位相空間の公理的基礎

数学の位相分野では、位相空間は通常、その開集合を宣言することによって定義されます。^{[ 1 ]}しかし、これは必ずしも必要ではなく、それぞれがまったく同じ概念につながる多くの同等の公理的基礎があります。たとえば、位相空間は、閉集合、閉包演算子と内部演算子、およびさまざまなタイプのオブジェクトの収束のクラスを決定します。これらのそれぞれを、代わりにオブジェクトの主要クラスとして取り、他のすべて（開集合のクラスを含む）をその新しい出発点から直接決定することができます。たとえば、カジミエシュ・クラトフスキの有名な点集合位相の教科書では、位相空間は、あるタイプの「閉包演算子」とともに集合として定義され、他のすべての概念はそこから導き出されます。^{[ 2 ]}同様に、近傍に基づく公理（ハウスドルフ空間の文脈において）は、フェリックス・ハウスドルフの『概念論の基礎』における位相空間の元の定義に遡ることができる。

多くの教科書では、点集合位相を展開するために、概念間のさまざまな相互依存関係が用いられています。結果として得られるのは、開集合、閉集合など、常に同じオブジェクトの集合です。多くの実際的な目的においては、どの基礎が選ばれるかは問題ではありません。なぜなら、展開方法の選択に関わらず、オブジェクト（その多くはこの記事で説明されています）の意味と相互関係が理解されていればよいからです。しかし、柔軟性を持つことが有用な場合もあります。例えば、測度の収束にはさまざまな自然な概念があり、それらが位相構造から生じるのかどうかはすぐには明らかではありません。このような疑問は、収束に基づく位相公理によって大きく明確化されます。

位相空間は集合である${\displaystyle X}$コレクションと共に${\displaystyle S}$サブセットの​${\displaystyle X}$満足: ^{[ 3 ]}

• 空集合と${\displaystyle X}$は${\displaystyle S.}$
• 集合の和集合は${\displaystyle S}$も${\displaystyle S.}$
• 任意の2つの集合の共通部分${\displaystyle S}$も${\displaystyle S.}$同様に、有限集合の共通部分は${\displaystyle S}$も${\displaystyle S.}$

位相空間が与えられた場合${\displaystyle (X,S),}$1つは要素を指します${\displaystyle S}$開集合として${\displaystyle X,}$そして、一般的には、${\displaystyle S}$このように、あるいは「トポロジー」というラベルによって。次に、以下の二次的な定義を行う。

• 第二の位相空間が与えられた場合${\displaystyle Y,}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての開部分集合に対して が成り立つ場合に限り連続であると言われる。${\displaystyle U}$の${\displaystyle Y,}$1つは${\displaystyle f^{-1}(U)}$は、の開部分集合である。${\displaystyle X.}$^{[ 4 ]}
• サブセット${\displaystyle C}$の${\displaystyle X}$が閉じているのは、その補集合が閉じている場合に限る。${\displaystyle X\setminus C}$開いています。^{[ 5 ]}
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$閉包とは、そのような点を含む任意の開集合と必ず交わるようなすべての点の集合である。${\displaystyle A.}$^{[ 6 ]}
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$内部は、に含まれるすべての開集合の和集合です。${\displaystyle A.}$^{[ 7 ]}
• 要素が与えられた場合${\displaystyle x}$の${\displaystyle X,}$サブセットは${\displaystyle A}$近隣地域​${\displaystyle x}$かつその場合に限り${\displaystyle x}$は、のオープンサブセットに含まれる。${\displaystyle X}$これはまた、${\displaystyle A.}$^{[ 8 ]}一部の教科書では「近隣の${\displaystyle x}$代わりに、${\displaystyle x.}$^{[ 9 ]}
• ネットは一点に収束すると言う${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$任意の開集合に対して${\displaystyle U}$含む${\displaystyle x,}$ネットは最終的に${\displaystyle U.}$^{[ 10 ]}
• 集合が与えられた${\displaystyle X,}$フィルターは、空でない部分集合の集合です。${\displaystyle X}$これは有限の交差とスーパーセットの下で閉じている。^{[ 11 ]}一部の教科書では、フィルタが空集合を含むことを許容し、空集合が除外される場合に「適切なフィルタ」という名前を予約している。^{[ 12 ]}上の位相${\displaystyle X}$フィルターが一点に収束するという概念を定義する${\displaystyle x}$の${\displaystyle X,}$任意の開集合を要求することによって${\displaystyle U}$含む${\displaystyle x}$はフィルタの要素である。^{[ 13 ]}
• 集合が与えられた${\displaystyle X,}$フィルタベースとは、任意の2つの部分集合が非自明に交差し、その交差部分に3つ目の部分集合を含むような、空でない部分集合の集合である。^{[ 14 ]}上のトポロジーが与えられた場合${\displaystyle X,}$フィルタベースは一点に収束すると言う${\displaystyle x}$すべての近隣地域${\displaystyle x}$フィルタベースの要素の一部が含まれています。^{[ 15 ]}

させて${\displaystyle X}$位相空間である。ド・モルガンの法則によれば、集合は${\displaystyle T}$閉集合の次の性質を満たす: ^{[ 16 ]}

• 空集合と${\displaystyle X}$要素${\displaystyle T}$
• 集合の共通部分${\displaystyle T}$も${\displaystyle T.}$
• 任意の2つの集合の和集合${\displaystyle T}$も${\displaystyle T.}$

さて、${\displaystyle X}$は単なる集合です。任意のコレクションが与えられた場合${\displaystyle T}$サブセットの${\displaystyle X}$上記の公理を満たす対応する集合${\displaystyle \{U:X\setminus U\in T\}}$はトポロジーである${\displaystyle X,}$そしてそれは唯一のトポロジーです${\displaystyle X}$そのために${\displaystyle T}$は対応する閉集合の集合である。^{[ 17 ]}つまり、閉集合を宣言することで位相を定義できるということである。したがって、すべての定義を閉集合の観点から言い換えることができる。

• 第二の位相空間が与えられた場合${\displaystyle Y,}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての閉部分集合に対して、${\displaystyle U}$の${\displaystyle Y,}$セット${\displaystyle f^{-1}(U)}$は、のサブセットとして閉じられています。${\displaystyle X.}$^{[ 18 ]}
• 部分集合${\displaystyle C}$の${\displaystyle X}$が開いているのは、その補集合が開いている場合に限る。${\displaystyle X\setminus C}$閉鎖されています。^{[ 19 ]}
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$閉包とは、を含むすべての閉集合の共通部分である。${\displaystyle A.}$^{[ 20 ]}
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$内部は、すべての閉集合の共通部分の補集合である。${\displaystyle X\setminus A.}$

位相空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$閉鎖は地図と考えることができる${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$どこ${\displaystyle \wp (X)}$の冪集合を表す${\displaystyle X.}$クラトフスキー閉包公理は次のようになる。^{[ 21 ]}

• ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$

もし${\displaystyle X}$は、上記の性質を満たす写像を備えた集合である。このとき、cl のすべての可能な出力の集合は、閉集合に関する前述の公理を満たし、したがって位相を定義する。これは、関連する閉包演算子が与えられた cl と一致する唯一の位相である。^{[ 22 ]}前述のように、位相空間上では、${\displaystyle X,}$すべての定義は、閉包演算子を用いて表現できる。

• 第二の位相空間が与えられた場合${\displaystyle Y,}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての部分集合に対して、${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$1つは、そのセットが${\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))}$は、${\displaystyle \operatorname {cl} (f(A)).}$^{[ 23 ]}
• サブセット${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$開いているのは、${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus A)=X\setminus A.}$^{[ 24 ]}
• サブセット${\displaystyle C}$の${\displaystyle X}$が閉じているのは、${\displaystyle \operatorname {cl} (C)=C.}$^{[ 25 ]}
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$インテリアは${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus A).}$^{[ 26 ]}

位相空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$内部は地図と考えることができる${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$どこ${\displaystyle \wp (X)}$の冪集合を表す${\displaystyle X.}$以下の条件を満たします。^{[ 27 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {int} (A)\subseteq A}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (X)=X}$

もし${\displaystyle X}$が上記の性質を満たす写像を備えた集合である場合、int のすべての可能な出力の集合は開集合に関する前述の公理を満たし、したがって位相を定義します。これは、関連付けられた内部演算子が与えられた int と一致する唯一の位相です。^{[ 28 ]}位相空間上では、${\displaystyle X,}$すべての定義は、例えば内部演算子を用いて表現することができる。

• 位相空間が与えられた${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y,}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての部分集合に対して、${\displaystyle B}$の${\displaystyle Y,}$1つは、そのセットが${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} (B))}$は、${\displaystyle \operatorname {int} (f^{-1}(B)).}$^{[ 29 ]}
• 集合が開いているのは、それがその内部と等しい場合に限る。^{[ 30 ]}
• 集合の閉包は、その補集合の内部の補集合である。^{[ 31 ]}

位相空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$外観は地図と考えることができる${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$どこ${\displaystyle \wp (X)}$の冪集合を表す${\displaystyle X.}$以下の条件を満たします: ^{[ 32 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {ext} (\varnothing )=X}$
• ${\displaystyle A\cap \operatorname {ext} (A)=\varnothing }$
• ${\displaystyle \operatorname {ext} (X\setminus \operatorname {ext} (A))=\operatorname {ext} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {ext} (A\cup B)=\operatorname {ext} (A)\cap \operatorname {ext} (B)}$

もし${\displaystyle X}$が上記の性質を満たす写像を備えた集合である場合、内部演算子を定義でき、その逆も同様です。より正確には、 を定義する場合${\displaystyle \operatorname {int} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }=\operatorname {ext} (X\setminus A)}$、${\displaystyle \operatorname {int} _{\operatorname {ext} }}$内部演算子の公理を満たし、したがって位相を定義する。^{[ 33 ]}逆に、と定義すると${\displaystyle \operatorname {ext} _{\operatorname {int} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }=\operatorname {int} (X\setminus A)}$、${\displaystyle \operatorname {ext} _{\operatorname {int} }}$上記の公理を満たす。さらに、これらの対応は1対1である。したがって、位相空間上で${\displaystyle X,}$すべての定義は、外部演算子を用いて表現できます。例えば、次のようになります。

• 集合の閉包とは、その外側の補集合のことである。${\displaystyle \operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }(A)=X\setminus \operatorname {ext} (A)}$。

• 第二の位相空間が与えられた場合${\displaystyle Y,}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての部分集合に対して、${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$1つは、そのセットが${\displaystyle f(X\setminus \operatorname {ext} (A))}$は、${\displaystyle X\setminus \operatorname {ext} (f(A)).}$同様に、${\displaystyle f}$は、すべての部分集合に対して、${\displaystyle B}$の${\displaystyle Y,}$1つは、そのセットが${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {ext} (X\setminus B))}$は、${\displaystyle \operatorname {ext} (X\setminus f^{-1}(B)).}$
• 集合が開集合であるのは、その集合が補集合の外部集合と等しい場合に限る。
• 集合が閉じているのは、それがその外部集合の補集合と等しい場合、かつその場合に限る。

位相空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$境界線は地図と考えることができる${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$どこ${\displaystyle \wp (X)}$の冪集合を表す${\displaystyle X.}$以下の条件を満たします: ^{[ 32 ]}

• ${\displaystyle \partial A=\partial (X\setminus A)}$
• ${\displaystyle \partial (\partial (A))\subseteq \partial (A)}$
• ${\displaystyle \partial (A\cup B)\subseteq \partial (A)\cup \partial (B)}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \partial A\subseteq B\cup \partial B}$
• ${\displaystyle \partial (\varnothing )=\varnothing }$

もし${\displaystyle X}$が上記の性質を満たす写像を備えた集合である場合、閉包演算子を定義でき、その逆もまた同様です。より正確には、 を定義する場合${\displaystyle \operatorname {cl} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\partial }(A)=A\cup \partial (A)}$、${\displaystyle \operatorname {cl} _{\partial }}$閉包公理を満たすため、境界演算は位相を定義する。逆に、定義すると${\displaystyle \partial _{\operatorname {cl} }:\wp (X)\to \wp (X),\partial _{\operatorname {cl} }=\operatorname {cl} (A)\cap \operatorname {cl} (X\setminus A)}$、${\displaystyle \partial _{\operatorname {cl} }}$上記の公理を満たす。さらに、これらの対応は1対1である。したがって、位相空間上で${\displaystyle X,}$すべての定義は境界演算子を用いて表現することができ、例えば次のようになる。

• ${\displaystyle \operatorname {int} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\partial }(A)=A\setminus \partial (A)}$
• 集合が開いているのは、${\displaystyle \partial (A)\cap A=\varnothing }$。
• 集合が閉じているのは、${\displaystyle \partial (A)\subseteq A}$。

部分集合の派生集合${\displaystyle S}$位相空間の${\displaystyle X}$すべての点の集合${\displaystyle x\in X}$限界点​${\displaystyle S,}$つまり、ポイント${\displaystyle x}$そのため、すべての近隣地域が${\displaystyle x}$点を含む${\displaystyle S}$以外${\displaystyle x}$それ自体。派生セット${\displaystyle S\subseteq X}$、と表記される${\displaystyle S^{*}}$、以下の条件を満たす：^{[ 32 ]}

• ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
• すべての人にとって${\displaystyle x\in X,x\not \in \{x\}^{*}}$
• ${\displaystyle A^{**}\subseteq A\cup A^{*}}$
• ${\displaystyle (A\cup B)^{*}=A^{*}\cup B^{*}}$

セットなので${\displaystyle S}$が閉じているのは、${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$^{[ 34 ]}導出集合は位相を一意に定義する。したがって、位相空間では${\displaystyle X,}$すべての定義は派生集合の観点から表現できる。例えば、次のようになる。

• ${\displaystyle \operatorname {cl} (A)=A\cup A^{*}}$。

• 位相空間が与えられた${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y,}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての部分集合に対して、${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$1つは、そのセットが${\displaystyle f(A^{*})}$は、${\displaystyle {f(A)}^{*}\cup f(A)}$[ ^{35 ]​}

孤立集合（ある集合のすべての孤立点の集合）を用いて位相空間を定義することも可能であることに留意しておく価値がある。

この記事では、近傍が必ずしも開いているとは限らないという慣例に従っていることを思い出してください。位相空間では、次の事実が成り立ちます。^{[ 36 ]}

• もし${\displaystyle U}$近隣地域${\displaystyle x}$それから${\displaystyle x}$は${\displaystyle U.}$
• 2 つの地区の交差点${\displaystyle x}$近隣地域${\displaystyle x.}$同等に、有限個の近傍の交差${\displaystyle x}$近隣地域${\displaystyle x.}$
• もし${\displaystyle V}$近隣地域を含む${\displaystyle x,}$それから${\displaystyle V}$近隣地域${\displaystyle x.}$
• もし${\displaystyle U}$近隣地域${\displaystyle x,}$すると近隣が存在する${\displaystyle V}$の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle U}$各点の近傍は${\displaystyle V}$。

もし${\displaystyle X}$は集合であり、 の各点に対して空でない近傍の集合を宣言する。${\displaystyle X,}$上記の条件を満たす場合、各点の近傍である場合に限り、集合が開集合であると宣言することによって位相が定義されます。これは、関連する近傍システムが与えられたような一意の位相です。^{[ 36 ]}したがって、位相空間では${\displaystyle X,}$すべての定義は、地域という観点から表現することができる。

• 別の位相空間が与えられた場合${\displaystyle Y,}$地図${\displaystyle f:X\to Y}$連続であるのは、すべての要素に対してのみである。${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$そしてすべての地域${\displaystyle B}$の${\displaystyle f(x),}$原像${\displaystyle f^{-1}(B)}$近隣地域${\displaystyle x.}$^{[ 37 ]}
• サブセット${\displaystyle X}$が開いているのは、それがその各点の近傍である場合に限る。
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$インテリアはあらゆる要素の集合体である${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle A}$は近隣地域です${\displaystyle x}$。
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$クロージャはすべての要素の集合です${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$そのため、すべての近隣地域${\displaystyle x}$交差する${\displaystyle A.}$^{[ 38 ]}

ネットの収束は次の性質を満たします: ^{[ 39 ] [ 40 ]}

1. すべての定数ネットは、それ自身に収束する。
2. 収束型ネットワークのすべてのサブネットは、同じ限界値に収束する。
3. ネットが一点に収束しない場合${\displaystyle x}$すると、それ以上のサブネットが収束しないサブネットが存在する。${\displaystyle x.}$同様に、${\displaystyle x_{\bullet }}$は、そのすべてのサブネットが一点に収束するサブサブネットを持つようなネットである。${\displaystyle x,}$それから${\displaystyle x_{\bullet }}$収束して${\displaystyle x.}$
4. 対角原理/反復極限の収束。${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}\to x}$で${\displaystyle X}$そしてすべてのインデックスについて${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{i\in I_{a}}}$は、収束するネットです。${\displaystyle x_{a}}$で${\displaystyle X,}$すると、対角線（部分）網が存在する。${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}}$収束して${\displaystyle x.}$

• A対角線ネットとは、${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}.}$
• : 表記${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}}$ネットは次のように定義されます${\displaystyle (a,i)\mapsto x_{a}^{i}}$その定義域は集合である${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a}}$辞書順で最初に${\displaystyle A}$そして、${\displaystyle I_{a};}$^{[ 40 ]}明示的に、任意の 2 つのペアが与えられた場合${\displaystyle (a_{1},i_{1}),\left(a_{2},i_{2}\right)\in {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a},}$宣言する${\displaystyle (a_{1},i_{1})\leq \left(a_{2},i_{2}\right)}$両方が成り立つ場合に限り成立する (1)${\displaystyle a_{1}\leq a_{2},}$また（２）もし${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$それから${\displaystyle i_{1}\leq i_{2}.}$

もし${\displaystyle X}$が集合である場合、上記の 4 つの公理を満たすネット収束の概念 (どのネットがどの点に収束するかを示す^{[ 40 ]} ) が与えられたとき、 上の閉包演算子は${\displaystyle X}$は、任意のセットを送信することによって定義されます。${\displaystyle A}$すべてのネットのすべての限界の集合に評価される${\displaystyle A;}$対応するトポロジーは、与えられたネットの点への収束を誘導する唯一のトポロジーである。^{[ 39 ]}

部分集合が与えられた場合${\displaystyle A\subseteq X}$位相空間の${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle A}$オープンしています${\displaystyle X}$すべてのネットが要素に収束する場合に限り、${\displaystyle A}$最終的には${\displaystyle A.}$
• 閉鎖${\displaystyle A}$で${\displaystyle X}$は、値をとるすべての収束ネットのすべての極限の集合です。${\displaystyle A.}$^{[ 41 ] [ 40 ]}
• ${\displaystyle A}$閉鎖中${\displaystyle X}$ネットが存在しない場合に限る${\displaystyle A}$それは補集合の要素に収束する${\displaystyle X\setminus A.}$^{[ 42 ]}部分集合${\displaystyle A\subseteq X}$閉鎖中${\displaystyle X}$すべての収束ネットのすべての限界点が${\displaystyle A}$必然的に${\displaystyle A.}$^{[ 43 ]}

関数${\displaystyle f:X\to Y}$2 つの位相空間間の連続性は、すべての${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのネット${\displaystyle x_{\bullet }}$で${\displaystyle X}$収束して${\displaystyle x}$で${\displaystyle X,}$ネット${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$^{[注1 ]}は収束する${\displaystyle f(x)}$で${\displaystyle Y.}$^{[ 44 ]}

トポロジーは、どのフィルタがどの点に収束するかを宣言することによって、集合上に定義することもできます。フィルタとプリフィルタ（フィルタベースとも呼ばれる）の観点から、標準オブジェクトには次のような特徴付けがあります。

• 第二の位相空間が与えられた場合${\displaystyle Y,}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$連続であるのは、それが前フィルタの収束を維持する場合に限る。^{[ 45 ]}
• サブセット${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$は、すべてのフィルタが要素に収束する場合に限り開かれる。${\displaystyle A}$含まれる${\displaystyle A.}$^{[ 46 ]}
• サブセット${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$は、事前フィルタが存在しない場合にのみ閉じられます。${\displaystyle A}$これは補空間内の1点に収束する。${\displaystyle X\setminus A.}$^{[ 47 ]}
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$閉包はすべての点から構成される${\displaystyle x}$プリフィルターが設定されている${\displaystyle A}$収束して${\displaystyle x.}$^{[ 48 ]}
• サブセット${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$近隣地域${\displaystyle x}$収束するすべてのフィルタの要素である場合に限り${\displaystyle x.}$^{[ 46 ]}

• コーシー空間– 一般的な位相幾何学と解析学における概念 
• 収束空間– 一般的な位相幾何学に見られる収束の概念の一般化 
• トポロジーにおけるフィルタ
• シーケンス空間– シーケンスによって特徴付けられる位相空間 
• 位相（構造）– 位相空間の開部分集合の集合 

注記

• Dugundji, James (1978).トポロジー. Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics (1966年初版の復刻版 ). ボストン、マサチューセッツ州–ロンドン–シドニー: Allyn and Bacon, Inc.
• エンゲルキング、リザード（1977）。一般的なトポロジ。モノグラフィー・マテマティチュネ。 Vol.  60 (ポーランド語版から著者による翻訳 )。ワルシャワ: PWN - ポーランドの科学出版社。
• ケリー、ジョン・L. (1975).一般位相幾何学. 大学院数学テキスト第 27巻（1955年 版の復刻版）. ニューヨーク・ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク.
• クラトフスキー、K. (1966)。トポロジー。 Vol. I. (J. Jaworowski によるフランス語からの翻訳。改訂および増補 版)。ニューヨーク-ロンドン/ワルシャワ: Academic Press/Państwowe Wydawnictwo Naukowe。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240。​