南部-ジョナ-ラシニオモデル

量子場の理論において、ナンブ・ジョナ・ラシニオモデル（より正確にはナンブ・ジョナ・ラシニオモデル）は、カイラル対称性を持つ相互作用するディラックフェルミオンから構築された核子と中間子の複雑な有効理論であり、超伝導のBCS理論における電子からのクーパー対の構築に類似している。この理論の「複雑さ」は、低エネルギーでは摂動論的に機能しない、さらに基本的な量子色力学理論の低エネルギー近似として現在では見られるようになり、より自然なものとなっている。

このモデルは、固体理論という異なる分野、特に1957年のBCSのブレークスルーから多くの影響を受けています。このモデルは、南部陽一郎（超伝導理論、すなわち「南部形式論」にも大きく貢献した）とジョバンニ・ジョナ・ラシニオの1961年の共同論文で発表されました。^[1]その後の論文には、カイラル対称性の破れ、アイソスピン、ストレンジネスが含まれていました。^[2] その頃、同じモデルがソビエトの物理学者ヴァレンティン・ヴァクスとアナトリー・ラーキンによって独立に検討されていました。^{[3] [4]}

このモデルは、基本的に対称性の原理に基づいていますが、非常に技術的です。これは、 4 つのフェルミオンの相互作用の重要性を示す例であり、偶数次元の時空で定義されます。これは依然として重要であり、主に量子色力学の効果的ではあるものの厳密ではない低エネルギーの代替として使用されます。

フェルミオン相互作用による凝縮体の動的な生成は、テクニカラーやトップクォーク凝縮体など、電弱対称性の破れに関する多くの理論に影響を与えました。

まず1フレーバーの場合から始めると、ラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\,i\,{\bar {\psi }}\partial \!\!\!/\psi +{\frac {\lambda }{4}}\,\left[\left({\bar {\psi }}\psi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-\left({\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi \right)\right]}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\,i\,{\bar {\psi }}_{L}\partial \!\!\!/\psi _{L}+\,i\,{\bar {\psi }}_{R}\partial \!\!\!/\psi _{R}+\lambda \,\left({\bar {\psi }}_{L}\psi _{R}\right)\left({\bar {\psi }}_{R}\psi _{L}\right).}$

に比例する項は、BCS理論のフォノン交換相互作用に類似した、4フェルミオン間の引力相互作用です。モデルの全体的対称性は、U(1) _Q ×U(1) _χです。ここで、Qはディラックフェルミオンの通常の電荷、χはカイラル電荷です。 は、実際には質量の逆二乗であり、短距離物理または強い相互作用スケールを表し、4フェルミオン間の引力相互作用を生み出します。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda =1/M^{2}}$

カイラル対称性のため、裸のフェルミオン質量項は存在しません。しかし、カイラル凝縮（ただし閉じ込めなし）は存在し、有効質量項とカイラル対称性の自発的対称性の破れをもたらしますが、電荷対称性は破れません。

N 個のフレーバーとラテン文字a、b、cで表されるフレーバーインデックスの場合、ラグランジアン密度は次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\,i\,{\bar {\psi }}_{a}\partial \!\!\!/\psi ^{a}+{\frac {\lambda }{4N}}\,\left[\left({\bar {\psi }}_{a}\psi ^{b}\right)\left({\bar {\psi }}_{b}\psi ^{a}\right)-\left({\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{5}\psi ^{b}\right)\left({\bar {\psi }}_{b}\gamma ^{5}\psi ^{a}\right)\right]}$

${\displaystyle =\,i\,{\bar {\psi }}_{La}\partial \!\!\!/\psi _{L}^{a}+\,i\,{\bar {\psi }}_{Ra}\partial \!\!\!/\psi _{R}^{a}+{\frac {\lambda }{N}}\,\left({\bar {\psi }}_{La}\psi _{R}^{b}\right)\left({\bar {\psi }}_{Rb}\psi _{L}^{a}\right).}$

カイラル対称性は、裸の質量項を禁じますが、カイラル凝縮は存在する可能性があります。ここでの全体的対称性は、SU( N ) _L ×SU( N ) _R × U(1) _Q × U(1) _χです。ここで、左手系フレーバーと右手系フレーバーにそれぞれ作用する SU( N ) _L ×SU( N ) _Rはカイラル対称性 (言い換えると、左手系フレーバーと右手系フレーバーの間に自然な対応はありません)、U(1) _Qはディラック電荷 (重粒子数と呼ばれることもあります)、U(1) _{χ は}軸電荷です。カイラル凝縮が形成されると、凝縮によって左手系フレーバーと右手系フレーバーのペアが形成されるため、カイラル対称性は自発的に対角サブグループ SU( N ) に破れます。軸電荷も自発的に破れます。

対称性の破れにより、質量のない擬スカラーボソンが生成されます。これはパイオンと呼​​ばれることもあります。ゴールドストーンボソンを参照してください。

前述のように、このモデルはカイラル極限における量子色力学の現象論的モデルとして使用されることがあります。しかし、カイラル対称性の破れやカイラル凝縮をモデル化することはできますが、閉じ込めをモデル化することはできません。また、このモデルでは軸対称性が自発的に破れ、QCD では軸対称性が異常に破れるのとは異なり、質量のないゴールドストーン粒子が生じます。

南部-ジョナ-ラシニオ模型は4次元時空では繰り込み不可能であるため、この理論はUV完全である必要のある有効場理論のみとなり得る。

• グロス・ヌヴーモデル

• Giovanni Jona-Lasinioおよび南部陽一郎、Nambu-Jona-Lasinio モデル、Scholarpedia、5(12):7487、(2010)。土井:10.4249/scholarpedia.7487