限界マグニチュード

天文学において、限界等級とは、特定の機器によって検出可能な、または検出された天体の最も暗い見かけの等級である。 ^[1]

場合によっては、限界等級は検出の上限閾値を指します。より正式な用法では、限界等級は信号の強度とともに指定されます (例: 「20シグマで 10 等級」)。限界等級は、機器の目的によって限定されることもあります (例: 「測光用の 10 等級」)。この記述は、測光検出器が確実に測定できるよりもはるかに弱い光を検出できることを認識しています。

機器の限界等級は理想的な条件で引用されることが多いですが、環境条件によってさらに実際的な制限が課せられます。これには、天候、月光、夜空の輝き、光害が含まれます。国際ダークスカイ協会は、夜空の輝きと光害の削減を声高に訴えてきました。

肉眼で見える限界等級とは、晴れた月のない夜に天頂付近で肉眼で見える最も暗い星のことです。この値は空の明るさの総合的な指標として最もよく使われ、光害や湿気の多い地域では一般に遠く離れた砂漠や標高の高い地域よりも限界等級が明るくなります。限界等級は観測者によって異なり、目の暗順応とともに大きくなります。比較的晴れた空では、限界視程は約6等級になります。^[2]ただし、大都市から200 km (120 マイル) 離れた暗い田舎から見える暗い星の場合、限界視程は7等級です。^[3] (ボートルの目盛りを参照)

大都市圏内でもばらつきがあります。ニューヨーク市のすぐ郊外に住んでいる人にとっては、限界等級は 4.0 かもしれません。これは、目に見える星の数が約 250 個に相当し、完全に暗い空の下で見える数の 10 分の 1 に相当します。マンハッタン以外のニューヨーク市の行政区(ブルックリン、クイーンズ、スタテン アイランド、ブロンクス) では、限界等級は 3.0 かもしれません。つまり、一度に見られる星の数はせいぜい約 50 個程度です。明るく照らされたマンハッタンのミッドタウンでは、限界等級はおそらく 2.0 であり、ニューヨーク市の中心部では一度に約 15 個の星しか見えないことになります。

比較的暗い郊外では、限界等級は 5 等級に近いかそれよりやや暗いことが多いですが、非常に遠くて明るい場所では、アマチュア天文家の中には 8 等級に近い暗い星を見ることができる人もいます。多くの基本的な観測参考文献では限界等級を 6 等級としていますが、これは望遠鏡が発明される前の星図のおおよその限界です。この分野では視線をそらす必要があり、能力は観測者によって大きく異なりますが、若さと経験の両方が有利になります。

限界等級は、従来、等級がわかっている暗い星を探すことによって推定されます。2013年にGoogleのスカイマップに基づいて開発されたアプリにより、専門家でなくても携帯電話を使って汚染地域の限界等級を推定できるようになりました。^[4]

星が背景の空に対して十分なコントラストを持っているとき、私たちは星を見ることができます。星の明るさ（より正確には、その照度）は、空の表面の明るさ（つまり輝度）を十分に上回る必要があります。地球の空は完全に真っ暗になることはありません。光害がない場合でも、自然の大気光によって見える範囲が制限されます。天文学者のHD カーティスは、肉眼での限界を 6.53 と報告しましたが、黒いスクリーンの穴を通して星を見ると（つまり、完全に暗い背景に対して）、8.3 等級の星、場合によっては 8.9 等級の星を見ることができました。^[5]

肉眼での等級限界は、様々な背景輝度レベルでの人間のコントラスト閾値に関する実験データを用いて理論的にモデル化することができる。アンドリュー・クルーメイは、被験者が制御された条件下で人工光源を視認した実験データを用いてこれを行った。クルーメイは、表面輝度 の空の背景に対して、視覚限界は次のように表せることを示した。 ここで は、観察者と観察状況に固有の「視野係数」である。^[6]最も暗い空は、天頂表面輝度が約 22 等角秒角^{−2であるため、この式から、そのような空では、表面輝度が 21 等角秒角−2}の空よりも約 0.4 等暗い星が見えるであろうことが分かる。クルーメイは、ほとんどの人にとって は約 1.4 から 2.4 の間であり、が典型的であると推測した。これは、最も暗い場所では であることを意味し、これは伝統的に受け入れられている値と一致するが、現代のアマチュア観測​​者が主張する値よりはかなり悪い。 ${\displaystyle \mu _{\text{sky}}>21\,\mathrm {mag\,arcsec^{-2}} }$${\displaystyle m}$$${\displaystyle m={0.4260}\mu _{\text{sky}}-2.3650-2.5\log F}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F=2}$${\displaystyle m=6.25}$

この矛盾を説明するために、クルーメイは、彼の公式は瞬間的なちらつきではなく、持続的な可視性を前提としていることを指摘した。彼は、「シンチレーションは、100分の1秒間続く1～2等級の明るさの突然の「閃光」につながる可能性がある」と報告した。^[7]彼は、「アマチュア天文学者の活動は、科学とレクリエーションスポーツの間のどこにでも位置する可能性があります。後者の場合、個人の限界等級に対する関心はそれを最大化することかもしれませんが、科学の場合、主な関心は測定の一貫性であるべきです」とコメントした。彼は、「一般大衆を対象とした可視性の推奨事項の目的では、例外的なパフォーマンスよりも典型的なパフォーマンスを考慮することが望ましい...星は、瞬間的にちらつくのが見られるのではなく、ある程度の長期間（たとえば、少なくとも1～2秒）継続して見える必要があります（直接または視線を逸らして^）

上で述べたクルーメイの公式は、彼が測光単位で得たより一般的な公式の近似値である。^[9]彼は、中程度の光害から真に暗い空まで、天文単位で他の近似値を得た。^[10] 観測者が自身の SQM (スカイクオリティメーターで測定した空の明るさ) を知っており、実際の限界等級を決定すれば、これらの公式から自身の限界等級を算出できる。クルーメイは、正確な結果を得るためには、観測者は最も暗い安定して見える星のV 等級を小数点第 1 位まで確認し、最高の精度を得るためには色指数も記録して標準値に変換することを推奨した。クルーメイは、限界が色指数 にある場合、色指数 0 での限界はおよそ^[10]であることを示した。$${\displaystyle {\begin{aligned}m&={0.27}\mu _{\text{sky}}+0.8-2.5\log F&(18<\mu _{\text{sky}}}20\,\mathrm {mag\,arcsec^{-2}} )\\[1ex]m&={0.383}\mu _{\text{sky}}-1.44-2.5\log F&(20<\mu _{\text{sky}}}22\,\mathrm {mag\,arcsec^{-2}} )\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mu_{sky}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle m_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle m_{c}+0.27c}$

いくつかのサンプル値が以下の表に示されています。一般的な結果は、空の暗さが 1 平方メートル増加すると、等級制限が約 0.3 ～ 0.4 増加するということです。

望遠鏡の口径（正式には入射瞳）は人間の目の瞳孔よりも大きいため、より多くの光を集め、観察者の瞳孔が（通常は）位置する射出瞳に集中させます。その結果、照度が増加し、星が効果的に明るくなります。同時に、倍率によって背景の空は暗くなります（つまり、輝度が低下します）。そのため、通常は肉眼では見えない星が望遠鏡で見えるようになります。倍率をさらに上げると、接眼レンズで見た空はさらに暗く見えますが、これについても限度があります。理由の 1 つは、倍率が高くなると射出瞳が小さくなり、像が悪くなることです。これは、日光の下で小さなピンホールをのぞくとわかる効果です。もう 1 つの理由は、星の像は完全な光点ではないことです。大気の乱れにより、シーイングと呼ばれるぼやけた効果が生じます。3 つ目の理由は、倍率を十分に高くすると、空の背景が効果的に黒くなり、それ以上暗くすることができなくなることです。これは背景表面輝度が約25等級秒^角のときに起こり、ここでは「暗い光」（神経ノイズ）のみが知覚される。^[11]

様々な著者^[12]は、入射瞳径がセンチメートルの望遠鏡の限界等級は の形であると 述べており 、定数 の推奨値は6.8 から 8.7 の範囲です。クルーメイは、空の表面輝度、望遠鏡の倍率、観測者の瞳孔径、および上で述べた個人的要因を含むその他のパラメータの関数として の式を得ました。通常の暗い場所での観測で典型的と思われるパラメータ値 (たとえば、瞳孔 0.7cm および) を選択すると、 が見つかりました。^[13]${\displaystyle D}$$${\displaystyle m=5\log D+N}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F=2}$${\displaystyle N=7.69}$

クルーメイは、人間のコントラスト閾値の一般モデルから測光単位で導き出した式の近似値として、この式を得た。^[14]例として、彼は口径100mmの望遠鏡で倍率x25からx200までの範囲で限界等級を空の明るさの関数として計算した（他のパラメータには典型的な現実世界の値を設定）。クルーメイは、倍率が十分に高く、空が十分に暗く、接眼レンズの背景が実質的に黒であれば、最大12.7等級が達成できることを発見した。^[15]この限界は、上記の式の = 7.7 に相当します。${\displaystyle N}$

より一般的には、望遠鏡の倍率を上げて空の背景を実質的に黒くすることができる状況では、限界等級は次のように近似されます。 ここで、およびは前述のとおり、は観測者の瞳孔径（センチメートル）、は望遠鏡の透過率（たとえば、一般的な反射望遠鏡の場合は0.75）です。^[16]$${\displaystyle m=5\log D+8-2.5\log(p^{2}F/T)}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$

望遠鏡の限界等級は、1947 年にマウント ウィルソン天文台のI.S. ボーエンによって実験的に調査され、 ^[17]クルーメイはボーエンのデータを理論モデルのテストに使用できました。^[18]ボーエンは、目の瞳孔径、裸眼の等級限界、望遠鏡での光量損失の程度などのパラメータを記録しませんでしたが、3 つの望遠鏡 (口径 0.33 インチ、6 インチ、60 インチ) を使用してさまざまな倍率で観測を行ったため、クルーメイは連立方程式のシステムを構築し、残りのパラメータを推測することができました。クルーメイは天文単位近似値を使用し、対数軸上にプロットしたため、各望遠鏡の限界「曲線」は、射出瞳が目の瞳孔より大きい、射出瞳が小さい、および空の背景が実質的に黒である 3 つの直線部分で構成されていました。ボーエンが 60 インチ望遠鏡で最高倍率で示した異常な限界は、シーイングが悪いためでした。クルメイは理論モデルの正当性を立証するとともに、この分析からボーエンの観測当時の空の明るさがおよそ21.27等角秒角であったことを示すことができ^、 20世紀後半のウィルソン山での光害の急速な増加を浮き彫りにした。^[19]

大型天文台の望遠鏡は、通常、暗い空が望める場所に設置されています。また、検出器の積分時間を長くしたり、画像処理技術を使って信号対雑音比を高めたりすることで、限界等級を上げています。口径8～10メートルクラスの望遠鏡のほとんどは、1時間の積分時間で視等級27程度の天体を検出できます。^[20]

自動天文観測は、露出時間が短いため、一晩で空の大部分を観測することができず、 20等級程度に制限されることが多い。カタリナ・スカイ・サーベイの0.7メートル望遠鏡は、30秒の露出で限界等級が19.5等級となる。^[21]ツヴィッキー・トランジェント・ファシリティの限界等級は20.5等級、^[22]パンスターズの限界等級は24等級である。^[23]

ハッブル宇宙望遠鏡のような地球の大気圏上にある望遠鏡では、さらに高い限界等級を達成できます。この場合、大気による空の明るさは関係ありません。軌道上の望遠鏡の場合、背景の空の明るさは黄道光によって決まります。ハッブル望遠鏡は+31.5等級の暗い物体を検出でき、^[24]ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡（赤外線スペクトルで動作）はそれを超えると予想されています。

• アラウカリアプロジェクト
• 夜空
• 暗い空の動き
• リッコの法則

• NinePlanets.org での限界等級の推定
• 望遠鏡の限界等級計算機
• 限界等級を推定するLoss of the Nightアプリ
• 天文等級
• 天文の可視性（アンドリュー・クルミーによる記事）