魔法の数字（物理学）

原子核物理学において、魔法数とは、原子核内に完全な殻を形成するように配置された核子（陽子または中性子）の数を指します。その結果、陽子または中性子の数が「魔法数」である原子核は、他の原子核よりもはるかに安定しています。2019年現在、最も広く知られている7つの魔法数は、2、8、20、28、50、82、および126です。

陽子の場合、これはヘリウム、酸素、カルシウム、ニッケル、スズ、鉛、そして仮説上のウンビヘキシウムといった元素に対応するが、126は今のところ中性子の魔法数としてのみ知られている。このような魔法数の核子からなる原子核は、半経験的質量公式などの予測に基づくと予想されるよりも核子あたりの平均結合エネルギーが高く、そのため核崩壊に対してより安定している。

魔法数を持つ同位体の異常な安定性は、超ウラン元素が理論的に極めて大きな原子核で生成され、通常高い原子番号に関連付けられる極めて速い放射性崩壊を受けない可能性があることを意味します。核子の魔法数を持つ大きな同位体は、安定性の島に存在すると言われています。球形原子核で実現される魔法数2～126とは異なり、理論計算では、安定性の島の原子核は変形していると予測されています。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

これが認識される以前は、球形を仮定した単純な計算に基づいて、184、258、350、462などのより大きな魔法の数字が予測されていました。これらは次の式によって生成されます。${\displaystyle 2({\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}+{\tbinom {n}{3}})}$球面魔法数の列はこのように拡張できないと考えられている。さらに予測される魔法数は、陽子については 114、122、124、164、中性子については 184、196、236、318 である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}しかし、より新しい計算では、中性子については 184 と 196 に加えて 228 と 308 が予測されている。^{[ 4 ]}

マンハッタン計画に従事していたドイツの物理学者マリア・ゲッパート＝マイヤーは、崩壊エネルギーや半減期などの核分裂生成物の特性に興味を持つようになった。^{[ 5 ]} 1948年、彼女は陽子が50個または82個、あるいは中性子が50個、82個、126個の原子核に閉殻が存在することを示す実験的証拠を発表した。^{[ 6 ]}

陽子または中性子が 20 個の原子核が安定していることは既に知られており、それはマンハッタン計画で彼女の同僚であったハンガリー系アメリカ人の物理学者ユージン・ウィグナーの計算によって証明されていた。 ^{[ 7 ]} 2 年後の 1950 年に、彼女は新しい論文を発表し、その中で魔法数での殻の閉殻はスピン軌道結合によるものだと説明した。^{[ 8 ]}ゲッパート・マイヤーの教え子であるスティーブン・モシュコフスキーによれば、「魔法数」という用語はウィグナーによって造語された。「ウィグナーも液滴モデルを信じていたが、マリア・マイヤーの研究から、閉殻の非常に強力な証拠を認識した。それは彼には少し魔法のように見え、こうして『魔法数』という言葉が造語された。」^{[ 9 ]}

これらの魔法の数字は、マイヤーがハンス・イェンセンと共にその後数年間で発展させ、 1963年のノーベル物理学賞を共同受賞するに至った原子核殻モデルの基礎となった。 ^{[ 10 ]}

中性子数と陽子数（原子数）の両方が魔法数のいずれかに等しい原子核は「二重魔法数」と呼ばれ、一般的に崩壊に対して非常に安定している。^{[ 11 ]}既知の二重魔法数同位体は、ヘリウム-4、ヘリウム-10、酸素-16、酸素-28、カルシウム-40、カルシウム-48 、ニッケル-48 、ニッケル-56、ニッケル-78、スズ-100、スズ-132、鉛-208である。ヘリウム-4、酸素-16、カルシウム-40、鉛-208のみが完全に安定しているが、カルシウム-48は極めて長寿命であるため自然界に存在し、非常に非効率的な二重ベータマイナス崩壊過程によってのみ崩壊する。二重ベータ崩壊は一般的に非常にまれであるため、このメカニズムによって崩壊すると予測されているが、そのような崩壊がまだ観測されていない核種がいくつか存在する。観測によって二重ベータ崩壊が確認されている核種であっても、半減期は通常、宇宙の年齢を桁違いに超えており、放出されるベータ線やガンマ線は、実際的な目的においてはほぼ無関係である。一方、ヘリウム10は極めて不安定で束縛されておらず、半減期はわずかである。260(40)ヨクト秒 (2.6(4) × 10 ⁻²² 秒)。

二重魔法効果により、そうでなければ予想されなかった安定同位体が存在する可能性がある。例として、陽子20個と中性子20個を持つカルシウム40が挙げられる。これは、陽子と中性子の数が同じ安定同位体の中で最も重い。カルシウム48とニッケル48はどちらも二重魔法である。カルシウム48は陽子20個と中性子28個を持ち、ニッケル48は陽子28個と中性子20個を持つ。カルシウム48は、比較的軽い元素としては中性子が非常に多いが、カルシウム40と同様に、二重魔法であることで安定化されている。例外として、酸素28は陽子8個と中性子20個を持つが、4中性子崩壊に対して結合しておらず、閉じた中性子殻がないように見えるため、二重魔法とはみなされない。^{[ 12 ]}

魔法数殻効果は、元素の通常存在量に見られます。ヘリウム4は宇宙で最も豊富（かつ安定）な原子核の1つであり^{[ 13 ]}、鉛208は最も重い安定核種です（少なくとも既知の実験観測では）。アルファ崩壊（放射性崩壊を起こしている重元素による^4He原子核（アルファ粒子とも呼ばれる）の放出）は、ヘリウム4の並外れた安定性により、この種の崩壊が中性子放出、陽子放出、またはその他のクラスター崩壊よりもほとんどの重原子核でエネルギー的に有利になるため、一般的です。4Heの安定^性により、質量数5と8の安定同重体も存在しません。実際、これらの質量数のすべての核種は、数分の1秒以内に崩壊してアルファ粒子を生成します。

魔法効果により、不安定な核種は、通常予想されるほど急速には崩壊しないことがあります。たとえば、スズ-100とスズ-132は、不安定なスズの二重魔法同位体の例であり、安定性が急速に低下する終点を示しています。1999年に発見されたニッケル-48は、既知の二重魔法核種の中で最も陽子が豊富なものです。^{[ 14 ]}もう一方の極端な例として、ニッケル-78も二重魔法核種であり、陽子28個と中性子50個を持ち、この比率は、陽子1個と中性子2個のトリチウムを除いて、はるかに重い元素でのみ観測されます（ ^78Ni : 28/50  =  0.56、238U : 92/146 ⁼  0.63  ）。^{[ 15 ]}

2006年12月、ミュンヘン工科大学が率いる国際科学者チームによって、陽子108個、中性子162個からなるハッシウム270が発見され、半減期は9秒であった。^{[ 16 ]}ハッシウム270は明らかに安定の島の一部を形成しており、この原子核の変形した（アメリカンフットボールやラグビーボールのような）形状のため、二重に魔法の力を持っている可能性さえある。^{[ 17 ] [ 18 ]} 

Z  =  92 およびN  = 164 は魔法数ではないが 、未発見の中性子過剰核ウラン-256 は、低角運動量軌道と高角運動量軌道のサイズの違いにより核ポテンシャルの形状が変化するため、二重に魔法数であり球形である可能性がある。^{[ 19 ]}

魔法数は通常、実験的研究によって得られます。核ポテンシャルの形状が分かっていれば、シュレーディンガー方程式を解いて核子の運動を記述し、エネルギー準位を決定することができます。核殻は、エネルギー準位間の間隔が局所的な平均間隔よりも著しく大きい場合に発生すると言われています。

原子核の殻モデルにおいて、魔法数とは、殻が満たされる核子の数を指します。例えば、1s 1 _/2、1p 3 _{/2、1p 1/2}のエネルギー準位が満たされると、 1p _1/2と次に高い1d _5/2のエネルギー準位の間に大きなエネルギーギャップが存在するため、魔法数8となります。

最初のいくつかの魔法数は、核力を3次元の量子調和振動子として近似するだけで予測できます。エネルギーは $${\displaystyle E=\hbar \omega (3/2+n_{x}+n_{y}+n_{z})}$$ したがって、3 つの量子数n _x、n _y、n _zの合計n = n _x + n _y + n _zのみに依存します。レベルE _nの状態数は、nを 3 つの (非負) 数n _x、n _y、n _zに分割する方法の数であり、各次元に 1 つずつ割り当てられます。組み合わせ論では、これらはnの弱い 3 合成と呼ばれます。これらはスターとバーの方法を使用して数えることができ、次のようになります 。$${\displaystyle {\binom {n+2}{2}}}$$ エネルギー準位E _nの状態。可能な 2 つのスピンを考慮するには、これを 2 倍する必要があります。これにより、n = 0、1、2、3 に対して 2、6、12、20 が得られます。あるnまでの状態の数によって、 n番目の殻まで満たすのに必要な核子の数が得られ、魔法数はすべての殻が満たされたときに発生するため、累積和を取る必要があります。したがって、2、8 (2 + 6)、20 (2 + 6 + 12)、および 40 (2 + 6 + 12 + 20) が魔法数であると予測されます。これは、魔法数 28 (スピン軌道結合などの効果によって発生する) を見落としているだけでなく、40 が魔法数であると予測していますが、40 は魔法数ではありません。40 は、次の殻が満たされるときです。予測される魔法数の正しい式は、基本的にスピン軌道結合に依存しています。

原子における魔法数に対応するものは、イオン化エネルギーに不連続性をもたらす電子の数である。これらは、希ガスであるヘリウム、ネオン、アルゴン、クリプトン、キセノン、ラドン、オガネソンで発生する。したがって、「原子の魔法数」は2、10、18、36、54、86、118である。核の魔法数と同様に、これらの数は、副殻エネルギー準位に影響を与えるスピン軌道結合効果により、超重元素領域で変化すると予想される。したがって、コペルニシウム（112）とフレロビウム（114）はオガネソン（118）よりも不活性であると予想され、これらの次の希ガスは、168ではなく172番目の元素で発生すると予想される（168の場合はパターンが続く）。

2010年に、対称性の考察に基づいて魔法数の別の説明が提示された。標準回転群の分数拡張に基づいて、金属クラスターと原子核の基底状態特性（魔法数を含む）が同時に解析的に決定された。このモデルでは特定のポテンシャル項は必要ない。^{[ 20 ] [ 21 ]}

• 魔法の数字（化学）
• スーパーアトム
• 超変形

• Nave, CR 「原子核の殻モデル」HyperPhysics。
• スチェリ、エリック（2007）。周期表、その物語と意義。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-530573-9。特に第10章を参照してください。
• モスコウィッツ、クララ。「原子内部に新たな魔法の数字が発見される」。サイエンティフィック・アメリカン。
• ワトキンス、セイヤー。「核魔法数のほぼ完全な説明」。