伝播グラフ

伝搬グラフは、無線伝搬チャネルの数学的モデリング手法です。伝搬グラフは、頂点が送信機、受信機、または散乱体を表す信号フローグラフです。グラフのエッジは、頂点間の伝搬条件をモデル化します。伝搬グラフモデルは、当初、屋内無線伝搬などの多重散乱のあるシナリオにおけるマルチパス伝搬のために、Troels Pedersen らによって開発されました。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}その後、他の多くのシナリオにも適用されています。

伝播グラフは単純な有向グラフである。${\displaystyle {\mathcal {G}}=({\mathcal {V}},{\mathcal {E}})}$頂点セット付き${\displaystyle {\mathcal {V}}}$エッジセット${\displaystyle {\mathcal {E}}}$。

頂点は伝播シナリオにおけるオブジェクトをモデル化します。頂点セット${\displaystyle {\mathcal {V}}}$は互いに素な3つの集合に分割されます。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{t}\cup {\mathcal {V}}_{r}\cup {\mathcal {V}}_{s}}$どこ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{t}}$送信機のセット、 ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{r}}$は受信機のセットであり、 ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{s}}$これは「散乱体」と呼ばれるオブジェクトの集合です。

エッジセット${\displaystyle {\mathcal {E}}}$伝播モデルは頂点間の伝播条件をモデル化します。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$単純であると想定される、${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {V}}^{2}}$エッジは、頂点のペアによって識別されることがあります。${\displaystyle e=(v,v')}$ エッジ${\displaystyle e=(v,v')}$に含まれる${\displaystyle {\mathcal {E}}}$頂点から発信された信号${\displaystyle v}$伝播する可能性がある${\displaystyle v'}$伝播グラフでは、送信機は入力エッジを持つことができず、受信機は出力エッジを持つことができません。

2つの伝播規則が想定される

• 頂点は、入力エッジを介して流入する信号を合計し、スケーリングされたバージョンを出力エッジを介して送信します。
• 各辺${\displaystyle e=(v,v')}$信号を転送する${\displaystyle v}$に${\displaystyle v'}$伝達関数によってスケーリングされる。

頂点ゲインスケーリングとエッジ伝達関数の定義は、特定のシナリオに合わせて調整することができ、シミュレーションでモデルを使用するためには定義しておく必要がある。これまでに発表された文献では、さまざまな伝播グラフモデルに対して、このような定義が数多く検討されてきた。

エッジ伝達関数（フーリエ領域）は、伝達行列にグループ化できます。

• ${\displaystyle \mathbf {D} (f)}$送信機から受信機への直接伝搬
• ${\displaystyle \mathbf {T} (f)}$送信機から散乱体へ
• ${\displaystyle \mathbf {R} (f)}$散乱体から受信機へ
• ${\displaystyle \mathbf {B} (f)}$散乱体から散乱体へ、

どこ${\displaystyle f}$は頻度変数です。

送信信号のフーリエ変換を次のように表す。${\displaystyle \mathbf {X} (f)}$受信信号は周波数領域で読み取られる $${\displaystyle \mathbf {Y} (f)=\mathbf {D} (f)\mathbf {X} (f)+\mathbf {R} (f)\mathbf {T} (f)\mathbf {X} (f)+\mathbf {R} (f)\mathbf {B} (f)\mathbf {T} (f)\mathbf {X} (f)+\mathbf {R} (f)\mathbf {B} ^{2}(f)\mathbf {T} (f)\mathbf {X} (f)+\cdots }$$

伝達関数${\displaystyle \mathbf {H} (f)}$伝播グラフの無限級数を形成する^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} (f)&=\mathbf {D} (f)+\mathbf {R} (f)[\mathbf {I} +\mathbf {B} (f)+\mathbf {B} (f)^{2}+\cdots ]\mathbf {T} (f)\\&=\mathbf {D} (f)+\mathbf {R} (f)\sum _{k=0}^{\infty }\mathbf {B} (f)^{k}\mathbf {T} (f)\end{aligned}}}$$ 伝達関数は演算子のノイマン級数である。あるいは、周波数ごとに行列の幾何級数として捉えることもできる。この考察から、伝達関数の閉形式表現が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {H} (f)=\mathbf {D} (f)+\mathbf {R} (f)[\mathbf {I} -\mathbf {B} (f)]^{-1}\mathbf {T} (f),\qquad \rho (\mathbf {B} (f))<1}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {I} }$は単位行列を表し、${\displaystyle \rho (\cdot )}$は、引数として与えられる行列のスペクトル半径です。伝達関数は、「反射」の回数に関係なく伝搬経路を考慮します。

この級数は多重散乱理論のボルン級数に似ている。^{[ 4 ]}

インパルス応答$\displaystyle \mathbf {h} (\tau )}$逆フーリエ変換によって得られる${\displaystyle \mathbf {H} (f)}$

部分伝達関数

部分和については閉形式の式が利用可能であり、伝達関数の項の一部のみを考慮することで実現できます。信号成分の伝搬に関する部分伝達関数は、少なくとも${\displaystyle K}$そして最大${\displaystyle L}$相互作用は次のように定義される $${\displaystyle \mathbf {H} _{K:L}(f)=\sum _{k=K}^{L}\mathbf {H} _{k}(f)}$$どこ $${\displaystyle \mathbf {H} _{k}(f)={\begin{cases}\mathbf {D} (f),&k=0\\\mathbf {R} (f)\mathbf {B} ^{k-1}(f)\mathbf {T} (f),&k=1,2,3,\ldots \end{cases}}}$$ ここ${\displaystyle k}$は、相互作用の回数または跳ね返りの順序を表します。

部分伝達関数は次のようになります^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {H} _{K:L}(f)={\begin{cases}\mathbf {D} (f)+\mathbf {R} (f)[\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{L}(f)]\cdot [\mathbf {I} -\mathbf {B} (f)]^{-1}\cdot \mathbf {T} (f),&K=0\\\mathbf {R} (f)[\mathbf {B} ^{K-1}(f)-\mathbf {B} ^{L}(f)]\cdot [\mathbf {I} -\mathbf {B} (f)]^{-1}\cdot \mathbf {T} (f),&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}}$$ 特別なケース：

• ${\displaystyle \mathbf {H} _{0:\infty }(f)=\mathbf {H} (f)}$: 完全な伝達関数。
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{1:\infty }(f)=\mathbf {R} (f)[\mathbf {I} -\mathbf {B} (f)]^{-1}\mathbf {T} (f)}$: 間接目的語のみ。
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{0:L}(f)}$: 条件のみ${\displaystyle L}$または、保持されるバウンスが少なくなります（${\displaystyle L}$-バウンス切り捨て）。
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{L+1:\infty }(f)}$: 誤差項 ${\displaystyle L}$-バウンス切り捨て。

部分伝達関数の応用例の一つとして、ハイブリッドモデルが挙げられる。ハイブリッドモデルでは、伝播グラフを用いて応答の一部（通常は高次の相互作用）をモデル化する。

部分的なインパルス応答${\displaystyle \mathbf {h} _{K:L}(\tau )}$から得られる${\displaystyle \mathbf {H} _{K:L}(f)}$逆フーリエ変換によって。

伝搬グラフ手法は、さまざまな設定で無線チャネルモデルを作成するために適用されてきました。このようなモデルは伝搬グラフモデルと呼ばれます。このようなモデルは、以下のようなシナリオ向けに導出されています。

• 単偏波室内チャネル。初期の伝搬グラフモデル^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}は単偏波室内チャネル用に導出されました。
• ^{[ 5 ]}では、室内伝搬シナリオのための偏波伝搬グラフモデルが開発されている。
• 伝搬グラフのフレームワークは、^{[ 6 ]}で時間変動シナリオ（車両間通信など）に拡張されています。地上通信では、物体の相対速度が制限されるため、チャネルは準静的であると仮定でき、各タイムステップで静的モデルを適用できます。
• ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}を含む多くの研究では、残響現象のシミュレーションを可能にするために、伝搬グラフがレイ・トレーシング・モデルに統合されています。このようなモデルはハイブリッド・モデルと呼ばれます。
• 屋外から屋内へのケースを含む複雑な環境。^{[ 11 ]は、これらのシナリオの伝搬グラフの特殊な構造を利用して研究することができます。非常に複雑な環境に対する応答を得るための計算方法は[ 12 ]}で開発されています。
• グラフモデル手法は、空間的に一貫性のあるMIMOチャネルモデルを作成するために使用されてきました。^{[ 13 ]}
• 高速鉄道通信向けにいくつかの伝搬グラフモデルが発表されている。^{[ 14 ] [ 15 ]}

伝搬グラフモデルを較正するには、そのパラメータを適切な値に設定する必要があります。さまざまなアプローチが考えられます。特定のパラメータは、部屋の単純化された形状から導出できます。特に、残響時間は、部屋の電磁気学によって計算できます。あるいは、モーメント法（統計学） ^{[ 5 ]}、近似ベイズ計算^{[ 16 ]} 、またはディープニューラルネットワーク^{[ 17 ]}などの推論技術を使用して、測定データに基づいてパラメータを設定することもできます。

伝播グラフモデリングの手法は他の手法と関連している。特に、

• 多重散乱理論
• ラジオシティ
• レイトレーシング
• 幾何学的確率的チャネルモデル（GBSCM）