ナポレオンの定理

幾何学において、ナポレオンの定理は、任意の三角形の各辺上に正三角形を作図した場合（すべて外側またはすべて内側）、それらの正三角形の中心を結ぶ線分自体が正三角形を形成すると述べている。

このようにして形成された三角形は、内側ナポレオン三角形または外側ナポレオン三角形と呼ばれます。外側ナポレオン三角形と内側ナポレオン三角形の面積の差は、元の三角形の面積に等しくなります。

この定理はナポレオン・ボナパルト（1769～1821年）に帰せられることが多い。ハワード・イーブスによれば、この定理とナポレオンの名前を冠した作図問題は、彼の友人であり顧問であったロレンツォ・マスケローニ（1750～1800年）によって発見され、彼は皇帝にそれらを自分のものとして主張させたという。^{[ 1 ]}フランス皇帝の死後4年後の1825年にW・ラザフォードが『レディース・ダイアリー』に発表した問題に遡る可能性を示唆する人もいるが、^{[ 2 ] [ 3 ]}その結果は1820年10月にダブリン大学で行われた金メダル試験の3つの問題で取り上げられており、ナポレオンは翌年の5月に死去している。

上の図において、△ ABCは元の三角形です。 △ AZB、△ BXC、△ CYAは、その辺の外側に作図された正三角形であり、点L、M、Nはこれらの三角形の重心です。外側三角形の定理によれば、三角形△ LMN（緑色）は正三角形です。

△ LMNが正三角形であることを示す簡単な方法は、点Aを中心とした時計回りの30°回転と、比の相似変換によってMNがCZになることを観察することです。$\displaystyle {\sqrt {3}}}$同じ中心を持ち、 LNもB の周りを反時計回りに 30° 回転させ、比率の相似変換を行うとCZになる。$\displaystyle {\sqrt {3}}}$同じ中心を持つ。それぞれの螺旋の類似性^{[ 4 ]}は${\displaystyle A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }).}$つまり、MN = LNであり、それらの間の角度は 60° でなければならない。 ^{[ 5 ]}

実際には、この定理の主張の証明は多数あり、合成的（座標フリー）証明^{[ 6 ]} 、三角関数による証明^{[ 7 ]}、対称性に基づくアプローチ[ ^{8 ] 、}複素数を用いた証明^{[ 7 ] [ 9 ]}などがある。

この定理はしばしばナポレオンに帰せられてきたが、この問題に関して書かれたいくつかの論文^{[ 10 ] [ 11 ]}は、この主張に疑問を投げかけている（グリュンバウム2012を参照）。

以下の記述は、1825年の『婦人日記』47ページに掲載された（つまり、ダブリン試験問題集の編纂から約1年後の1824年末）。これはナポレオンの定理が印刷物として初めて登場した例であり、ナポレオンの名前は記されていない。

VII. クエスト（1439年）；W. ラザフォード氏（ウッドバーン）著。

「任意の三角形△ ABCの3辺上に、正三角形（頂点がすべて外側を向いているか、すべて内側を向いているかのいずれか）を描きなさい。すると、それら3つの正三角形の重心を結ぶ線分は、正三角形を構成する。証明が必要。」

ウィリアム・ラザフォードは非常に有能な数学者であったため、彼自身が証明できたはずの定理の証明を求めた動機は不明である。おそらく彼は同僚への挑戦としてこの問題を提起したか、あるいはより洗練された解決策が寄せられることを期待していたのかもしれない。しかし、 1820年代の『レディース・ダイアリー』誌の連続した号を読むと、編集者は毎年、初心者向けの練習問題を含む、多様な問題を掲載しようとしていたことが明らかである。

明らかに、問題文にも、1年後の1826年に発表された解答にも、ナポレオンへの言及はない。ただし、編集者が一部の投稿を省略したことは明らかである。また、印刷された解答の後の解答者リストにはラザフォードの名前は載っていないが、数ページ前の集計から、彼自身も解答を送っていたことは明らかであり、ウッドバーン・スクールの彼の生徒や仲間数名も、発表された最初の解答を含め、解答を送っていた。実際、今日でいうところのウッドバーン問題解決グループは、当時すでに十分に有名で、『ノーサンバーランド州の歴史的、地理的、記述的概観』（第2版、第2巻、123～124ページ ）に記述されているほどであった。この結果がナポレオンの定理として最初に言及されたのは、1911年に出版されたファイフォファーの『幾何学の要素』第17版であると考えられていたが^{[ 12 ]} 、ファイフォファーは実際にはそれより少し前の版でナポレオンについて言及している。しかし、1867年の百科事典でこの文脈でナポレオンの名前が言及されているのが見つかるので、これは議論の余地のないことです。ファイフォファーに関して歴史的に興味深いのは、彼が以前の版で使用していた問題です。それは、1754年にトーマス・モスが『レディース・ダイアリー』で提起した、与えられた三角形に最大の正三角形を外接させるという古典的な問題で、翌年にウィリアム・ベヴィルが解いた問題の中に、ナポレオンの定理の萌芽を容易に見出すことができます。この2つの結果は、少なくともその後100年間、大衆向け年鑑の問題ページで交互に掲載されました。1973年にホンスベルガーが『数学の宝石』で彼自身の斬新なアイデアだと思ったことを提案したとき、彼は実際には、この広大ではあるものの非公式な文献の一部を要約していたのです。

ピタゴラスの定理のよく知られた変形として、三角形の辺に正方形を置く場合、三角形の辺に正三角形を置くという方法があったことを思い出すと良いだろう。正方形でできることを正三角形でもできるだろうか。例えば、直角三角形の場合、斜辺上の三角形を脚上の三角形に分割できるだろうか。ユークリッドの風車や花嫁の椅子の他の性質について著者が繰り返し考察したように、正方形を正三角形に置き換えた同等の図形も注目を集め、実際に注目を集めた。この点で最も壮大な試みは、おそらくウィリアム・メイソンが1864年の『Lady's and Gentleman's Diary』に掲載した懸賞問題だろう。その解答と解説は翌年、約15ページにも及ぶ。その頃には、この由緒ある媒体（1704年に『Ladies' Diary』、1741年に『Gentleman's Diary』が創刊された）は末期状態にあったが、同様の問題は『Educational Times』でも1900年代初頭まで続いた。

内側と外側のナポレオン三角形の中心は、元の三角形の重心と一致します。この一致は、前述のように、1867年のチェンバース百科事典で指摘されています。その項目には署名がありません。当時エディンバラ大学の自然哲学教授であったPGテイトが寄稿者の一人として挙げられていますが、同じくエディンバラ大学の数学講師であったJUヒルハウスは、百科事典の常任スタッフと長短さまざまな期間関係していた他の文学者たちの中に登場します。しかし、同じく1867年の『四元数に関する初等論文』^{[ 16 ]}の第189節(e)で、テイトはこの問題を取り上げています（実際には、1831年のジェントルマンズ・ダイアリーにおけるデイヴィスの質問1265に関する発言を、今度は四元数の設定で繰り返しているのです）。

三角形の各辺の中点に、それぞれの辺の長さに比例する垂線を引いたとき、それらの垂線の両端の平均点は元の三角形の平均点と一致する。新しい三角形が正三角形となるためには、それぞれの垂線の長さと元の三角形の対応する辺の長さの半分との比を求めよ。

テイトは、任意の三角形の辺上に外側に立てられた正三角形の平均点が正三角形を形成すると結論付けている。この議論は、1873年と1890年の改訂版、および1873年にフィリップ・ケランドと共著した『四元数入門』^{[ 17 ]}にも引き継がれている。

面積△の三角形の内側のナポレオン三角形の面積は

$${\displaystyle {\text{面積(内側)}}=-{\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}$$

ここで、a、b、cは元の三角形の辺の長さであり、ヴァイツェンベックの不等式により、元の三角形が正三角形の場合にのみ等しくなります。しかし、代数的な観点からは^{[ 18 ]}、内側の三角形は「逆向き」であり、その代数的面積はこの式の負の値になります。^{[ 19 ]}

外側のナポレオン三角形の面積は^{[ 20 ]}

$${\displaystyle {\text{面積（外側）}}={\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$$

解析的に、外側のナポレオン三角形の3辺それぞれの長さは ^{[ 7 ]}であることが示せる。$${\displaystyle {\text{外側辺}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.}$$

後者の2つの式の関係は、正三角形の面積は辺の2乗に等しいというものである。$\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

• ナポレオンポイント
• ルモワーヌの問題
• ナポレオンの問題
• ファン・オーベルの定理

• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometry Revisited . New Mathematical Library . Vol.  19. Washington, DC : Mathematical Association of America . pp. 60–65 . ISBN  978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402 . 
• Grünbaum, Branko (2012)、「ナポレオンの定理は本当にナポレオンの定理なのか？」、American Mathematical Monthly、119 (6): 495–501、doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.06.495、S2CID 42928783、Zbl 1264.01010  
• ウェッツェル、ジョン・E.（1992年4月）。「ナポレオンの定理の逆定理」（PDF）。アメリカ数学月報。99 （4）：339–351。doi：10.2307/2324901。JSTOR 2324901。Zbl 1264.01010 。 2014年4月29日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。  

• ナポレオンの定理とその一般化（ Cut-the-Knotより）
• 建設の様子を見るには、instrumenpocheへ
• ジェイ・ワレンドルフによるナポレオンの定理、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。
• ワイススタイン、エリック・W. 「ナポレオンの定理」 . MathWorld .
• ナポレオンの定理（学習アクティビティとガイド付き証明）；ダイナミックジオメトリスケッチにおけるナポレオンの定理の一般化、変形、および逆定理
• ナポレオンの定理、2つの簡単な証明
• 三角形上の無限正六角形列（ナポレオンの定理の一般化） by Alvy Ray Smith。

この記事は、 PlanetMathに掲載されているナポレオンの定理の資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。