パラメトリックプログラミング

パラメトリックプログラミングは数学的最適化の一種であり、最適化問題は1つまたは複数のパラメータの関数として解決されます。^[1]感度分析と並行して開発され、最も古い言及は1952年の論文にあります。 ^{[2]それ以来、複数のパラメータ、}整数変数の存在、非線形性の場合についてかなりの発展がありました。

一般的に、次のような最適化問題が考えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}J^{*}(\theta )=&\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x,\theta )\\&{\text{subject to }}g(x,\theta )\leq 0.\\&\theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{m}\end{aligned}}}$

ここで、は最適化変数、はパラメータ、は目的関数、 は制約を表します。は、出力が目的関数の最適値である関数を表します。 このセットは一般にパラメータ空間と呼ばれます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle f(x,\theta )}$${\displaystyle g(x,\theta )}$${\displaystyle J^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Theta}$

最適値（つまり、最適化問題を解いた結果）は、引数を持つ関数を評価することによって得られます。 ${\displaystyle \theta}$

およびの性質と、最適化問題に整数変数が含まれるかどうかに応じて、パラメトリック計画問題は異なるサブクラスに分類されます。 ${\displaystyle f(x,\theta )}$${\displaystyle g(x,\theta )}$

• 複数のパラメータが存在する場合、つまり、マルチパラメータ計画問題と呼ばれることが多い^[3]${\displaystyle m>1}$
• 整数変数が存在する場合、この問題は（マルチ）パラメトリック混合整数計画問題と呼ばれる^[4]
• 制約条件がアフィンである場合、（マルチ）パラメトリック（混合整数）線形、二次および非線形計画問題における目的関数の性質に応じた追加の分類が実行されます。これは通常、制約条件がアフィンであると仮定していることに注意してください。^[5]

2000 年に確立されたパラメトリック プログラミングとプロセス製造におけるモデル予測制御の関係は、このトピックへの関心の高まりに貢献しました。^{[6] [7]}パラメトリック プログラミングは、最適化問題を評価可能な関数 (ルックアップ テーブルに類似) としてパラメーター化できるというアイデアを提供します。これにより、最適コントローラの最適化アルゴリズムを事前計算された (オフライン) 数学関数として実装できるようになり、場合によっては完全な最適化問題をオンラインで解決するよりも評価が簡単で高速になる可能性があります。これにより、チップ上で最適コントローラを作成する可能性も開かれます (MPC オン チップ^[8] )。ただし、最適ソリューションのオフライン パラメーター化は、問題の次元と制約の数に応じて可能なソリューションの数が増えるため、次元の呪いに陥ります。^[要出典]

CNC (コンピュータ数値制御)のコンテキストにおけるパラメトリックプログラミングとは、ハードコード/ハードワイヤードインスタンスではなく、再割り当て可能な値を持つ変数で部品切削サイクルを定義することです。典型的な単純な例としては、ワッシャーファミリーを加工するためのG コードプログラムの作成があります。穴径、外径、厚さ、材料が異なる 15 種類のワッシャーファミリーのメンバーに対して 15 種類のプログラムを作成する必要はほとんどありません。代わりに、さまざまな変数を呼び出して割り当て表から現在の値を読み取る 1 つのプログラムを作成する方が実用的です。次に、プログラムは、部品のサイズ (外径、内径、厚さ) だけでなく、特定の材料 (低炭素鋼、高炭素鋼、あらゆるグレードのステンレス鋼、あらゆるグレードの青銅、真鍮、アルミニウム、あらゆるタイプのポリマーなど) に必要な速度と送りも考慮して、さまざまな速度でさまざまな位置に移動するように機械のスライドとスピンドルに指示します。このようなプログラミングでは、カスタムマクロがよく使用されます。^[9]