ミッタク＝レフラーの定理

複素解析において、ミッタク・レフラーの定理は、指定された極を持つ有理型関数の存在に関するものです。逆に、この定理は、任意の有理型関数を部分分数の和として表すために使用できます。これは、指定された零点を持つ正則関数の存在を主張するワイエルシュトラスの因数分解定理の姉妹定理です。

この定理は、1876年と1884年に定理のバージョンを発表したスウェーデンの数学者イェスタ・ミッタク・レフラーにちなんで名付けられました。 ^{[1] [2] [3]}

が の開集合であり、がの境界上に極限点（もしあれば）が発生する部分集合であるとします。の各 に対して、がの定数係数のない多項式、つまり という形式の 多項式であるとします。すると、上の 有理型関数が存在し、その極は および の元とまったく同じで、そのような各極 に対して、関数はにおいてのみ除去可能な特異点を持ちます。特に、におけるの主部分はです。さらに、これらの特性を持つ上の他の有理型関数は として得ることができます 。 ここで は上の任意の正則関数です。${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle E\subset U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p_{a}(z)}$${\displaystyle 1/(za)}$$${\displaystyle p_{a}(z)=\sum _{n=1}^{N_{a}}{\frac {c_{a,n}}{(za)^{n}}}.}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$${\displaystyle a\in E}$${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p_{a}(z)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g=f+h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle U}$

証明の概要の 1 つを以下に示します。 が有限である場合、 を取れば十分です。が有限でない場合は、が の有限部分集合である有限和 を考えます。F がEに近づくにつれては収束しない可能性がありますが、 の外側に極を持つ適切に選択された有理関数(ルンゲの定理によって提供) を、 および の主要部分を変更せずに減算することで、収束が保証されます。 ${\displaystyle E}$${\textstyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$${\displaystyle E}$${\textstyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle S_{F}(z)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S_{F}(z)}$

すべての正の整数で留数1の単純な極を持つ有理型関数を求めるとします。上記のように記法で、およびとする と、ミッタク・レフラーの定理は、各正の整数 に対して主部が である有理型関数の存在を主張します。より建設的に、 $${\displaystyle p_{k}(z)={\frac {1}{zk}}}$$${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p_{k}(z)}$${\displaystyle z=k}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(zk)}}.}$$

この級数は、 （ M テストを使用して示すことができるように）の任意のコンパクトな部分集合上で、望ましい特性を持つ有理型関数に 正規収束します。${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {Z} ^{+}}$

有理型関数の極展開の例をいくつか示します。 $${\displaystyle \tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2} }}}$$ $${\displaystyle \csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{zn\pi }}={\frac {1}{z }}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}} }}$$ $${\displaystyle \sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}}$$ $${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sec ^{2}(z)={\frac {d}{dz}}\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$$

• リーマン・ロッホの定理
• リウヴィルの定理
• 逆極限のミッタク・レフラー条件
• ミッタク・レフラー和
• ミッタク・レフラー関数

• アルフォース、ラース（1953）、複素解析（第3版）、マグロウヒル（1979年出版）、ISBN 0-07-000657-1。
• コンウェイ、ジョン B. (1978)、一複素変数関数 I (第 2 版)、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90328-3。

• 「ミッタク＝レフラーの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]