互換性があるわけではありません。代わりに、機械は1 つの製品を製造するためにセットアップする必要があり、セットアップ コストやセットアップ時間が発生します。その後、機械は既知の速度でこの製品を製造します。別の製品を製造する必要がある場合は、機械を停止し、次の製品の生産を開始するために別のコストのかかるセットアップが必要です。製品 i から製品 j に切り替えるときのセットアップ コストを とし、在庫コストは各アイテムの平均在庫レベルに基づいて請求されます。N は実行回数、U は使用率、L はロット サイズ、T は計画期間です。 ${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle S_{ij}}$${\displaystyle h_{j}}$

非常に具体的な例を挙げると、機械は瓶詰め機で、製品は瓶詰めのリンゴジュース、オレンジジュース、牛乳のケースである可能性があります。セットアップは、機械を停止し、洗浄し、機械のタンクに目的の液体を充填するプロセスに対応します。この製品の切り替えは、セットアップコストが大きくなるため、あまり頻繁に行うべきではありませんが、同様に、リンゴジュースの生産時間が長すぎると、在庫投資が大きくなり、売れ残ったリンゴジュースのケースの保管コストがかかり、オレンジジュースと牛乳の在庫切れが発生する可能性があるため、望ましくありません。ELSP は、これら 2 つの極端な状況の間の最適なトレードオフを求めます。

1.定義:

${\displaystyle \theta =T/N=L/U}$= 使用期間

c _L = 、サイズLのロットの単位コスト${\displaystyle {\frac {hL(PU)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}}$

${\displaystyle C_{N}=NLc_{L}=UT\left[{\frac {hL\left(PU\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}\right]}$Nロットの総コスト。最適値を得るには：

${\displaystyle {\frac {d(C_{N})}{dL}}={\frac {hT\left(PU\right)}{2P}}-{\frac {SUT}{L^{2}}}=0}$

これは最適なロットサイズとなります。次に、次のようにします。${\displaystyle L_{0}={\sqrt {\frac {2USP}{h(PU)}}}}$

${\displaystyle C_{N_{L\pm a}}=UT\left[{\frac {h\left(L\pm a\right)\left(PU\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L\pm a}}\right]}$L±aサイズのN _L±aロットの総コストは

${\displaystyle +\Delta =C_{N_{L+a}}-C_{N}=UT\left[{\frac {ha\left(PU\right)}{2PU}}-{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}+L}}\right]}$サイズLからL+aに変更する際の増分コスト

${\displaystyle -\Delta =C_{N_{La}}-C_{N}=UT\left[-{\frac {ha\left(PU\right)}{2PU}}+{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}-L}}\right]}$サイズLからLaに変更する際の増分コスト

2.

必要なアイテムの合計数量 = UT

アイテムの総生産時間 = UT/P

生産能力が満たされていることを確認します。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}T}{P_{i}}}\leq T}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}}{P_{i}}}\leq 1}$

3. 計算:

${\displaystyle \theta _{0}={\frac {L_{0}}{U}}}$整数として

ある項目について、θ ₀が偶数でない場合は、次のように計算します。

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}+1\right)}$

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}-1\right)}$

そして、 +Δと-Δの間でコスト増加が最小となる方向にL _{0をLに変更します。}

4.各項目についてt _p =L/Pを計算し、θ=L/Uの増加順に項目をリストします。

5.各項目のペアについて、次の点を確認します。

${\displaystyle \theta _{i}-t_{p_{i}}\geq t_{p_{j}}}$

${\displaystyle \theta _{j}-t_{p_{j}}\geq t_{p_{i}}}$

ペアを形成するには、i^番目をi+1 番目、i+2 番目などと取ります。これらの不等式のいずれかに違反する場合は、ロット サイズを 2U ずつ増分して +Δ と -Δ を計算し、コストの変化の大きさの順にロット サイズを段階的に変更します。両方の不等式が満たされるまでこの手順を繰り返します。

6.${\displaystyle e_{ij}=d-t_{p_{i}}\leq \theta _{i}-t_{p_{i}}-t_{p_{j}}}$

1. ステップ5のようにすべての可能なペアを形成する
2. 各ペアについて、θ _i < θ _{jを選択する。}
3. _{t p i} > t _{p j}、 t _{p i} < t _{p j}、 t _{p i} = t _{p j の}いずれであるかを判定する
4. _{e ij}の値（e _ij =0,1,2,3,...,θ _i - t _{p i} - t _{p j}）を選択し、t _pi +eとt _pj +eを計算します。
5. M _i =k、M _j =1,2,3,...,T/θ _j ; ∀k∈(1,2,...,T/θ _i )と設定して、 M _i θ _i -M _j θ _jを計算します。次に、次の境界条件のいずれかが満たされているかどうかを確認します。

または​${\displaystyle t_{p_{i}}>t_{p_{j}}}$${\displaystyle t_{p_{i}}}$${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{i}}+e\\t_{p_{j}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{i}}+e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

のために${\displaystyle t_{p_{i}}=t_{p_{j}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{j}}+e\\t_{p_{i}}+e=M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}=t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

境界条件がいずれも満たされない場合、 e _{ij は}非干渉です。 e _ijで i=1 の場合、サブステップ 4 で次に大きい e を選択し、 i≠1 の場合はサブステップ 2 に戻ります。いずれかの境界条件が満たされる場合は、サブステップ 4 に進みます。どのペアでも非干渉 e が表示されない場合は、ステップ 5 に戻ります。

7.スケジュールに項目を入力し、実現可能性を確認する

実務上、不確実な需要環境において、切り替え時間とコストを考慮した複数の製品にわたる共有能力を設計、計画、運用することが非常に重要です。ある程度の余裕（「安全時間」）を設計に組み込んだ（予想される）サイクルタイムの選択に加えて、希望するサービスレベルを満たすために必要な安全在庫（バッファ在庫）の量も考慮する必要があります。^[3]

この問題はオペレーションズ・リサーチのコミュニティではよく知られており、モデルを改良し、特定の問題を解決する新しいバリエーションを作成するために、膨大な学術研究が行われてきました。

このモデルはNP困難問題として知られています。なぜなら、ほぼすべての可能性をチェックしなければ最適解を見つけることが現時点では不可能だからです。これまで行われたのは、解を特定のタイプに制限する（これにより、より狭い範囲の問題に対して最適解を見つけることが可能になる）、またはヒューリスティックまたは遺伝的アルゴリズムを使用して問題全体を近似的に解くという2つのアプローチです。^[4]

• 生産される部品の無限充填率：経済的発注量
• 生産される部品の一定充填率：経済的な生産量
• 需要はランダム：古典的なニュースベンダーモデル
• 需要は時間とともに変化する:動的ロットサイズモデル

• SE エルマグラビー: 経済的ロットスケジューリング問題 (ELSP): レビューと拡張、マネジメントサイエンス、第 24 巻、第 6 号、1978 年 2 月、587 ～ 598 ページ
• MA ロペス、BG キングスマン: 経済的ロットスケジューリング問題: 理論と実践、国際生産経済ジャーナル、第 23 巻、1991 年 10 月、pp. 147–164
• マイケル・ピネド著『製造業とサービス業における計画とスケジューリング』Springer、2005年。ISBN 0-387-22198-0 

• ガリシア語：ELSP、コロンビア大学、2004年