コストカ多項式

数学において、コストカ多項式は、数学者カール・コストカにちなんで名付けられた、コストカ数を一般化する多項式の族であり、主に代数的組合せ論と表現論で研究されている。

2 変数コストカ多項式K _λμ ( q , t ) は、コストカ–フォークス多項式、マクドナルド–コストカ多項式、q、t -コストカ多項式など、いくつかの名前で知られています。ここで、添え字 λ と μ は整数分割であり、K _λμ ( q、t ) は変数qとtの多項式です。q = 0と設定して 、つまり多項式K _λμ ( t ) = K _λμ (0, t ) を考慮することによって生じるこれらの多項式の 1 変数バージョンを考慮することがあります。

これらにはわずかに異なる 2 つのバージョンがあり、1 つは変換されたコストカ多項式と呼ばれます。^[要出典]

コストカ多項式の1変数特殊化は、ホール・リトルウッド多項式 P _μをシューア多項式 s _λに関連付けるために使用できます。

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(t)P_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};t).\ }$

これらの多項式は非負の整数係数を持つとフォークスによって推測され、これは後に1978年にアラン・ラスクーとマルセル・ポール・シュッツェンベルガーによって証明された。 ^[1] 実際、彼らは次のことを示している 。

${\displaystyle K_{\lambda \mu }(t)=\sum _{T\in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{charge(T)}}$

ここで、合計は、形状 λ と重み μ を持つすべての半標準ヤングの表に対して取られます。ここで、電荷は、半標準ヤングの表に関する特定の組み合わせ統計です。

マクドナルド・コストカ多項式は、マクドナルド多項式（ P _μとも表記）をシューア多項式 s _λに関連付けるために使用できます。

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(q,t)J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)\ }$

どこ

${\displaystyle J_{\mu}(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)=P_{\mu}(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)\prod _{s\in \mu}(1-q^{arm(s)}t^{leg(s)+1}).\ }$

コストカ数は、 1 変数または 2 変数のコストカ多項式の特殊な値です。

${\displaystyle K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).\ }$

• マクドナルド、IG（1995）、対称関数とホール多項式、オックスフォード数学モノグラフ（第2版）、クラレンドン・プレスオックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853489-1、MR  1354144^{[永久リンク切れ‍ ]}
• ネルセン、ケンドラ; ラム、アルン (2003)、「コストカ-フォークス多項式とマクドナルド球面関数」、組合せ論の調査、2003 (バンガー)、ロンドン数学協会講義ノートシリーズ、第 307 巻、ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局、pp. 325–370、arXiv : math/0401298、Bibcode :2004math......1298N、MR  2011741
• Stembridge, JR (2005)、一般型コストカ-フォークス多項式、一般化コストカ多項式に関する AIM ワークショップの講義ノート

• コストカ多項式の短い表
• コストカ多項式の長い表