マルムキストバイアス

マルムキストバイアスは、観測天文学において、本質的に明るい天体が優先的に検出される効果である。これは1922年にスウェーデンの天文学者グンナー・マルムキスト（1893–1982）によって初めて説明され、マルムキストは1925年にこの研究を大幅に詳しく説明した。 ^{[1] [2]統計学では、このバイアスは}選択バイアスまたはデータ打ち切りと呼ばれている。これは、一定の見かけの明るさを下回る星は含められない、明るさが制限された調査の結果に影響する。観測される星や銀河は遠ざかるほど暗く見えるため、測定される明るさは距離とともに低下し、ついには明るさが観測閾値を下回る。より明るい、つまり本質的に明るい天体は、より遠くから観測できるため、距離とともに固有の明るさやその他の関連量が増加するという誤った傾向が生じる。この効果は、天文学の分野で多くの誤った主張につながっている。これらの影響を適切に修正することが、大きな焦点となる領域となっています。

日常生活では、光が遠ざかるにつれて暗くなることは容易にわかります。これは、車のヘッドライト、ろうそく、懐中電灯、その他多くの照明付きの物体で確認できます。この暗くなる現象は、物体の明るさが1 ⁄ r  ²に比例して減少するという逆二乗法則に従います。ここで、r は観察者と物体の間の距離です。

星の光も逆二乗の法則に従います。光線は星から全方向に等量で発せられます。光線は星の周囲に光の球体を作ります。時間が経つにつれ、光線が星から離れて空間を移動するにつれて球体は大きくなります。光の球体が大きくなる一方で、光線の数は変わりません。そのため、球体の単位表面積あたりの光量 (天文学ではフラックスと呼ばれます) は距離とともに、したがって時間とともに減少します。星を観察する場合、観察されている特定の領域にある光線のみを検出できます。星が遠くなるほど暗く見えるのは、このためです。

同じ固有の明るさ（天文学では光度と呼ばれる）を持つ 2 つの星がそれぞれ異なる距離にある場合、近い方の星はより明るく見え、遠い方の星はより暗く見えます。天文学では、星やその他の発光体の見かけの明るさを見かけの等級と呼びます。見かけの等級は、その物体の 固有の明るさ（絶対等級とも呼ばれる）とその距離によって決まります。

すべての星の明るさが同じであれば、地球から特定の星までの距離は簡単に測定できます。しかし、星の明るさはさまざまです。そのため、非常に遠くにある非常に明るい星と、より近くにあるあまり明るくない星を区別することが難しい場合があります。これが、天体までの距離を計算するのが非常に難しい理由です。

通常、星で満たされた空の領域を見ると、限界見かけ等級よりも明るい星しか見えません。上で述べたように、遠くにある非常に明るい星だけでなく、近くにある明るい星や暗い星も見えます。地球から一定の距離内には、暗い星よりも明るい天体が多く見えるでしょう。しかし、暗い星の方がはるかに多くあります。^[3]暗い星は単に暗すぎるために見えません。空の一部を観察するときに明るい星に偏ることは、平均絶対等級と星のグループまでの平均距離の計算に影響します。遠くにある明るい星があるため、サンプルの星は実際よりも遠くにあるように見え、各星は実際よりも本質的に明るく見えます。この効果はマルムキスト バイアスとして知られています。^[1]

星や銀河など、明るい物体のサンプルを研究する場合、より明るい物体への偏りを補正することが重要です。以下で説明するように、マルムキスト偏りを補正するために使用できるさまざまな方法があります。

マルムキストバイアスは光度に限ったものではなく、距離とともに検出可能性が減少するあらゆる観測量に影響を及ぼします。^[4]

理想的な状況は、この偏りがデータ調査に入らないようにすることです。しかし、マグニチュード制限 調査は実行が最も簡単で、他の方法は独自の不確実性を伴うためまとめるのが難しく、オブジェクトの最初の観測には不可能な場合があります。そのため、データを修正して偏りを取り除き、調査を使用できるようにするさまざまな方法が存在します。方法は、難易度が上がる順に示されていますが、精度と有効性も高くなります。

最も単純な補正方法は、データセットの非バイアス部分（もしあれば）のみを使用し、残りのデータを破棄することです。^{[5]選択した}限界等級 によっては、データセット内のあらゆる絶対等級のすべてのオブジェクトが見える距離の範囲が存在する場合があります。そのため、この小さなデータのサブセットには、マルムキスト バイアスが存在しないはずです。これは、絶対等級が最も低いオブジェクトが限界等級に達するエッジでデータをカットオフすることで簡単に実現できます。残念ながら、この方法では大量の適切なデータが無駄になり、分析が近くのオブジェクトのみに制限されるため、あまり望ましい方法ではありません。（右の図を見ると、距離のデータの最初の 5 分の 1 しか保持できず、それを超えるとバイアスでデータ ポイントが失われます。）もちろん、この方法では距離が比較的高い精度でわかっていることが前提となっていますが、前述したように、これは天文学では難しいプロセスです。

マルムキストが1922年の研究で提案した最初の解決策は、サンプルの計算された平均絶対等級（ ）を真の平均絶対等級（M ₀）に修正することだった。^[1]修正は次のように行われる。 ${\displaystyle {\overline {M}}}$

${\displaystyle {\overline {\Delta M}}={\overline {M}}-M_{0}}$

バイアス補正を計算するために、マルムキストと他の研究者はこの方法に従って6つの主要な仮定に従っています。^[6]

1. 星間吸収は存在しない、つまり星間の空間にある物質（ガスや塵など）が光に影響を与えず、その一部を吸収しない。これは、明るさが上記の逆二乗則に単純に従っていると仮定している。
2. 光度関数(Φ) は距離 ( r ) に依存しません。これは基本的に、宇宙はどこでも同じであり、星はここと同じようにどこか他の場所にも同じように分布していることを意味します。
3. 天空、より具体的には天球上の特定の領域では、星の空間密度 ( ρ ) は距離のみに依存します。これは、平均して各方向に同じ数の星があることを前提としています。
4. 完全性があり、サンプルは完全であり、見かけの振幅の限界( m _lim ) まで何も見逃されていないことを意味します。
5. 光度関数は、固有平均絶対等級M _{0を中心とした}ガウス関数として近似できます。
6. 星は同じスペクトル型で、固有の平均絶対等級は M ₀、分散は σ です。

明らかに、これは非常に理想的な状況であり、最後の仮定は特に厄介ですが、単純な形式の近似的な修正が可能です。光度関数をすべての距離とm _limよりも明るいすべての等級にわたって積分すると、

${\displaystyle {\overline {\Delta M}}=-\sigma ^{2}{\frac {\operatorname {d} \ln A(m_{\lim })}{\operatorname {d} m_{\lim }}}}$^{[1] [6]}

ここで、A(m _{lim )はm lim}よりも明るい星の総数である。星の空間分布が均一であると仮定できる場合、この関係はさらに単純化され、一般に受け入れられている次の式になる。

${\displaystyle {\overline {\Delta M}}=-1.382\sigma ^{2}}$^{[1] [6]}

従来の方法では、見かけの等級の測定値と距離を決定する測定値が同じバンド、または定義済みの波長範囲（たとえば、Hバンド、およそ約1300〜2000ナノメートルの赤外線波長範囲）からのものであると想定しており、これによりcσ ²の補正形式が導かれます。ここで、cは定数です。残念ながら、これが当てはまることはめったにありません。多くのオブジェクトのサンプルは1つの波長バンドから選択されますが、距離は別の波長バンドから計算されます。たとえば、天文学者は最も完全なBバンドカタログから銀河を選択することが多く、これらのBバンドの等級を使用しますが、銀河までの距離はタリー・フィッシャーの関係とHバンドを使用して計算されます。この場合、分散は距離測定値のばらつきと銀河選択特性（たとえば、等級）の共分散に置き換えられます。 ^[7]

もう 1 つのかなり単純な補正方法は、加重平均を使用して各等級における相対的な寄与を適切に考慮することです。異なる絶対等級の物体は異なる距離まで見えるため、平均絶対等級または光度関数に対する各点の寄与は 1/V _maxで重み付けできます。ここで、V _{max は}物体が見えていた可能性のある最大体積です。明るい物体 (つまり、絶対等級が小さい物体) は、しきい値を下回るまでに検出できた可能性のある体積が大きいため、この方法では明るい物体がより完全にサンプリングされるため、重み付けが低くなります。^[8]最大体積は、物体の絶対等級と極限見かけ等級を使用して、距離係数から求められる半径 の球として近似できます。

_{しかし、 V max の}計算には 2 つの大きな問題があります。1 つ目は、天空でカバーされる領域の完全性、つまり天体が撮影された天空の割合です。^[8]全天調査では、天球全体、つまり 4πステラジアンの天空から天体を収集しますが、これは通常、時間的制約と地理的制限 (地上の望遠鏡では、地球が邪魔になるため、限られた量の天空しか見ることができません) の両方の点で非現実的です。その代わりに、天文学者は一般に天空の小さな部分または領域を観察し、空間が等方性であるか、どの方向でも概ね同じであるか、または既知の分布 (銀河の中心に向かって見た場合、まっすぐ離れて見た場合よりも多くの星が見えるなど) に従っていると仮定して、普遍的な分布を推測します。一般に、体積は実際に観察された割合で単純に縮小することができ、物体数と体積の関係を正しく表すことができます。この効果は、すべて同じ調査からの単一のサンプルでは、​​基本的にすべてのオブジェクトが同じ数値係数によって変更されるため、無視される可能性がありますが、異なる空のカバー範囲を持つ異なる調査間で比較できるようにするには、これを考慮することが非常に重要です。

2 つ目の複雑な問題は、遠く離れた物体を見るときに考慮しなければならない、赤方偏移と膨張宇宙に関する宇宙論的懸念です。これらの場合、関心のある量は共動距離です。これは、ハッブル フローとして知られる、宇宙の膨張のみによって 2 つの物体が互いに遠ざかっていると仮定した場合の、2 つの物体間の一定の距離です。実際、この共動距離は、宇宙の膨張を無視した場合の物体の距離であり、どのように膨張したかを考慮することで、実際の距離と簡単に関連付けることができます。共動距離を使用して、通常どおりそれぞれの共動体積を計算することができます。また、実際の体積と共動体積の関係も簡単に確立できます。z が物体の赤方偏移(宇宙の膨張によって物体が私たちから遠ざかることで、放射された光がどれだけ長い波長にシフトするかに関連する) である場合、D _Aと V _{A は}実際の距離と体積 (または今日測定されるもの)、D _Cと V _{C は関心のある}共動距離と体積 です。

${\displaystyle D_{C}=D_{A}(1+z)}$

${\displaystyle V_{C}=V_{A}(1+z)^{3}}$^[9]

体積加重法の大きな欠点は、大規模構造、つまり星団やボイドなど、平均よりも物体が多いか少ない宇宙の部分の影響を受けやすいことです。^{[10]物体の密度が非常に高い領域や低い領域があると、その構造に応じて、平均}絶対等級と光度関数に推定される変化が生じます。これは、光度関数を計算する際の暗い物体の場合に特に問題になります。暗い物体の最大体積が小さいということは、その中の大規模構造が大きな影響を与えることを意味するからです。最大体積が大きく明るい物体は、いくつかの大規模構造があるにもかかわらず、平均化されて正しい値に近づく傾向があります。

応用すればするほど複雑かつ強力になる方法は他にもたくさんあります。ここでは最も一般的な方法のいくつかを要約し、より具体的な情報は参考文献に記載しています。

この方法は、物体（星や銀河など）の分布関数に基づいています。分布関数とは、特定の固有の明るさ、距離、またはその他の基本値を持つ物体がいくつあると予想されるかという関係です。これらの値はそれぞれ独自の分布関数を持ち、乱数ジェネレータと組み合わせて理論的な星のサンプルを作成できます。この方法では、距離の分布関数を既知の明確な量として扱い、絶対等級の分布関数を変更できるようにします。このようにして、検出された物体の実際の分布に対して異なる絶対等級の分布関数をチェックし、同じ物体のセットを再現する確率が最大になる関係を見つけることができます。検出された偏った物体の分布と適切な検出限界から始めて、この方法は真の分布関数を再現します。ただし、この方法は大量の計算を必要とし、通常はコンピュータプログラムに依存しています。^{[10] [11]}

ポール・シェクターは銀河の研究をしていたとき、スペクトル線の 線幅の対数と見かけの等級の間に非常に興味深い関係があることを発見しました。^{[12]完全に静止している場合、}スペクトル線は信じられないほど狭い隆起で、線のように見えますが、回転や視線の動きなどの物体の動きによって、これらの線がシフトしたり広がったりします。この関係は、タリー・フィッシャーの関係から始まるもので、銀河までの距離がその見かけの等級と速度幅、つまり回転曲線の「最大」速度に関係しています。巨視的なドップラー広がりから、観測されたスペクトル線の線幅の対数は、速度分布の幅に関係していることがわかります。距離が非常によくわかっていると仮定すると、絶対等級と線幅は密接に関係しています。^[12]例えば、一般的に使用される21cm線は中性水素に関連する重要な線であり、関係は一般に線形回帰で較正され、次の形で表される。

${\displaystyle {\overline {M}}=\alpha P+\beta }$

ここで、P は log(線幅)、α と β は定数です。

この推定量が有用な理由は、選択効果が大きさのみに基づいている限り、逆回帰線は実際にはマルムキストバイアスの影響を受けないからです。したがって、Mが与えられた場合のPの期待値は偏りがなく、偏りのない対数距離推定量が得られます。この推定量には多くの特性と影響があり、非常に有用なツールになります。^[13]

文献には、前述の従来の補正の高度なバージョンが見つかります。これらのバージョンでは、初期の仮定を制限したり変更したりして、適切な著者のニーズに合わせます。多くの場合、これらの他の方法は、非常に強力ですが特定の用途を持つ非常に複雑な数式を提供します。たとえば、Luriらによる研究では、銀河内の星のバイアスの関係が見つかりました。これは、サンプルの分散と見かけの等級、絶対等級、銀河円盤からの高さに対する補正を関連付けています。これにより、はるかに正確で精度の高い結果が得られましたが、目的の銀河内の星の空間分布に関する仮定も必要になりました。^[14]これらは個別には有用であり、多くの例が発表されていますが、適用範囲が非常に限られており、一般に前述の他の方法ほど広く適用できません。

等級制限されたサンプルを使用する場合はいつでも、上記の方法のいずれかを使用してマルムキストバイアスを補正する必要があります。たとえば、光度関数を取得したり、タリー・フィッシャー関係式を較正したり、ハッブル定数の値を取得したりする場合、マルムキストバイアスによって結果が大きく変わる可能性があります。

光度関数は、光度または絶対等級のビンあたりの星または銀河の数を示します。等級制限されたサンプルを使用する場合、上で説明したように、暗いオブジェクトの数は過小評価されます。これにより、光度関数のピークが暗い端から明るい光度にシフトし、光度関数の形状が変わります。通常、体積加重法を使用してマルムキストバイアスを補正し、調査が等級制限調査ではなく距離制限調査と同等になるようにします。^[15]右の図は、等級制限された星の集団の例に対する2つの光度関数を示しています。破線の光度関数はマルムキストバイアスの影響を示し、実線は修正された光度関数を示しています。マルムキストバイアスは光度関数の形状を大幅に変えます。

マルムキストバイアスの影響を受けるもう一つの応用は、渦巻銀河の明るさとそれぞれの速度幅を関連付けるタリー・フィッシャー関係です。近くの銀河団を使用してタリー・フィッシャー関係を較正し、その関係を遠くの銀河団に適用すると、より遠い銀河団までの距離は系統的に過小評価されます。^[13]銀河団までの距離を過小評価すると、それらの銀河団を使用して見つかったものはすべて不正確になります。たとえば、ハッブル定数の値を見つけるときなどです。

これらは、マルムキスト バイアスが結果に大きく影響する可能性があるほんの一例です。前述のように、大きさが制限されたサンプルを使用する場合はいつでも、マルムキスト バイアスを補正する必要があります。補正は上記の例だけに限定されません。

Malmquist バイアスを回避したり、別の方法でアプローチしたりするための代替手段はいくつか存在しますが、そのうちの一般的なもののいくつかを以下にまとめます。

マルムキスト バイアスを回避する理想的な方法の 1 つは、設定された距離内にあるオブジェクトのみを選択し、限界等級を設定せずに、このボリューム内のすべてのオブジェクトを観測することです。^[5]この場合、ボリュームが完全に埋め尽くされ、分布関数や光度関数が適切にサンプリングされるため、マルムキスト バイアスは問題になりません。残念ながら、この方法は必ずしも実用的ではありません。天体までの距離を見つけることは非常に難しく、標準光源と呼ばれる距離が簡単に判定できるオブジェクトの助けを借りても、不確実性は大きくなります。さらに、オブジェクトまでの距離は、通常、観測および分析が完了するまでわかりません。そのため、距離制限調査は通常、2 回目の観測ラウンドのオプションであり、最初から利用できません。^[要出典] 最後に、距離制限調査は通常、距離が確実にわかっている小さなボリュームでのみ可能であるため、大規模な調査には実用的ではありません。

この方法は、非常に異なる手段によって、再びバイアスを修正しようとします。絶対等級を固定しようとするのではなく、この方法では、オブジェクトまでの距離をランダム変数として取り、それらを再スケーリングしようとします。^[13] 実際には、サンプル内の星に正しい絶対等級（および平均絶対等級）の分布を与えるのではなく、星が正しい距離の分布を持つように「移動」しようとします。理想的には、これは等級補正方法と同じ最終結果になり、正しく表現されたサンプルになるはずです。均質または非均質のどちらの場合でも、バイアスは、距離の事前分布、距離推定値、およびこれら2つが同じ分布である尤度関数によって定義されます。均質の場合ははるかに単純で、生の距離推定値を定数倍して再スケーリングします。残念ながら、これはクラスタリングや観測選択効果などの大規模構造に非常に鈍感であり、あまり正確な結果は得られません。不均質なケースでは、観測された分布に見られる構造を考慮して、より複雑なオブジェクトの事前分布を作成することでこれを修正しようとします。ただし、どちらの場合も、確率密度関数は一定の分散と真の平均対数距離の平均を持つガウス分布であると想定されていますが、これは正確とはほど遠いものです。ただし、この方法は議論の余地があり、生の観測距離推定値を計算する際の不確実性により、この方法を使用するという仮定が無効になるため、実装では正確ではない可能性があります。^[13]

「マルムキスト バイアス」という用語は、必ずしも上記のバイアスを指すために明確に使用されているわけではありません。2000 年というごく最近では、マルムキスト バイアスが文献に登場し、さまざまな種類のバイアスや統計的効果を明確に示しています。^{[16]これらの他の用法のうち最も一般的なのは、}等級が制限されたサンプルで発生する効果を指すものですが、この場合は絶対等級の低いオブジェクトが過剰に表現されます。等級制限のあるサンプルでは、​​その境界付近に誤差が生じ、カットオフに十分な明るさ​​であるはずのオブジェクトが除外され、代わりに制限をわずかに下回るオブジェクトが含まれます。絶対等級の低いオブジェクトは明るいオブジェクトよりも一般的であり、これらの暗い銀河はカットオフラインより下にあり上方に散乱される可能性が高く、明るい銀河はカットオフラインより上にあり下方に散乱される可能性が高いため、低輝度オブジェクトが過剰に表現されることになります。ただし、現代の文献とコンセンサスでは、マルムキスト バイアスは上記の効果を指します。

• 検出限界
• 街灯効果

• ジェームズ・ビニー＆マイケル・メリフィールド（1998年）。銀河天文学。プリンストン大学出版局。pp.111-115。ISBN 0691025657。