混合長さモデル

流体力学において、混合長モデルは、ニュートン流体境界層内の乱流レイノルズ応力による運動量移動を渦粘性によって記述しようとする手法である。このモデルは、20世紀初頭にルートヴィヒ・プラントルによって開発された。 ^[1]プラントル自身はこのモデルに疑問を抱いており、^[2]「単なる大まかな近似にすぎない」と述べている^{[3]が、それ以来、}大気科学、海洋学、恒星構造 など、さまざまな分野で使用されている。^[4]また、アリとデイ^[5]は、混合不安定性の高度な概念を仮説した。

混合長は、熱力学における平均自由行程の概念に概念的に類似している。流体塊は、周囲の流体と混合する前に、特性長さ、に対してその特性を保存する。プラントルは、混合長、 ^[6]${\displaystyle \\xi'}$

個々のケースで全体として移動する流体の塊の直径と考えることができます。また、このタイプの塊が隣接する塊と混ざり合う前に移動する距離と考えることもできます...

上の図では、物体が温度勾配 を横切って移動する間、温度 は一定の距離にわたって保存されます。物体がこの過程を通じて経験した温度の変動は です。したがって、 は、物体がこの混合長さ を移動した後の周囲の環境からの温度偏差として見ることができます。 ${\displaystyle \T}$${\displaystyle \T'}$${\displaystyle \T'}$${\displaystyle \\xi'}$

まず最初に、量をゆっくり変化する要素と変動する要素の合計として表現できなければなりません。

この過程はレイノルズ分解として知られており、温度は次のように表される: ^[7]

$${\displaystyle T={\overline {T}}+T',}$$

ここで、はゆっくり変化する成分であり、は変動する成分です。 ${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle T'}$

上の図では、流体塊が Z 方向に移動することを考慮して、混合長さで表すことができます。 ${\displaystyle T'}$

$${\displaystyle T'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial z}}.}$$

速度の変動成分、、も同様の方法で表現できます。 ${\displaystyle u'}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle w'}$

$${\displaystyle u'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}},\qquad \ v'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}},\qquad \ w'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}.}$$

ただし、圧力勾配力によって変動成分が大幅に変化する可能性があるため、そうする理論的根拠は弱くなります。さらに、垂直速度の場合、中立的に成層した流体である必要があります。 ${\displaystyle w'}$

水平方向と垂直方向の変動を積算すると次のようになります。

$${\displaystyle {\overline {u'w'}}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}.}$$

渦粘性は上記の式から次のように定義されます。

$${\displaystyle K_{m}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|,}$$

したがって、渦粘性は混合長さで表されます。 ${\displaystyle K_{m}}$${\displaystyle \xi '}$

• 壁の法則
• レイノルズ応力方程式モデル