放射状に無限大の関数

数学において、放射状に非有界な関数とは、 ^[1]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow f(x)\to \infty .}$$

あるいは同様に、 $${\displaystyle \forall c>0:\exists r>0:\forall x\in \mathbb {R} ^{n}:[\Vert x\Vert >r\Rightarrow f(x)>c]}$$

このような関数は制御理論に応用され、コンパクト空間の決定のための最適化に必要とされます。

定義で使用されるノルムは 上で定義された任意のノルムである可能性があり、軸に沿った関数の挙動は必ずしもそれが放射状に無制限であるかどうかを明らかにするわけではないことに注意してください。つまり、放射状に無制限であるためには、次の結果をもたらす任意のパスに沿って条件を検証する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \|x\|\to \infty }$$

たとえば、関数は、 線に沿って、2 番目の関数が大域的に正定値であっても条件が検証されないため、放射状に非有界ではありません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x)&=(x_{1}-x_{2})^{2}\\f_{2}(x)&=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})/(1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+(x_{1}-x_{2})^{2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$