宝くじ（意思決定理論）

期待効用理論では、宝くじは自然状態の集合における確率の離散分布である。宝くじの要素は、自然状態のそれぞれが発生する確率に対応している（例：雨：0.70、雨なし：0.30）。^[1]不確実性下での選択に関する理論的分析の多くは、利用可能な選択肢を宝くじの観点から特徴付けることを伴っている。

経済学では、個人は合理的な選好システムに従って宝くじをランク付けすると想定されていますが、現在では人々は非合理的な選択を体系的に行うことが認められています。 行動経済学は、一部のエージェントが人間的な複雑さと限界を示す市場で何が起こるかを研究します。^[2]

期待効用理論によれば、人は、起こり得る結果の確率に関する主観的な推定値に、その人の個人的な効用関数によって各結果に付随する効用を掛け合わせることで、宝くじを選ぶ。したがって、各宝くじには期待効用、つまり主観的確率を重みとする結果の効用の線形結合がある。^[3]これは有名な例であるサンクトペテルブルクのパラドックスにも基づいている。ダニエル・ベルヌーイが述べたように、宝くじの効用関数は、宝くじを購入する前に持っていたお金の量に依存する可能性がある。^[4]

たとえば、病気の人が自分の症状に対して新薬 A または B を服用した場合に、「治癒」、「未治癒」、「死亡」という 3 つの結果が生じるとします。各薬はくじです。くじ A の確率が (治癒: .90、未治癒: .00、死亡: .10)、くじ B の確率が (治癒: .50、未治癒: .50、死亡: .00) であるとします。

もし人がくじ A と B のどちらかを選ばなければならないとしたら、どのように選ぶでしょうか。リスク下での選択理論は、人々が 3 つの自然状態 (A と B だけでなく、その他すべての可能性のあるくじ) に対する選好を持つようにすることから始まります。くじに対する選好が完全かつ推移的である場合、それは合理的と呼ばれます。人々が期待効用理論の公理に従う場合、くじに対する選好は期待効用の観点から各くじの順位に従います。病気の人の効用値は次のようになります。

• 治癒: 16 ユーティリティ
• 未治療: 12 ユーティリティ
• 死亡: ユーティリティ 0

この場合、宝くじ A の期待効用は 14.4 (= .90(16) + .10(12))、宝くじ B の期待効用は 14 (= .50(16) + .50(12)) なので、その人は宝くじ A を選ぶことになります。期待効用理論では、同じ効用を使用して、考えられるすべての宝くじでその人の行動を予測できるとされています。たとえば、宝くじ A と、(治癒: .80、未治癒: .15、死亡: .05) で構成される新しい宝くじ C のどちらかを選択する必要がある場合、期待効用理論によれば、期待効用は 14.6 (= .80(16) + .15(12) + .05(0)) であるため、その人は宝くじ C を選ぶことになります。

モーリス・アレが主張するパラドックスは宝くじにおける期待効用を複雑にする。^[5]

前の例とは対照的に、お金を失うことだけになる結果があるとします。状況 1 では、オプション 1a は確実に 500 ドルの損失があり、オプション 1b は 1000 ドルまたは 0 ドルを失う可能性が等しくなります。状況 2 では、オプション 2a は 500 ドルを失う可能性が 10%、0 ドルを失う可能性が 90% あり、オプション 2b は 1000 ドルを失う可能性が 5%、0 ドルを失う可能性が 95% あります。この状況は、以下の期待効用方程式で説明できます。

• 状況1
  • オプションa: U(-$500)
  • オプションb: 0.5 U(-$1000) + 0.5 U($0)
• 状況2
  • オプションa: 0.1 U(-$500) + 0.9 U($0)
  • オプションb: 0.05 U(-$1000) + 0.95 U($0)

多くの人は状況によって異なる決断をする傾向があります。^[5]人々は状況1では選択肢1aを1bより好み、状況2では選択肢2bを2aより好みます。しかし、2つの状況は同じ構造を持っているため、パラドックスが生じます。

• 状況 1: U(-$500) > 0.5 U(-$1000) + 0.5 U($0)
• 状況2:
  • 0.1 U(-$500) + 0.9 U($0) < 0.05 U(-$1000) + 0.95 U($0)
  • 0.1 U(-$500) < 0.05 U(-$1000) + 0.05 U($0)
  • U(-$500) < 0.5 U(-$1000) + 0.5 U($0)

上記の説明として考えられるのは、それが「確実性効果」を持っているということ、つまり、事前に決定された確率のない結果が効用関数と最終決定に大きな影響を与えるということである。^[5]多くの場合、この確実性への焦点は、一貫性のない決定と好みを引き起こす可能性がある。さらに、人々は宝くじの形式や文脈から何らかの手がかりを見つける傾向がある。^[6]

さらに、人々が統計についてどれだけ訓練を受けたかが宝くじの意思決定に影響を与える可能性があると主張されました。^[7]一連の実験を通して、彼は統計的に訓練された人は、一般化された形で一貫性と自信のある結果を得る可能性が高いと結論付けました。

個々の効用を線形に組み合わせ、その結果得られる数を最大化するための基準とする仮定は、独立性公理の根拠によって正当化できる。したがって、期待効用理論の妥当性は独立性公理の妥当性に依存する。選好関係が独立性を満たすのは、任意の 3つの単純な宝くじ、、、および任意の数に対して、${\displaystyle \succsim \!}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

${\displaystyle p\succsim \!q}$もし、もし、${\displaystyle \alpha p+(1-\alpha )r\succsim \!\alpha q+(1-\alpha )r.}$

無差別マップは単体で表すことができます。

2) http://www.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20202/Uncertainty.pdf