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最大抽選は、順位付けされた投票用紙を使用し、投票者の過半数が期待値として他のどの候補者よりも好むであろう候補者の抽選結果を返す確率的投票ルールです。より厳密には、このルールは、一連の繰り返しの直接対決の平均において、すべての投票者の少なくとも半数が、他のどの投票ルールによって生成された結果よりも最大抽選の結果を好むという性質を持っています。[ 1 ]
最大くじは、望ましい特性を幅広く満たします。コンドルセ勝者が存在する場合は確率 1 でその勝者を選出し[ 1 ] 、スミス集合外の候補者を選出することはありません[ 1 ]。さらに、クローンの独立性を満たします[ 2 ]。すべての最大くじを返す確率的投票ルールは、強化、コンドルセ一貫性、およびクローンの独立性を満たす唯一のルールです[ 2 ] 。最大くじを最上位にランク付けする社会的厚生関数は、アローの無関係な選択肢の独立性とパレート効率性を使用して独自に特徴付けられています[ 3 ]。
最大くじは、アラン・ギバードが示したように、戦略耐性と事後効率を満たすことができるのはランダム独裁制だけであるため、戦略耐性の標準的な概念を満たしません。 [ 4 ]最大くじは確率に関しても非単調であり、つまり、ある選択肢が上昇すると、その選択肢の確率が減少する可能性があります。[ 1 ]しかし、それらは相対的単調性を満たしており、確率はと比較して減少しないより改善されています[ 5 ]
最大抽選は、強化[ 2 ]と参加[ 6 ]の非決定論的なケースへの一般化を満たします。優位性の確率が50%を超え、投票者は半分以上の確率で、参加して得られる結果を不参加で得られる結果よりも好むことになります。[ 6 ]しかし、最大抽選は期待効用の意味で不参加のパラドックスを示す可能性があり、投票者は投票して得られる抽選が、投票に行かなかった場合に得られる抽選よりも悪い（期待効用が低い）と感じます。
最大宝くじのサポートは、必須セットまたは超党派セットについては詳細に研究されている。 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
最大宝くじは、1965 年にフランスの数学者で社会科学者のジェルマン・クレウェラスによって初めて提案され[ 11 ] 、ピーター・フィッシュバーンによって普及しました。[ 1 ]それ以来、経済学者[ 8 ] 、数学者[ 1 ] [ 12 ]、政治学者、哲学者[ 13 ]、コンピュータ科学者[ 14 ]によって何度も再発見されています。
生物学、物理学、化学、機械学習において、最大宝くじに収束するいくつかの自然現象が観察されている。[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]
この投票システムへの入力は、エージェントの結果に対する順序選好（選択肢に対するくじではない）で構成されますが、くじの集合上の関係は次のように構築できます。そして宝くじは代替手段よりも優れているか、分布で選択された結果の勝利マージンの期待値が分布によって選択された結果に対する直接対決投票正の値です。言い換えれば、無作為に選ばれた有権者が、サンプリングされた選択肢を好む可能性が高い場合代替案からサンプリングされたもの逆の場合よりも。[ 3 ]この関係は必ずしも推移的ではないが、常に少なくとも 1 つの最大要素を許容する。
同票の結果、そのような最大くじが複数存在する可能性がある。しかし、投票者の数が奇数の場合は、最大くじは一意である。[ 18 ]同様の議論により、トーナメントゲームを解決する唯一の最大くじの支持を取ることで、二党制集合は一意に定義される。[ 8 ]
最大宝くじは、ペアワイズ多数決マージンによって与えられる対称ゼロサムゲームの混合最大最小戦略（またはナッシュ均衡）に相当します。そのため、2つの政党間の選挙競争の観点から自然な解釈が可能であり[ 19 ]、線形計画法によって多項式時間で計算できます。
5人の有権者が、3つの選択肢に対して以下のような選好を持っていると仮定します。
投票者のペアワイズ選好は、次の歪対称行列で表すことができ、行のエントリはおよびコラムは、に支持する有権者の数を差し引いたに。
この行列はゼロサムゲームとして解釈でき、唯一のナッシュ均衡（またはミニマックス戦略）が存在する。どこ、、定義上、これは上記の選好プロファイルの唯一の最大抽選でもあります。この例は、コンドルセ勝者が存在しないように慎重に選ばれています。多くの選好プロファイルはコンドルセ勝者を許容しており、その場合、唯一の最大抽選はコンドルセ勝者に確率 1 を割り当てます。上記の例の最後の投票者が選択肢を交換する場合、そして彼の選好関係において、コンドルセ賞受賞者となり、確率1で選ばれます。
